线线共面条件及其平面方程的求法.pdf

第2 2 卷第2 期2023 年6 月济源职业技术学院学报Journal of Jiyuan Vocational and Technical CollegeVol.22No.2Jun.2023线线共面条件及其平面方程的求法郝祥晖（济源职业技术学院基础部，河南济源459 0 0 0）摘要：空间任意两个向量都是共面的，但是空间任意两条直线却不一定共面。研究给出了线线共面的条件并加以了证明，从而得出了线线共面平面方程的求法。关键词：线线共面条件；平面方程求法；线性相关；线性无关D0I:10.3969/j.issn.1672-0342.2023.02.010中图分类号：0 18 2.2众所周知，空间任意两个向量都是共面的1-2】，但是空间任意两条直线是否也一定共面呢？答案是否定的,空间两条直线可能异面。比如：=0直线（z 轴）及直线Ly=0z=0面直线，不能确定一个平面。那么，已知空间两条直线的方程，如何判定两条直线是否共面？两条直线如果共面，如何求出该平面方程？本文针对线线共面的平面方程进行了探讨和研究。一、线线共面的条件定理两条空间直线共面的条件：已知两条空间直线（如图1)方程分别为：LI：x-xi_y-y1_z-21一2：mlnP1中L,的方向向量为s,=（mi,n 1,Pi）,Lz 的方向向量为s,=(m2,n2,P2),点A(x1,i,zi,)Li,点B（x 2,y 2，z 2）L2，则直线L与L,共面的充分必要条件为：X2-X1y2-y122-214=mlm2LSABS2图1空间直线向量方向示意图收稿日期:2 0 2 2-11-30作者简介：郝祥晖（19 7 1一），女，河南济源人，副教授，研究方向为高等数学。文献标识码：A定共面,则x+y=1是两条异相关3,即L,与L,平行,两直线共面。若m:n:Pim2:n2:p2,3与线性无关4,取平面的法向量为：m2n2n2P3=0。n2P2L文章编号：16 7 2-0 342(2 0 2 3)0 2-0 0 55-0 3证明：由直线L与Lz共面，可知AB、S与s2一X2-X1y2-y1Z2-Z1mln2=m2反过来，由=0,分两种情况讨论。当m:nj:pi=m2:n2ip2时,与,线性P2n=Si XS2=过点A(1,i,z）且以n为法向量的平面I的方程为5-6 ;y-y1Z-21mln1m2n2而=0 表明B点的坐标（x2,y2,z2）满足方程（1)，即点B在该平面II上，向量AB、和s,都在平面I 上，L，也在平面I 上，故两直线共面。综上所述,直线L与L共面的充分必要条件为7-8 55P3=0。n2P2min1P1=0。2n2P2P1=0。P2(1)济源职业技术学院学报X2-x1y2-y132-21=mlm2例1判断两条直线LI：2-2L2.+110解：由于4-21210=7#0,110故两条直线异面，不能确定平面。因此,给出空间两条直线的方程,首先要判断两条直线是否共面，如果共面才能求其平面方程。二、线线共面的平面方程求法1.当与s线性相关时的平面方程已知两条直线的方程分别为LI：Y-y1Z-21L2：x-X2Y-y22-32,且与x-1+22-3nP1线性相关,故有m:n:Pi=m2:n:Pa，点A(x1,y121,)=L,点 B(x2,y2,2)e Lz,则AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。可取该平面的法向量为：?了=ABxsi=x2-x1y2-y122-21OmlnP1又因为平面经过点A（x 1,Y1,z 1），由平面的点法式方程,可求得该平面的方程为：-x1y-y12-1X2-X1y2-y122-21=0。mln例2 求过直线L：x-2-32+1和11x-12-3的平面方程。336解：由于与线性相关，由式(2)可得该平面的方程为x-1y-02-3-1-34=0,11-10(-1)+6(y-0)+2(z-3)=0。即所求平56面方程为:5x-3y-z-2=0。n1P1n2P2x-31是否可以确定一个平面。1mlm2n2P12=0。2-1和0L(m1,n,Pi),L,的方向向量为s,=(m2,n2,P2),且s与s,线性无关,可取该平面的法向量为了下n=SiS2=mlnP1m2n2P2且平面经过点（i,y1,z），由平面的点法式方程，可求得该平面方程为：x-xiy-y12-21mlnP1=0。m2n2例3求过直线L：-3+12+2和L2：1-1P22解：由于与线性无关，由式(3)可得该平面的方程为x-3y+1Z+21-12=0,21-5（-3）+（y+1）+3（z+2）=0。即所求平面方程为:5x-y-3z-22=0。_2-1例4判断两条直线L：和48L:x+1=y-1=z是否共面,如果共面,求这两条直线确定的平面方程。(2)解：由于2-21485=0,2111故两条直线共面。由于与线性无关，故由式（3）可得该平面的方程为x-1y+1z-148113（-1）+（y+1）-4(z-1）=0。即所求平面方程为:3x+y-4z+2=0。2.当与s线性无关时的平面方程已知两条直线方程为L：mnP1x-x2Y-y22-22,其中L的方向向量为s=m2n213的平面方程。3.X-1_+155=0,1Z-Z1P2(3)P22面的方程即为截距式方程10 ：10邱兰云.例析平面方程的几种解法J.韶关学院学报,2 0 10,31(9):19-2 2.郝祥晖：线线共面条件及其平面方程的求法三、线线共面方程的应用给出空间两条直线方程，可以判定两条直线是否共面,如果共面,可以求出平面方程。如果没有给出两条直线方程，给出不在同一直线上的三点坐标也是可以确定平面的。设平面经过不在同一直线上的三个点M,(x1,y1,1),M,(x2,2,z2)和M,(x3,y3,z3),求此平面方程。如图2 所示：令了=M,M,-M,M,，由式(3)可得该平面方程为8 ;y-y12-Z1X2-xiy2-y122-21=0。x3-xiy3-y123-Z1通常把方程(4)称为平面的三点式方程9 杭MMM2图2 不在同一直线上的三个点例5设平面经过点M,（1,0,3）,M（2,1，-1)和M(0,4,1),求此平面方程。解：直接用三点式方程（4）可得x-1 y-0 z-311-14-2即所求平面的方程为:14x+6y+5z-29=0。作为特例，当三个点是平面在三个坐标轴上的交点时,即A(a,0,0),B(0,b,0)和C(0,0,c),则平+卡+=1。+a6C四、结语对于空间任意两条直线L与L，它们可能共面,也可能不共面。由空间两条直线的方程,首先应该判断它们是否共面,如果共面,可进一步求出平面方程。参考文献：1同济大学数学系.高等数学（下册）M.7版.北京：高等教育出版社，2 0 14：7.(4)2袁学刚,张友.高等数学（下册）M.北京：清华大学出版社,2 0 18:2.3同济大学数学系.工程数学线性代数M.6版.北京：高等教育出版社，2 0 14：6.4湛少锋,冯慧.线性代数空间解析几何M.北京：高等教育出版社,2 0 2 1:6.5吕林根，许子道.解析几何M.北京：高等教育出版社,2 0 19:7.6丰宁欣,孙贤铭.空间解析几何M.浙江：浙江科学技术出版社,19 8 2:12.7李永乐,王式安,武忠祥,等.考研数学复习全书M.西安：西安交通大学出版社，2 0 19：12.8汤家凤.考研数学复习大全M.北京：中国原子能出版社,2 0 19:2.9景慧丽,刘华.基于一道平面方程题目的解法进行探究式教学J.玉溪师范学院学报,2 0 2 1,37(6)：111-115.-4=0。责任编辑程光辉Two Coplanar Lines and the Solution of Its Plane EquationHAO Xianghui(Department of Basic Courses,Jiyuan Vocational and Technical College,Jiyuan 459000,Henan)Abstract:Any two vectors in space are coplanar,but any two lines in space are not necessarily coplanar.Inthis paper,the coplanar condition of two lines is given and proved,thus the coplanar condition of two lines andthe solution of their plane equations are obtained.Key words:condition of two coplanar lines;solution of plane equation;linear correlation;linear independence57