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第十一章 数系的扩充与复数

§11.1 数系的扩充与复数的概念
一、知识导学
1. 复数：形如的数（），复数通常有小写字母表示，即,其中叫做复数的实部、叫做复数的虚部，称做虚数单位.
2. 分类：复数()中，当时，就是实数；除了实数以外的数，即当b时，叫做虚数；当,b时，叫做纯虚数.
3. 复数集：全体复数所构成的集合.
4. 复数相等：如果两个复数与的实部与虚部分别相等，记作：=.
5. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.
6. 复数的模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作.
(1)；
(2)=；
(3)；
7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.
二、疑难知识
1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小
2．则，而，则不一定成立，如时；
3．，而则不一定成立；
4．若不一定能推出；
5．若，则=，但若则上式不一定成立.
三、经典例题
[例1]两个共扼复数的差是（ ）
.实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数
错解:当得到时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.
正解：设互为共扼的两复数分别为及则 或
当时，，为纯虚数
当时，，，因此应选D.
注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记
忆有关概念性质.
[例2]判断下列命题是否正确
(1)若, 则
(2)若且，则
(3)若，则
错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正
确的
(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复
数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.
(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的
前提条件.
正解：(1)错，反例设则
(2)错，反例设，，满足，但
不能比较大小.
(3)错，，，故，都是虚数，不能比较大小.
[例3]实数分别取什么值时，复数是(1)实数；
(2)虚数;(3)纯虚数.
解：实部，虚部.
（1）当 时，是实数；
（2）当 ，且 时，是虚数；
（3） 当 或 时是纯虚数．
[例4] 设，当取何值时，
(1) ; (2).
分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．
解：(1)由可得：解之得，
　　即：当 时
　　(2)当 可得：
　　 或 ，即 时.
[例5]是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且，证明△OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数．
分析  本题起步的关键在于对条件的处理．等式左边是关于的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．
解：由（，不为零），得

　　　　即向量与向量的夹角为，
　　　　在图中，，又，设，
　　　　在△OPQ中，由余弦定理

△OPQ为直角三角形，
．
四、典型习题
1. 设复数z满足关系，那么z等于（   ）．
　　A．  B．  C．  D．
2.复数系方程有实数根，则这个实数是.
3. 实数m取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限．
4.已知且求复数
5.设复数满足且在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，求的值
　　 §11.2 复数的运算
一、知识导学
1.复数加、减法的几何意义
(1)加法的几何意义
复数 是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义
复数是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.
2. 重要结论
（1） 对复数z 、、和自然数m、n，有
，，
(2) ，，，；
，，，.
(3) ，，.
(4)设，，，，，
二、疑难知识
1.对于，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.
2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.
当时，不总是成立的.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
三、经典例题
[例1] 满足条件的点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆
错解：选A或B.
错因：如果把看作动点Z到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数
动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.
正解：点（0，2）与（-1，0）间的距离为，
动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C
评注：加强对概念的理解加深，认真审题.
[例2] 求值：
错解：原式=

错因：上面的解答错在没有真正理解的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位整数幂的运算结果的周期性.
正解：原式=
=
=
评注：虚数单位整数幂的值具有以4为周期的特点，根据必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.
[例3]已知，求的值.
分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简.

原式=
评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.
[例4] 已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.
解法一： ，
.
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.
，
所求的一个一元二次方程可以是.
解法二：设
，
得
，
以下解法同解法一.
[例5]

解析

四、典型习题
1．非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；
（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：
①
②
③
④
⑤
其中关于运算为“融洽集”__________;（写出所有“融洽集”的序号）
2.
3．计算
4.计算
5．解下列方程：
　　(1)；
　　(2).