问君哪得清如许书中自有活水来.pdf

2023年第6期 福建中学数学 19 参考文献参考文献 1中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准（2017 年版 2020年修订）M北京：人民教育出版社，2020 2（美）G波利亚著涂泓，冯承天译怎样解题数学思维的新方法M上海：上海科技教育出版社，2011 3潘颖艺回归教材，让探究升华J福建中学数学，2021（2）：39-41 问君哪得清如许问君哪得清如许 书中自有书中自有“活水活水”来来 张钊然 福建省永安市第三中学（366000）高中数学学科教学必须紧贴高中课标，做到依托课标教学，依托教材教学，牢牢把握数学学科本质，也就是在学生对基础知识和基本概念掌握的基础上，让学生做到“不仅知其然，更要知其所以然”，加深对教材知识的系统化、结构化理解，同时充分发挥学科教材的育人功能，挖掘学科教材内容的思想性、教育性 高考命题越来越灵活多变，对学生数学问题的解决能力的要求越来越高，教师一线教学要充分用好教材中的巧妙留白设问，教透、学透数学基本概念和基础知识，为学生的数学学科核心素养的提升“搭好台唱好戏”1 用好数学教材，做好基本概念的教学用好数学教材，做好基本概念的教学 在教学过程中发现，对数学教材中的基本概念的辨析教学要下大功夫，下苦功夫，啃透这块“硬骨头”，这对学生的长远自身数学能力的提高与数学学科核心素养的提升都有深远的教育意义 以人教 A 版必修二概率“事件的相互独立”的概念教学为例，无论教师还是学生都要注意辨析随机事件“相互独立”和“两两独立”的联系与区别 这直接印证在人教 A 版必修二中概率第247 页中的一段话“如果三个事件A B C，两两互斥，那么概率加法公式()()()P ABCP AP B=+()P C成立；但当三个事件A B C，两两独立时，等式()()()()P ABCP A P B P C=一般不成立”如何使学生真正领会其中的含义呢？教师在研究教材、集体备课的过程中，一定要回归教材中的数学基本概念，只有带领学生学透基本概念才能在探究中解决这些问题，学生才能有领悟在教学中，教师可以从以下方面辨析多个随机事件的“相互独立”和“两两独立”的联系与区别：（1）两者描述范围不同：n个随机事件两两独立，是这n个事件中任意两个事件之间独立，例如：有事件A B C，满足()()()P ABP A P B=，()()()P BCP B P C=，且()P AC=()()P A P C，则称事件A B C，两两独立 n个随机事件相互独立，不仅是这n个事件中任意两个事件之间独立，也包括三个事件、四个事件所有事件之间独立 例如：有事件A B C，满足()()()P ABP A P B=，()()()P BCP B P C=，()P AC()()P A P C=，且()()()()P ABCP A P B P C=，则称事件A B C，相互独立（2）两者性质不同：两两独立的事件组不一定相互独立；相互独立的事件组一定两两独立（3）举反例，具体实例辨析概念：例如例如 设随机试验E的样本空间123 =，4，又事件12A=，13B=，14C=，显然有21()()()42=P AP BP C，并且容易验证这时()()()P ABP A P B=，()()()P BCP B P C=，()P AC()()P A P C=均成立，但是1=ABC，所以()P ABC 1()()()4P A P B P C=反过来，若有()()()()P ABCP A P B P C=成立，也不能保证()()()P ABP A P B=，()()()P BCP B P C=，()()()P ACP A P C=三个式子一定成立 因此，对三个事件的相互独立性，就要求()()()P ABP A P B=，()()()P BCP B P C=，()P AC=()()P A P C和()()()()P ABCP A P B P C=都成立（4）给学生准确的概念教学：对任意三个事件A B C，如果有()()P ABP A=()P B，()()()P BCP B P C=，()()()P ACP A P C=和()()()()P ABCP A P B P C=四个等式同时成立，则称事件A B C，相互独立 通过以上师生探究，学生才能真正领会教材中的“当三个事件A B C，两两独立时，等式()P ABC=20 福建中学数学 2023年第6期()()()P A P B P C一般不成立”这段话的含义 学生弄懂了这些基本概念的学习方法，相信在今后的概念学习中，不会胡乱类比迁移，只有这样才能让学生做到弄懂学透高中数学的基本概念；同时，也要求教师在教育教学过程中重视数学基本概念的教学，紧扣教材，挖掘教材中的丰富宝贵的教学素材，高屋建瓴，引用好高中数学新教材中的“源头活水”2 用好数学教材，做好基本性质的教学用好数学教材，做好基本性质的教学 在新教材的教学过程中，很多数学基本性质的内容需要深挖拓展，方能使数学课堂精彩纷呈，让学生学有所得，并能学以致用，举一反三，触类旁通，摒弃不科学不合理的“题海战术”，也能提高学生的数学思维能力，提升高中学生数学抽象、数学建模、逻辑推理等数学学科核心素养所以我们要用好数学教材，做好基本性质的教学 比如人教 A 版必修二“两个事件相互独立”的性质教学中，教材有这么一个性质探究“因为互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系，如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？”教师容易忽视它的教学，从而错失对这一性质的理解探究，影响学生的学习活动体验与学生良好数学学习习惯的培养，教学活动最终没有做到“知其然，知其所以然”“如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？”教材指出：对于A与B，因为AABAB=，而且AB与AB互斥，所以有()()()()()()P AP ABABP ABP ABP A P B=+=+()P AB，则()()()()()1()P ABP AP A P BP AP B=()()P A P B=由事件的独立性定义：A与B也相互独立那么其他几组事件间的独立性又该如何论证呢？如果教师不提不导，学生不疑不究，那就错失了一次很好的学法指导教学素材倘若师生、生生合作探究这一性质论证教学，既能提升学生逻辑推理、数学抽象等核心素养，又能加深学生对随机事件的事件表示方法的温习巩固，一举多得 对于A与B，因为BABAB=，而且AB与AB互斥，所以()()()()P BP ABABP ABP AB=+()()()P A P BP AB=+，所以()()()()P ABP BP A P B=()1()()()P BP AP B P A=由事件的独立性定义：A与B也相互独立 对于A与B，利用事件表示方法AABAB=（或BABAB=），同理可证：A与B也相互独立 又比如，类似的教学素材“源泉”还出现在人教A 版必修二第 211 页的方差基本公式 22221111()=nniiiisxxxxnn，然而书中介绍2211()=niisxxn，仅仅点到为止：“有时为了计算方差的方便，还把方差写成以下形式22211=niisxxn”学生必定好奇如何论证两个公式的等价性，教师完全可以把握住这难得的教学素材和带领学生探讨的机会，设计成一个拓展证明题，或者研究性小课题，同时为后面例题 6“两组样本数据汇总后的方差计算公式”的推导证明打好基础 证明证明 由于2211()niisxxn=2211(2)niiixx xxn=+2211112()=+nniiiixxxxnn 22112niixx xxn=+2211niixxn=，所以22221111()=nniiiisxxxxnn 探讨完这个小问题，学生茅塞顿开，豁然开朗，也克服了在推理证明时的畏难心理，开拓了这类问题推理论证的广阔天地，一举多得 3 用好数学教材，做好例题、习题的解题教学用好数学教材，做好例题、习题的解题教学 新教材必修部分每小节的练习习题并不难，但是遇到两个知识点或更多知识点综合考查的习题时，就需要师生领会好教材的基础知识和基本概念，寻找最优的解题方法，让学生在“学中悟”，在练习中提高解决问题的能力，在数学思想方法的指引下分析问题，在此过程中不断地提升学生的数学学科核心素养 例如，人教 A 版必修二第 212 页例题 6 就是在学习完方差的基本概念和基本公式后，引导学生独2023年第6期 福建中学数学 21 立计算两组数据汇总后的方差；更进一步，第 216页习题“拓展探索”第 11 题，是分三层的随机抽样的总样本的平均数和方差公式的证明 这时可以向学生提出问题：更多组数据汇总后的方差计算公式呢？将总样本均值和总样本方差的计算公式从例 6推广到一般，让学生体会由具体到一般的思想 如果教师此时不提问、不引导，学生不疑惑、不探究，那就又错失了一次很好的解法指导教学机会若能师生合作探究、生生合作探索这一公式的推导证明，或设计一个推广证明题，或研究性小课题，既能提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，又能拓展学生的知识面，提高学生的逻辑推理能力，有利于数学思想方法的课堂渗透 比如解决下述问题时，就需要用到必修二中第212 页例题 6 的两组数据汇总后总样本方差的一般公式：变式训练变式训练 利用分层随机抽样的方法，调研某校高二年级某次数学测验的成绩（满分 100 分），获得样本数据的特征量如下表：人数 平均成绩 方差 男生 32 70 16 女生 8 80 36 则总样本的平均分为 ，方差为 分析分析 这个问题与人教 A 版必修二中第 212 页例题 6 类似，解析过程中，可以发现总样本平均分容易得到：328708072328328x=+=+；总样本方差的求法可回归到方差的基本公式：22221111()nniiiisxxxxnn=，均出现运算繁琐、费时费力的问题，即 3222211167032iisx=男，3221157312iix=82221136 808jjsy=女，82151488jjy=所以3282222111()40ijijsxyx=+总 21(15731251488)723640=+=如果教师能带领学生探究证明教材中第212页例题 6 的一般结论，进而学习第 216 页习题“拓展探索”第 11 题（分三层的随机抽样的总样本的平均数和方差公式的证明），那么会取得事半功倍的解题效率，大大减少运算量然而如何教会学生探究这些公式的证明方法呢？可以布置这个研究性课题给学生大胆去探索证明方法 两组以上数据汇总后的方差结论如下：结论结论 1 若总体划分为两层，第一层m个数，分别为：12mx xx，平均数为x，方差为2xs；第二层n个数，分别为：12nyyy，平均数为y，方差为2ys记总的样本平均数为w，方差为2s，则222221()()xysm sxwn sywmn=+此处证明类同下文 当两组数据汇总后的数据方差公式的证明的研究性课题初步结束后，教师可以结合第 216 页习题“拓展探索”第 11 题，再追问学生“三组数据汇总后的数据方差如何计算呢？更多组呢？”从而使这个研究性问题趋于完整，而这些问题的挖掘可以进一步培养学生的递推思维，提高学生推理论证、举一反三的能力 结论结论2 若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：2xl x s，；2ym y s，；2zn z s，记总的样本平均数为w，方差为2s，则2221()xsl sxwlmn=+2222()()yzm sywn szw+教师在教学过程中可以带领学生从方差的定义式出发，得到如下证明：因为 2222111()()llxiixiisxxxxl sl=，同理 221()mjyjyym s=；221()nkzkzzn s=22221111()()()lmnijiijksxwywzwlmn=+22111()()lmijijxxxwyyy wlmn=+21()nikzzzw=+因为1()0liixx=，所以 112()()2()()0lliiiixxxwxwxx=同理，22 福建中学数学 2023年第6期 12()()0=mjjyyyw，12()()0=nkkzzzw 因此，总样本的方差为 22221111()()()llmijiijsxxxwyylmn=+222111()()()mnnijkky wzzzw=+2221()xyl sl xwm slmn=+222()()zm ywn sk zw+221()xl sxwlmn=+2222()()yzm sywn szw+换个角度，也可以带领学生从方差的等价式出发，得到第二种证明方法：因为 222222111()llxiixiisxxxl sxl=+，同理 2221()mjyjym sy=+，2221()nkzkzk sz=+因此，总样本的方差为 222221111()lmnijkijksxyzwlmn=[phone]()()()=+xyzl sxm syn szwlmn 22221()()xyl sxm sylmn=+222()()zn szlmn w+2221()xl sxwlmn=+222222()()yzm sywn szw+通过上述证明，可以得到多组数据汇总后的总样本的方差公式：结论结论3 若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：2xl x s，；2ym y s，；2zn z s，记总的样本平均数为w，方差为2s，则22221()xsl sxwlmn=+222222()()yzm sywn szw+上述分层随机抽样的总样本的方差公式对称优美，便于记忆学生不难将这几个公式推广到多层随机抽样的总样本的方差公式 总之，只有经常带领学生“打破砂锅问到底”，紧扣教材，引用好教材中宝贵的课堂教学设计的“源头活水”，把握住数学教材中难得的教学素材和带领学生探讨的机会，不放过任何细节，长期坚持，潜移默化，使学生真正做到对数学基础知识、基本公式“知其然，知其所以然”，必然实现学生的自身数学能力的提高与数学学科核心素养的提升 这样研究教材、利用教材、挖掘教材的高中数学课，才叫问君哪得清如许？书中自有“活水”来 参考文献参考文献 1陈江辉有效学习：既要让学生学会，更要让学生会学J高中数学教与学，2012（1）：26-28 2魏有莲，黄勇高中数学深度学习的特征与进阶J福建基础教育研究，2021（5）：53-55 3史宁中，王尚志普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）解读M北京：高等教育出版社，2020 基于单元整体教学基于单元整体教学的数学作业设计的数学作业设计 以“一元一次方程的应用”作业设计为例 尚颖异 广东省深圳实验光明学校（518107）义务教育数学课程标准（2011 版）在对数学教学活动的实施建议中提出“注重课程目标的整体实现”1，即整体教学观数学教学要在整体视角下确定教学目标、把握课程内容、设计教学环节，其关键在于建立新旧知识的联结点，整合众多知识之间的连接并延伸这个知识网络，单元整体设计为实现这种连接提供了可能2 作业设计是单元教学设计中的重要环节，笔者以“一元一次方程的应用”作业设计为例，在下文中提出了五点单元整体教学的数学作业设计思路，以供参考 1 明确课程标准要求，确定作业目标明确课程标准要求，确定作业目标“一元一次方程的应用”是北师大版七年级数学