资源描述
1．(2010年北京西城调研)下列命题中，正确命题的个数为( )
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确，故选C.
2．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是( )
A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)
C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)
解析：选A.∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，
∴n⊥，在选项A中，＝(1,4,1)，
∴n·＝0.
3．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
解析：选C.如图，四棱锥P－ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连结AO，则AO是AP在底面ABCD上的射影，
∴∠PAO即为所求线面角，
∵AO＝，PA＝1，
∴cos∠PAO＝＝.∴∠PAO＝45°，即所求线面角为45°.
4.如右图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为α、β，则α＋β等于( )
A．120° B．60°
C．75° D．90°
解析：选D.建立坐标系如图，
B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)．
则＝(0,2,0)，＝(1,1，－1)，＝(1,2，－1)，
∴cos〈，〉＝，
cos〈，〉＝，∴cosα＝，
cosβ＝，sinβ＝，∴α＋β＝90°，
故选D.
5．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.以正三棱锥O－ABC的顶点O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建系(图略)，
设侧棱长为1，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，
侧面OAB的法向量为＝(0,0,1)，
底面ABC的法向量为n＝(，，)，
∴cos〈， n〉＝
＝＝.
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
解析：选B.以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建系(图略)，
设正方体棱长为1，
则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，
D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E(，，1)，
∴＝(－，－，1)，
＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，
＝(0,1，－1)，＝(0,0，－1)，
显然·＝－＋0＝0，
∴⊥，即CE⊥BD.
7．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是__________．
解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，
C(－a,0,0)，P(0，－，)，
则＝(2a,0,0)，
＝(－a，－，)，＝(a，a,0)，
设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，
则cos〈，n〉＝＝＝，
∴〈， n〉＝60°，
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.
答案：30°
8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值等于__________．
解析：以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略)，
设CE＝x，DF＝y，
则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)⇒＝(x－1,0,1)，
又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)⇒＝(1,1，y)，
由于AB⊥B1E，
故若B1E⊥平面ABF，
只需·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.
答案：1
9.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，则二面角C1－AB－C的余弦值为__________．
解析：如图建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，＝(0,1,2)，
＝(，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ABC1的法向量
则
取n＝(－，2，－1)，
取m＝(0,0,1)，作为平面ABC的法向量．则cos〈m，n〉＝－＝－.
∴二面角C1－AB－C的余弦值为.
答案：
10．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．
(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；
(2)求二面角F－DE－C的余弦值．
解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(0,2,2)．
(1)＝(－1,0,2)．
易得平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，
设与n的夹角为θ，
则cosθ＝＝，
∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.
(2)＝(－1,0,2)，＝(0,2,2)．
设平面DEF的一个法向量为m，则m·＝0，m·＝0，
可得m＝(2，－1,1)，∴cos〈m，n〉＝＝，
∴二面角F－DE－C的余弦值为.
11．正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为2，P是侧棱AA1上任意一点．
(1)求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积；
(2)判断直线B1P与平面ACC1A1是否垂直，请证明你的结论；
(3)当BC1⊥B1P时，求二面角C－B1P－C1的余弦值．
解：(1)VABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1
＝×22×2＝2.
(2)不垂直．建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，
设AP＝a，
则A，C，B1，P的坐标分别为
(0，－1,0)，(0,1,0)，
(，0,2)，(0，－1，a)，
＝(0,2,0)，
＝(－，－1，a－2)，
·＝－2≠0，∴B1P不垂直AC，
∴直线B1P不可能与平面ACC1A1垂直．
(3)＝(－，1,2)，
由BC1⊥B1P，得·＝0，
即2＋2(a－2)＝0，∴a＝1.
又BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面CB1P，
∴＝(－，1,2)是平面CB1P的法向量．
设平面C1B1P的法向量为n＝(1，y，z)，
由，则n＝(1，，－2)．
设二面角C－B1P－C1的大小为α，
则cosα＝＝，
∴二面角C－B1P－C1的余弦值的大小为.
12．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
(3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？
解：(1)当点E为BC的中点时，
EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥PC.
又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，
∴EF∥平面PAC.
(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则
P(0,0,1)，B(0,1,0)，
F(0，，)，D(，0,0)，
设BE＝x(0≤x≤)，
则E(x,1,0)，
·＝(x,1，－1)·(0，，)＝0，
∴PE⊥AF.
(3)设平面PDE的法向量为m＝(p，q,1)，
由，得m＝(，1－，1)．
而＝(0,0,1)，依题意PA与平面PDE所成角为45°，
所以sin45°＝＝，
∴＝，
得BE＝x＝－或BE＝x＝＋>(舍)．
故BE＝－时，PA与平面PDE所成角为45°.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
