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1．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是( )
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ
D．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
解析：选D.对于选项D，若m∥α，则过直线m的平面与平面α相交得交线n，由线面平行的性质定理可得m∥n，又m⊥β，故n⊥β，且n⊂α，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β.
2．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )
A．若a⊥b，a⊥α，则b∥α
B．若a∥α，α⊥β，则a⊥β
C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
解析：选D.A中，b可能在α 内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交(不垂直)；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β.
3.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：选A.∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，
∴AC⊥平面ABC1.
∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上一点C1在底面ABC的射影H必在交线AB上．
4.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )
A．PA＝PB>PC
B．PA＝PB<PC
C．PA＝PB＝PC
D．PA≠PB≠PC
解析：选C.∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴MA＝MB＝MC.
又∵PM⊥平面ABC，∴MA、MB、MC分别是PA、PB、PC在平面ABC上的射影．∴PA＝PB＝PC.应选C.
5．在二面角α－l－β的两个面α，β内，分别有直线a，b，它们与棱l都不垂直，则( )
A．当该二面角是直二面角时，可能a∥b，也可能a⊥b
B．当该二面角是直二面角时，可能a∥b，但不可能a⊥b
C．当该二面角不是直二面角时，可能a∥b，但不可能a⊥b
D．当该二面角不是直二面角时，不可能a∥b，也不可能a⊥b
解析：选B.当该二面角为直二面角时(如图)，若a⊥b，∵b与l不垂直，在b上取点A，过A作AB⊥l，AB∩b＝A，
由⇒⇒a⊥β⇒a⊥l.
这和a与l不垂直相矛盾．
∴不可能a⊥b.故A错误，
∴B正确．
6.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
解析：选C.
如图，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF.∴A正确．
由题设知BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE.
∴DF⊥平面PAE.∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正确．
7．已知m，n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：
①α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；
③若n⊄α，m⊄α且n∥β，m∥β，则α∥β；
④若m，n为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.
则其中正确的命题是_______．(把你认为正确的命题序号都填上)
解析：依题意可构造正方体ABCD-A1B1C1D1，如图所示，在正方体中逐一判断各命题易得正确的命题是②④.
答案：②④
8．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．
解析：设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为a.
由PM⊥BC，
∴PM＝ ＝a.
连结PG并延长与AD相交于N点，
则PN＝a，MN＝AB＝a，
∴PM2＋PN2＝MN2，
∴PM⊥PN，又PM⊥AD，
∴PM⊥面PAD，
∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．
答案：无数
9.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：
①点H是△A1BD的中心；
②AH垂直于平面CB1D1；
③AC1与B1C所成的角是90°.
其中正确命题的序号是 .
解析：由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以A-A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°.
答案：①②③
10.(2010年南京模拟)如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
求证：(1)BC⊥A1D；
(2)平面A1BC⊥平面A1BD.
证明：(1)由于A1在平面BCD上的射影O在CD上，
则A1O⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，
则BC⊥A1O，
又BC⊥CO，A1O∩CO＝O，
则BC⊥平面A1CD，又A1D⊂平面A1CD，
故BC⊥A1D.
(2)因为ABCD为矩形，所以A1B⊥A1D.
由(1)知BC⊥A1D，A1B∩BC＝B，则A1D⊥平面A1BC，又A1D⊂平面A1BD.
从而有平面A1BC⊥平面A1BD.
11.如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点．
(1)求证：DF∥平面ABC；
(2)求证：AF⊥BD.
证明：(1)取AB的中点G，连结FG，可得FG∥AE，FG＝AE，
又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
∴CD∥AE，CD＝AE，
∴FG∥CD，FG＝CD，
∵FG⊥平面ABC，
∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，
CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，
∴DF∥平面ABC.
(2)Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，
F为BE中点，∴AF⊥BE，
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，
∴DF⊥AB，
又DF⊥FG，
∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，
∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD.
12.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．
(1)求证：B1D1∥面A1BD；
(2)求证：MD⊥AC；
(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
解：(1)证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD.
而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，
所以B1D1∥平面A1BD.
(2)证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，
又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，
所以AC⊥面BB1D，
而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC.
(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D
取DC的中点N，D1C1的中点N1，连结NN1交DC1于O，连结OM.
因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，
所以BN⊥面DCC1D1.
又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.
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