数学实验：从“坐中学”到“做中学”.pdf

9下半月数学小学教学2023.6数学有系统性、演绎性的一面，也有尝试性、实验性的一面，尤其在小学阶段，数学是一门实验性很强的归纳科学。2 0 1 4 年，浙江省杭州市天长小学和浙江省新思维教育科学研究院联合，提出了基于数学实验内容开发的学习方式探索，在具有操作性、直观具体、交互有趣的数学实验中，以“意义逻辑”的方式进行数学探索与研究，实现内容与方式的高度优化与协同，促进学生学习从“被动学习、训练学习、浅层学习”走向“主动学习、探究学习、深度学习”，为他们终身的学习打好基础。如今，他们的数学实验研究探索取得了比较丰富的阶段性成果，该成果获得浙江省2 0 2 1 年基础教育教学成果特等奖。本期的数学实验研究专辑主要展示其数学实验的理论探索成果和两节数学实验课。本专辑也是2 0 2 2 年1 2 月小学教学联合杭州市上城区数学实验研究团队举办的网络教研活动中的主要内容，此活动的视频，大家可以扫描右侧的二维码观看。数学实验研究专辑数学实验：从“坐中学”到“做中学”吴恢銮基于数学实验的学习方式探索，以培养学生核心素养为宗旨，把抽象的概念、公式、规律融人可操作、可实践、可尝试、可创造的实验场景中，深度理解概念、法则与原理，让数学学习变得生动具象，经历从“数学理解”到“数学创造”的思维探究过程，促使学生从“被动学习、训练学习、浅层学习”走向“主动学习、探究学习、深度学习”，实现从“坐中学”向“做中学”转型O一研究历程我们团队研究数学实验已有1 2 年，经历了四个阶段。第一阶段属于萌芽期，以“一个月都在做研究”为载体，开展数学真问题解决研究，引领学生从实践中发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，让数学学习与研究紧密结合，数学内容与学生生活紧密结合。第二阶段属于探索期，以省级规划课题“小学数学实验课程的开发与实施研究”为抓手，构建了数学实验开发的原则、全序列内容设计以及评价体系创新。第三阶段属于深化期，深人研究数学实验作为学习方式的机理与操作路径，构建了三类探究式数学实验学习方式一一边做边思一式、尝试归纳式、猜想验证式，创建了三星级数学实验学习中心。第四阶段属于推广期，发展数学实验基地学校6 0 余所，引领8 万多名学生参与数学实验项目化学习，出版数学实验儿童读物数学实验王和动手做一做数学，普惠更多学子。二、研究成果（一）筛选出4 条数学实验的学习原则1.“可视性学习”原则。凸显每个数学实验活动是可视的，包括设计、操作、记录、制作模型等，这为学生提供了使用多种表达方式的可能，让学生在可视的实验环境中深度理解数学的核心概念、法则与原理，让数学学习变得生动具象。10辑专究研验实学数2023.6小学教学下半月数学2.“尝试性学习”原则。数学实验学习可分为验证性和探索性两类，它们都是以学生不断尝试为学习基础。验证性学习，重在个体自我构建新知，验证的过程就是不断尝试的“再创造”过程；探索性学习，即在实验设计、操作、观察、对比、推理等过程中充满着尝试与调整。3.“差异性学习”原则。面对有差异的学生，创设开放性实验活动促进学生个性化的学习，让学生根据自己发展的需求，自主选择学习方式，从而满足不同学生的学习需求，激发每一个学生学习的自主性。4.“再创性学习”原则。鼓励学生经历“提出问题、方案设计、工具选制、实验步骤、实验分析等”学习过程，在这一过程中，学生经历假设、猜想、类比、尝试、归纳等思维活动。从这个意义上说，每一次的假设、尝试、改进都是一个不断再创造的过程，让学生能像数学家一样思考问题、解决问题。（二）设计了数学实验的学习内容首先，根据数学实验的学习原则，在不增加课时量的前提下，依据数学课程标准核心知识、方法与思想，设置了数量与运算、模式与关系、图形与测量、拓扑与变换、统计与分析、随机与概率等6 个模块。其次，数学实验内容一方面充分指向“经验与思想增长”，例如，操作经验、探究经验、思考经验以及基本思想方法；另一方面充分指向“核心概念和跨学科”，例如，等式、位置值、度量等大概念，以及数学与音乐、美术、科学、体育一些共性内容关联与融合，培养学生的跨界创新思维与能力。遵循宜少不宜多的原则，系统设计了一至六年级共计1 2 0 项数学实验，使之序列化、结构化，平均每个学期安排1 0个数学实验，计1 5 课时。（三）研制了数学实验的操作步骤。遵循数学实验学习原则，根据数学实验特点，研制了数学实验操作七步骤（如图1），“操作七步骤”代表数学实验的迭代过程，而非线性的工作。提出问题评估开始猜想与假设交流数学实验得出设计结论实验分析进行论证实验图1操作要素循环图第一步：提出问题。每个数学实验，应该把“提出问题”放在第一位，要舍得花时间让学生提出各种问题，然后引领学生筛选出有价值的问题进行实验。例如，在“如何用绿豆测量树叶面积”实验中，全班学生提出了3 0 多个好问题，在此基础上确定要探究的核心问题一如何用绿豆测量树叶面积。第二步：猜想与假设。数学实验的推进,离不开猜想。学生从现象中发现问题，再到形成猜想，需要一定的环境和时间，在这个过程中，作为数学实验的指导者不要急于求成，要让学生充分讨论，在讨论的基础上提出猜想或假设。例如，在“如何用绿豆测量树叶面积”实验中，学生形成这样的假设：先在不规则图形的上面撒下一把绿豆，然后分别数出在长方形里面和不规则图形里面的绿豆的数量，看看两部分数量有怎样的比例关系，猜想它们的面积是否也存在这样的关系，从定量研究面积走向用随机思想研究面积，实现思维跨界发展。第三步：设计实验。如果说提出问题和形成猜想是宏观上的思想，那么设计数学实验就是微观上的操作。例如，如何让绿豆撒得均匀，小组进行“头脑风暴”和“实验操作”，经过实验发现，从7 厘米的高度自然撒落分布会比较均衡，然后生成比较成熟的实验方案和规范操作，保证了实验的科学性。第四步：进行实验。从理论到实践，进行实验是承上启下的重要环节，也最能锻炼学生的动手能力。为了获取更多撒绿豆的数据，全班下半月数学小学教学2023.6分为1 0 个组，有分工，有合作，数据共享，使得实验效益最大化。第五步：分析论证。数学实验完成后，要对观测到的数据结果或现象进行分析论证，以回应实验猜想或假设。一般情况下，数学实验的结论背后往往隐藏着数学原理，让学生进行分析论证，尝试对数学原理做出解释，能够使学生获得豁然开朗的学习体验，这样的体验将会进一步提升他们探求的欲望和兴趣。例如，在“如何用绿豆测量树叶面积”这一课，学生运用“分类数”和“转化数”两种方法验证“用随机实验测量面积”的可靠性。第六步：得出结论。考虑到小学生的年龄特征，数学实验分析和结论表征往往是多元化的，既可以是数据，也可以是文字、图画。例如，“生活中的1 0 0 是多少”数学实验，学生的结论大多是生动的场景说明。第七步：评估交流。评估交流环节不仅是为了展示成果，更为重要的是在沟通中反思自已的所作所为，回顾并完善数学实验的每个步骤和方法，从而促进元认知的发展。（四）构建了数学实验的学习方式。依据数学实验内容的多少与类型，在操作步骤的基础上大致可以把数学实验的学习方式分为三类：边做边思式、尝试归纳式和猜想验证式。1.边做边思式数学实验学习。该类型学习侧重于动手操作，同时在动手操作的过程中重思考、重发现，让实验发现逐步从模糊走向清晰，从清晰走向深度理解，建立数学结构，并把该结构广泛迁移应用于新情境。其学习路径如图2 所示出示问题情境审视实验步骤采集记录数据引发探究内驱操作实验材料作出初步分析拓展分折索材得出基本结论联想类比延伸运用图2边做边思式数学实验学习路径图例如，“1 0 0 以内数的认识”“小数的意义”“分数的意义”“长方形的认识”“长方形的面积”“长方体的认识”“观察物体”等概念课、公式推导课，都可以采用边做边思式数学实验学习方式。为进一步说明这类学习方式，结合自行开发的“小纽扣大秘密”这节实验课再做些述。课例片段：“小纽扣大秘密”。（1）出示问题情境，引发探究内驱。问题：纽扣市场的纽扣太多太丰富了。老师想让老板找到一颗这个样子的纽扣（出示真实纽扣），怎么快速找到呢？（2）审视实验步骤，操作实验材料。师：这些纽扣放得有点乱，如果你是老板，你会怎么分类整理呢？实验一：感受分类的标准不同，结果也可能不同。实验步骤与要求：分：两个人在桌上分一分。记：一起把结果记录下来。为了方便记录，我们给这8 颗纽扣编了号，你是以什么为标准进行分类的？哪几颗纽扣分为一类，就写在同一个括号里。说：和同组的人说说你的分类结果。二次尝试：想想还能不能以其他标准进行分类，记录结果实验反馈：展示学生分类作品。边做边思式实验在一、二年级数学实验中是最为常用的。在对实验材料的选择上，要为实验内容服务，一方面要用材料吸引学生，另一方面要突出学习材料的典型性、实验性和探究性。在数据采集上，不仅要采集可以量化的数据，也要善于采集学生的作品，为得出实验结论提供真实证据。如果能再拓展一些素材，将实验引向深处，进行数学化分析，那就更加完美了。2.尝试归纳式数学实验学习。尝试归纳式实验学习大多是贯穿课堂的大实验，其思考、探究的空间大、时间长，重在指向培养学生合情推数学实验研究专辑辑专究研验实学数2023.6小学教学下半月数学理意识与学会提出问题、研究问题的学习能力。其学习路径如图3 所示。提供素材初步探索分析比较提出猜想调整完善举例验证丰富例证检验假设得出结论反思评价积累经验图3尝试归纳式数学实验学习路径图例如，“商不变规律”“等式的性质”“分数的基本性质”等规律的探究课，可以让学生充分经历从事理到数理的尝试归纳的实验过程，发展其抽象思维能力。3.猜想验证式数学实验学习。猜想验证式数学实验与尝试归纳式数学实验相似，贯穿课堂核心环节，是一种常用的研究方式。该学习方式侧重于学生猜想，是基于学生猜想引发的实验研究，同时注重学生质疑和提问能力的培养。其学习路径如图4 所示，问题解决类比联想引发猜想引发猜想拓展举例分类举例验证猜想寻找反例归纳提炼得出结论质疑提问再启探究图4猜想验证式数学实验学习路径图例如，“乘法交换律、结合律”的学习。教师提问：“大家像探索加法中的运算律一样来猜想乘法中可能存在的运算律，你能通过数学实验验证你们的猜想吗？”由此引发出自主实验研究的要求：（1）猜想乘法的运算律，设计实验报告。(2)研究、验证自己的猜想，完成实验报告。（3）小组交流实验报告，准备全班汇报。基于加法运算律，学生可以自主设计出如下的实验报告单，并有序展开实验研究活动，享受收获的成功与愉悦实验报告单1.猜想：乘法运算中可能有（）律，可以这样表示（）。2.验证：是否有反例？3.结论：猜想正确(），猜想错误（五）创建了数学实验学习中心我们创建了全区最高级别的学习中心“数学实验学习中心”，研制了学习中心实验器具的配置方案、课桌椅摆放新样式、实验中心运行机制等。首先，保障学生进行数学实验的时间相对自由，课余和周末实验中心是开放的，学生随时可以取用实验学具，也可以在实验中心完成研究任务；其次，鼓励建立家庭数学实验室，并在老师指导下选择适合自己的数学实验小项目进行研究，学校提供实验材料和空间，以及展示平台。我们倡导“玩做学合一”的数学实验学习理念，把抽象的概念、法则在实验操作中，化抽象为直观，变静态为动态，为小学生如何更好地学好数学提供了新视角，打开了一扇新窗户（注：该成果获得浙江省2 0 2 1 年基础教育教学成果特等奖，成果领衔人为吴恢銮，共享者为张天孝、张麟、罗永军、姚俊俊、吴玉兰）（作者单位浙江杭州市天长观潮小学）H