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1．给出下列命题：
①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行．其中正确的命题为( )
A．① B．②
C．③ D．①③
解析：选C.①错，c可与a、b都相交；
②错，因为a、c可能相交也可能平行；
③正确，例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件．故选C.
2．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么( )
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上
解析：选A.平面ABC∩平面ACD＝AC，M∈平面ABC，M∈平面ACD，从而M∈AC.
3．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
解析：选C.由题意，D∈l，l⊂β，∴D∈β.
又D∈AB，∴D∈平面ABC，
即D在平面ABC与平面β的交线上．
又C∈平面ABC，C∈β，
∴点C在平面β与平面ABC的交线上．
从而有平面ABC∩平面β＝CD.
4．下列命题中正确的有几个( )
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；
②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面五个点一定能确定10个平面．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C.在①中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P、Q、R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A、B两点在该平面上，所以l⊂α，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a、l，∴α与β重合，故这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．
5.已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点( )
A．成钝角三角形 B．成锐角三角形
C．成直角三角形 D．在一条直线上
解析：选D.D、E、F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，由公理2知，D、E、F共线．
6．正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是AA1，CC1的中点，P是CC1上的动点(包括端点)，过点E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是( )
A．线段C1F B．线段CF
C．线段CF和一点C1 D．线段C1F和一点C
解析：选C.如图，
DE∥平面BB1C1C，
∴平面DEP与平面BB1C1C的交线PM∥ED，连结EM，
易证MP=ED，
∴MP綊ED，则M到达B1时仍可构成四边形，即P到F.而P在C1F之间，不满足要求．P到点C1仍可构成四边形．
7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为 (注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．
答案：③④
8.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
以上结论正确的为 .(写出所有正确结论的编号)
解析：由平行平面的性质可得①，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形．③④显然正确．
答案：①③④
9．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是__________．
解析：如图①所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC＝0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC＝，如图②，故AC的取值范围是0<AC<.
答案：(0，)
10.如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点，请回答下列问题：
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？
(2)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？
(3)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？
解：(1)当E，F，G，H分别为所在边的中点时，四边形EFGH为平行四边形，证明如下：
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH綊BD，同理，FG綊BD.
从而EH綊FG，所以四边形EFGH为平行四边形．
(2)当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC时，四边形EFGH为矩形．
(3)当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．
11. 如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH綊AD.
又BC綊AD，故GH綊BC.
所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：
由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．
12.在长方体ABCD－A1B1C1D1的面A1C1上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1上)．
(1)过P点在空间中作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；
(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈(0，]，这样的直线有几条，应该如何作图？
解：(1)连结B1D1，在平面A1C1内过P作直线l，
使l∥B1D1，则l即为所求作的直线．
∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD.
(2)在平面A1C1内作直线m，
使直线m与B1D1相交成α角，
∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，
即直线m为所求作的直线．
由图知m与BD是异面直线，
且m与BD所成的角α∈(0，]．
当α＝时，这样的直线m有且只有一条，
当α≠时，这样的直线m有两条．
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