线性算子的拓扑一致降标性质与（UWΠ）性质.pdf

利用拓扑一致降标性质定义的谱集、常用谱集和算子本身的一些性质,给出有界线性算子及其算子函数满足(UW)性质的充要条件,并讨论(UW)性质的摄动问题.关键词:线性算子;(UW)性质;拓扑一致降标;谱中图分类号:O 1 7 7.2 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 1-5 4 8 9(2 0 2 3)0 4-0 8 1 5-0 8T o p o l o g i c a lU n i f o r mD e s c e n tP r o p e r t ya n dP r o p e r t y(UW)f o rL i n e a rO p e r a t o r sZ HANGT e n g j i e,C AOX i a o h o n g(C o l l e g e o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,S h a a n x iN o r m a lU n i v e r s i t y,X ia n7 1 0 1 1 9,C h i n a)A b s t r a c t:W eg a v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o rb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r sa n dt h e i ro p e r a t o rf u n c t i o n s t os a t i s f yt h ep r o p e r t y(UW)b yu s i n gt h es p e c t r u ms e t sd e f i n e db yt o p o l o g i c a lu n i f o r md e s c e n tp r o p e r t y,c o mm o n l yu s e ds p e c t r u ms e t sa n ds o m ep r o p e r t i e so fo p e r a t o r st h e m s e l v e s,a n dd i s c u s s e dt h ep e r t u r b a t i o np r o b l e m so fp r o p e r t y(UW).K e y w o r d s:l i n e a ro p e r a t o r;p r o p e r t y(UW);t o p o l o g i c a lu n i f o r md e s c e n t;s p e c t r u m收稿日期:2 0 2 2-0 9-1 5.第一作者简介:张腾杰(1 9 9 9),男,汉族,硕士研究生,从事算子理论的研究,E-m a i l:z h a n g t e n g j i e 1 2 31 6 3.c o m.通信作者简介:曹小红(1 9 7 2),女,汉族,博士,教授,博士生导师,从事算子理论的研究,E-m a i l:x i a o h o n g c a o s n n u.e d u.c n.基金项目:陕西省自然科学基金(批准号:2 0 2 1 J M-5 1 9).1 引言及预备知识用和分别表示复数集和非负整数集.H表示无限维复可分的H i l b e r t空间,B(H)为H上有界线性算子构成的全体,F(H)表示B(H)上有限秩算子构成的全体.令n(T)=d i mN(T),d(T)=d i mH/R(T),其中N(T)和R(T)分别表示算子T的零空间和值域.算子TB(H)的升标和降标分别定义为a s c(T)=i n fn:N(Tn)=N(Tn+1)和d e s(T)=i n fn:R(Tn)=R(Tn+1).若这样的下确界不存在,则记a s c(T)=(或者d e s(T)=).若R(T)是闭的且n(T),则T称为上半F r e d h o l m算子;若d(T),则T称为下半F r e d h o l m算子.若T既是上半F r e d h o l m算子也是下半F r e d h o l m算子,则T称为F r e d h o l m算子.当T是上半(或者下半)F r e d h o l m算子时,其指标定义为i n d(T)=n(T)-d(T).若TB(H)为上半F r e d h o l m算子且n(T)=0,则T称为下有界算子.指标i n d(T)=0的上半(或者下半)F r e d h o l m算子T称为W e y l算子.若算子T有有限的升降标,则称T是D r a z i n可逆的.将D r a z i n可逆的F r e d h o l m算子称为B r o w d e r算子.可以证明T为B r o w d e r算子当且仅当00,b(T)=:T-I不是B r o w d e r算子,a b(T)=:T-I不是上半F r e d h o l m算子或者a s c(T-I)=,D(T)=:T-I不是D r a z i n可逆.考虑到值域R(T)开闭性的重要性,定义c(T)=:值域R(T-I)不闭.记0(T)=(T)b(T).令(T)=(T),S F+(T)=S F+(T),b(T)=b(T).记E和a c cE分别为集合E的边界点集和聚点集.若a(T)e a(T)=(T),则称TB(H)满足(UW)性质(记作T(UW)1,其中(T)=(T)D(T)称为算子T极点的全体.对TB(H),任 给 非 负 整 数n,定 义R(Tn)上 的 新 范 数n为:对yR(Tn),yn=i n fx:xH,y=Tnx.由n诱导的拓扑称为R(Tn)上的算子值域拓扑.对于每个非负整数n,T诱导出向量空间R(Tn)/R(Tn+1)到R(Tn+1)/R(Tn+2)的一个线性变换,用kn(T)表示该线性变换零空间的维数.如果存在一个非负整数d,使得对任意的nd,均有kn(T)=0,则称T有一致降标2.此外,若对任意的nd,R(Tn)都在R(Td)的算子值域拓扑下是闭的,则称T有拓扑一致降标2.令(T)=:T-I有拓扑一致降标,记(T)=(T).若T是半F r e d h o l m算子,则T有拓扑一致降标.若(T)(T),则(T)2.关于W e y l定理3的研究目前已有很多结果.文献2 中定义的算子的(UW)性质是W e y l定理的一种新变形,近年来备受关注4-5.算子的拓扑一致降标性质与算子的谱结构有密切的联系,近年来,该性质已被应用到W e y l定理及其变形的研究中,并得到了丰富的结果6.与(UW)性质相同,a-W e y l定理是W e y l定理的另一种变形.若a(T)e a(T)=a0 0(T),则称TB(H)满足a-W e y l定理,其中a0 0(T)=i s oa(T):0n(T-I)d(T-I).证明:必要性.设T(UW),包含关系(T)a c c(T)S F+(T)(T):n(T-I)=0:n(T-I)d(T-I)b(T)显然成立.下证反包含,设0(T)a c c(T)S F+(T)(T):n(T-I)=0:n(T-I)d(T-I).不妨设0(T),则n(T-0I)0.由于0a c c(T)S F+(T),下面分两种情形讨论.情形1)0a c c(T).此时0(T)(T),从而0(T)2.由T(UW)知T-0I为B r o w d e r算子,于是0b(T).情形2)0S F+(T).此时0a(T)e a(T).再根据T(UW)知T-0I为B r o w d e r算子,于是0b(T).由上述证明可知,当T(UW)时,b(T)=(T)a c c(T)S F+(T)(T):n(T-I)=0:n(T-I)d(T-I).充分性.由于 a(T)e a(T)(T)(T)=,a(T)e a(T)(T)a c c(T)S F+(T)=,a(T)e a(T)(T)(T):n(T-I)=0=,a(T)e a(T)(T):n(T-I)d(T-I)=,则a(T)e a(T)(T)=0(T).于是a(T)e a(T)=(T),即T(UW).注1 在定理1中,当T(UW)时,b(T)分解的四部分缺一不可.例1 令TB(l2)定义为T(x1,x2,x3,)=0,0,x22,x33,则T(UW),但b(T)a c c(T)S F+(T)(T):n(T-I)=0:n(T-I)d(T-I),即(T)不能缺.例2 令A,BB(l2)定义为A(x1,x2,x3,)=(0,x1,x2,x3,),B(x1,x2,x3,)=(x1,0,x3,0,),定义TB(l2l2)为T=A00B.则T(UW),但b(T)(T)(T):n(T-I)=0:n(T-I)d(T-I),即a c c(T)S F+(T)不能缺.例3 令TB(l2)定义为T(x1,x2,x3,)=(0,x1,x2,x3,),则T(UW),但b(T)(T)a c c(T)S F+(T):n(T-I)d(T-I),即(T):n(T-I)=0 不能缺.例4 令TB(l2)定义为T(x1,x2,x3,)=(x2,x3,),则T(UW),但b(T)(T)a c c(T)S F+(T)(T):n(T-I)=0,即:n(T-I)d(T-I)不能缺.718 第4期 张腾杰,等:线性算子的拓扑一致降标性质与(UW)性质 由于S F+(T)=c(T):n(T-I)=,因此有以下推论.推论1 设TB(H),则T(UW)当且仅当b(T)=(T)a c c(T)c(T)(T):n(T-I)=0a c c(T):n(T-I)=:n(T-I)d(T-I).当T(UW)时,可证明下列关系:a c c:n(T-I)=d(T-I)c(T)(T)a c ce a(T).事实上,如果0a c c:n(T-I)=d(T-I)c(T),但0(T)a c ce a(T),则存在0,使得当0-0时,T-I是W e y l算子.由T(UW)知b(T),因此0(T),而0(T),所以0(T).由T(UW)知0b(T),与0c(T)矛盾.于是有下列推论.推论2 设TB(H),则T(UW)当且仅当b(T)=(T)a c ce a(T)(T):n(T-I)=0a c c(T):n(T-I)=a c c:n(T-I)d(T-I)c(T).证明:必要性.此时a c c(T)c(T)a c c:n(T-I)d(T-I)c(T)a c ce a(T)(T)a c c:n(T-I)d(T-I)a c ce a(T).于是由推论1可知b(T)(T)a c ce a(T)(T):n(T-I)=0a c c(T):n(T-I)=a c c:n(T-I)d(T-I)c(T).反包含显然.充分性.此时 a(T)e a(T)(T)(T)=,a(T)e a(T)(T)a c ce a(T)=,a(T)e a(T)(T)(T):n(T-I)=0=,a(T)e a(T)(T)a c c(T):n(T-I)=,a(T)e a(T)(T)a c c:n(T-I)d(T-I)a c c(T)e a(T),因此有以下推论.推论3 设TB(H),则T(UW)当且仅当b(T)=(T)a c c(T)e a(T)(T):n(T-I)=0.W e y l定理及其变形的摄动问题近年来备受关注7-1 0.下面利用拓扑一致降标性质讨论(UW)性质的有限秩摄动.由文献1 1 中定理4.7知,*(T)=*(T+F),其中F是与TB(H)可交换的有限秩算子,*e a,a b,b,D.若T(UW),则其有限秩摄动不一定满足(UW)性质.例如:设A,PB(l2)定义为A(x1,x2,x3,)=(0,x1,x2,x3,),P(x1,x2,x3,)=x12,0,0,0,.定义TB(l2l2)为T=A00 0,FB(l2l2)为F=0 00P.则T(UW),F为有限秩算子且满足F T=T F,但T+F(UW).定理2 设TB(H),若FF(H)且T F=F T,则T(UW)且(T)=a(T)当且仅当T+F(UW)且(T+F)=a(T+F).证明:由于-F也为有限秩算子,因此只需证明必要性即可.由T(UW)及(T)=a(T)可知e a(T)=b(T).又由于D(T)=(T)a c c(T)无条件成立,结合T(UW),则b(T)=D(T)=(T)a c c(T).于是b(T)=(T)a c c(T)e a(T).由于b(T+F)=b(T),e a(T+F)=e a(T),故e a(T+F)=b(T+F).又由于D(T+F)=(T+F)a c c(T+F),818 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 D(T+F)=D(T)=b(T)=b(T+F)=(T)a c c(T),故b(T+F)=(T+F)a c c(T+F)=(T)a c c(T).于是b(T+F)=(T+F)a c c(T+F)e a(T+F).由推论3知T+F(UW).由e a(T+F)=b(T+F)可知(T+F)=a(T+F).证毕.对于TB(H),若N(T)n=1R(Tn),则称T具有K a t o性质.令k(T)=:T-I没有K a t o性质.若T-I是B r o w d e r算子且具有K a t o性质,则T-I可逆.断言:T(UW)且(T)=a(T)当且仅当b(T)=(T)a c ce a(T)a c ck(T).事实上,若T(UW)且(T)=a(T),则b(T)=(T)a c c(T)且a c ce a(T)a c ck(T)=a c c(T).于是b(T)=(T)a c ce a(T)a c ck(T).反之,当b(T)=(T)a c ce a(T)a c ck(T)时,易证T(UW)且(T)=a(T).于是有:推论4 设TB(H),若FF(H)且T F=F T,则T+F(UW)且(T+F)=a(T+F)当且仅当b(T)=(T)a c ce a(T)a c ck(T).由定理1,有:1)b(T)=(T)a c c(T)S F+(T)a(T):n(T-I)=0:n(T-I)d(T-I)T(UW)且(T)=a(T);2)b(T)=(T)a c c(T)e a(T)a(T):n(T-I)=0T(UW)且(T)=a(T).于是可得下列推论:推论5 设TB(H),若FF(H)且T F=F T,则下列叙述等价:1)T+F(UW)且(T+F)=a(T+F);2)b(T)=(T)a c c(T)S F+(T)a(T):n(T-I)=0:n(T-I)d(T-I);3)b(T)=(T)a c c(T)e a(T)a(T):n(T-I)=0.在上述关于(UW)性质有限秩摄动的所有结论中,可交换性是必不可少的.例如:设T,FB(l2)定义为T(x1,x2,x3,)=0,0,x22,x33,F(x1,x2,x3,)=0,0,x1-x22,0,则F是有限秩算子,(T)=a(T)且T(UW),但T FF T.通过计算可知,0a(T+F)e a(T+F),但0(T+F),故T+F(UW).3 算子函数的(UW)性质设TB(H),f(T)表示T的R i e s z-D u n f o r d函数演算,H o l(T)表示所有在T的谱集某个邻域上解析的函数全体.下面将借助拓扑一降标讨论有界线性算子函数演算的(UW)性质.注2 1)如果T(UW),则不能推出其算子函数满足(UW)性质;2)若存在fH o l(T),使得f(T)(UW),则不能推出T(UW).例5 令A,BB(l2)定义为A(x1,x2,x3,)=(0,x1,0,x2,0,),B(x1,x2,x3,)=(x1,0,0,0,),定义TB(l2l2)为T=A00B+I,则T(UW).设f(z)=z(z-2),z,通过计算可知0a(f(T)e a(f(T),但0(f(T),故f(T)(UW).例6 令A,BB(l2)定义为A(x1,x2,x3,)=(0,x1,x2,x3,),B(x1,x2,x3,)=(x1,0,x3,0,),918 第4期 张腾杰,等:线性算子的拓扑一致降标性质与(UW)性质 定义TB(l2l2)为T=A+I00B-I,则a(T2)=e a(T2)=rei:r=2(1+c o s)1,(T2)=,即T2(UW).但a(T)=e a(T)=:-1=1-1,(T)=-1,故T(UW).由注2可知,T(UW)和f(T)(UW)没有直接联系.下面讨论算子函数的(UW)性质.谱集e a()不满足谱映射定理,但存在这样的事实:任给fH o l(T),均有e a(f(T)=f(e a(T)当且仅当任给,S F+(T),i n d(T-I)i n d(T-I)0.引理1 设TB(H),若任给fH o l(T),均有f(T)(UW),则任给,S F+(T),i n d(T-I)i n d(T-I)0.证明:若存在一对0,0S F+(T),使得i n d(T-0I)=n0,i n d(T-0I)=-m0矛盾.证毕.由引理1可知,算子函数的(UW)性质与F r e d h o l m指标有密切关系,因此可用算子的拓扑一致降标性质刻画F r e d h o l m指标的性质.引理2 设TB(H),若T(UW),则:1)(T)b(T)a c ce a(T)当且仅当任给S F+(T),i n d(T-I)0;2)(T)b(T)a c cS F+(T)a c c:n(T-I)=0 当且仅当任给S F+(T),i n d(T-I)0.证明:1)设(T)b(T)a c ce a(T).若存在S F+(T),使得i n d(T-I)0,则(T),但a c ce a(T).于是b(T),与i n d(T-I)0矛盾.故任给S F+(T),i n d(T-I)0.反之,设任给S F+(T),i n d(T-I)0.取0(T)但0a c ce a(T),则当0-0充分小时,T-I为 上 半F r e d h o l m算 子 且i n d(T-I)0.由 条 件 知i n d(T-I)=0,即 当00;若0(T)a c c(T)a(T):n(T-I)=0,则0(T);若0(T)e a(T)a(T):n(T-I)=0,则0a(T)e a(T).由T(UW)可知00(T).均与0(T)=矛盾,因此0a(T).由i n d(T-0I)0知0(T).反包含显然.情形2)任给S F+(T),i n d(T-I)0.任给0(T)a c c(T)S F+(T)(T):n(T-I)=0,断言:0(T).事实上,若0(T)a c c(T)(T):n(T-I)=0,则0(T),若0(T)S F+(T)(T):n(T-I)=0,则由i n d(T-0I)0可知0a(T)e a(T),由T(UW)和0(T)=可知0(T).反包含显然.充分性.情形1)条件1)成立.任给S F+(T),若存在0S F+(T),i n d(T-0I)0,则0(T)e a(T)a(T):n(T-I)=0,因此0(T),与i n d(T-0I)0,则0(T)S F+(T)(T):n(T-I)=0,因此0(T),与i n d(T-0I)0矛盾.所以任给S F+(T),均有i n d(T-I)0.与情形1)同理可知0(T)=.设2a(T)e a(T),显然2(T)a c c(T)S F+(T)(T):n(T-I)=0,从而2(T),与2a(T)e a(T)矛盾.因此a(T)=e a(T).同理可得(T)=.于是T(UW).由引理2和定理3可知,f(T)(UW).证毕.通过上述定理和推论,并借助拓扑一致降标可实现对算子函数的(UW)性质的刻画.定理4 设TB(H),则任给fH o l(T),均有f(T)(UW)当且仅当下列条件之一成立:1)(T)=(T)a c c(T)e a(T)a(T):n(T-I)=0;128 第4期 张腾杰,等:线性算子的拓扑一致降标性质与(UW)性质 2)(T)=(T)a c c(T)S F+(T)(T):n(T-I)=0;3)b(T)=(T)a c c(T)e a(T).若(T T*)p(T*T)p,则TB(H)称为p-H y p o n o r m a l算子.若存在正数M,使得任给及任给xH,均有(T-I)*xM(T-I)x,则T称为M-H y p o n o r m a l算子,其中T*表示算子T的共轭算子.若TB(H)为p-H y p o n o r m a l算子或者M-H y p o n o r m a l算子,则任给,a s c(T-I).于 是 由 文 献 1 2 中 定 理4.2知,任 给S F+(T),i n d(T-I)0,即S F+(T)=e a(T).由推论3和定理4知下列推论成立.推论8 设TB(H)为p-H y p o n o r m a l算子或者M-H y p o n o r m a l算子,则:1)T(UW)当且仅当b(T)=(T)a c c(T)S F+(T)(T):n(T-I)=0;2)任给fH o l(T),均有f(T)(UW)当且仅当下列条件之一成立:(T)=(T)a c c(T)S F+(T)(T):n(T-I)=0;b(T)=(T)a c c(T)S F+(T).当T*B(H)为p-H y p o n o r m a l算子或者M-H y p o n o r m a l算子时,易证明e a(T)=b(T).于是,再根据推论3和定理4可得如下推论成立.推论9 设T*B(H)为p-H y p o n o r m a l算子或者M-H y p o n o r m a l算子,则:1)T(UW)当且仅当b(T)=(T)a c c(T);2)任给fH o l(T),均有f(T)(UW)当且仅当T(UW).参考文献1 B E R KAN IM,KA CHA D M.N e wB r o w d e ra n dW e y lT y p eT h e o r e m sJ.B u l l e t i no f t h eK o r e a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,2 0 1 5,5 2(2):4 3 9-4 5 2.2 G R A B I N E RS.U n i f o r m A s c e n t a n dD e s c e n to fB o u n d e dO p e r a t o r sJ.J o u r n a lo ft h eM a t h e m a t i c a lS o c i e t yo fJ a p a n,1 9 8 2,3 4(2):3 1 7-3 3 7.3 WE Y LH V.b e rB e s c h r n k t eQ u a d r a t i s c h eF o r m e n,D e r e nD i f f e r e n zV o l l s t e t i gI s tJ.R e n d i c o n t iD e lC i r c o l oM a t e m a t i c oD iP a l e r m o,1 9 0 9,2 7(1):3 7 3-3 9 2.4 GU P TAA,KUMA RA.P r o p e r t y(UW)a n dP e r t u r b a t i o n sJ.M e d i t e r r a n e a nJ o u r n a l o fM a t h e m a t i c s,2 0 1 9,1 6(5):1 2 4-1-1 2 4-1 2.5 A I E NAP,KA CHA D M.P r o p e r t y(UW)u n d e rP e r t u r b a t i o n sJ.A n n a l so fF u n c t i o n a lA n a l y s i s,2 0 2 0,1 1(1):2 9-4 6.6 C AOXH.T o p o l o g i c a lU n i f o r m D e s c e n ta n d W e y lT y p eT h e o r e mJ.L i n e a rA l g e b r aa n dI t sA p p l i c a t i o n s,2 0 0 7,4 2 0(1):1 7 5-1 8 2.7 L IC G,Z HU S,F E N G Y L.W e y lsT h e o r e mf o rF u n c t i o n so fO p e r a t o r sa n dA p p r o x i m a t i o nJ.I n t e g r a lE q u a t i o n sa n dO p e r a t o rT h e o r y,2 0 1 0,6 7(4):4 8 1-4 9 7.8 YANGLL,C AO X H.S i n g l e-V a l u e dE x t e n s i o nP r o p e r t ya n dP r o p e r t y()J.F u n c t i o n a lA n a l y s i sa n dI t sA p p l i c a t i o n s,2 0 2 1,5 5(4):3 1 6-3 2 5.9 YANGLL,C AO X H.P r o p e r t y()a n dI t sC o m p a c tP e r t u r b a t i o n sJ.R e v i s t aD el aR e a lA c a d e m i aD eC i e n c i a sE x a c t a s,F s i c a syN a t u r a l e s(S e r i eA):M a t e m t i c a s,2 0 2 1,1 1 5(2):6 0-1-6 0-1 1.1 0 C AOXH,D ONGJ,L I UJH.W e y lsT h e o r e ma n dI t sP e r t u r b a t i o n sf o rt h eF u n c t i o n so fO p e r a t o r sJ.O p e r a t o r sa n dM a t r i c e s,2 0 1 8,1 2(4):1 1 4 5-1 1 5 7.1 1 A I E NAP.S e m i-F r e d h o l m O p e r a t o r s,P e r t u r b a t i o nT h e o r ya n dL o c a l i z a t e dS V E PM.M r i d a,V e n e z u e l a:s.n.,2 0 0 7:1 3 5.1 2 TAY L O RA E.T h e o r e m so n A s c e n t,D e s c e n t,N u l l i t ya n dD e f e c to fL i n e a rO p e r a t o r sJ.M a t h e m a t i s c h eA n n a l e n,1 9 6 6,1 6 3:1 8-4 9.(责任编辑:赵立芹)228 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷