实数讲学稿.doc

讲学稿:平方根（1）
学习目标：
1．理解算术平方根的意义，会用根号表示正数的算术平方根，会求一个非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性。
2. 培养逆向思维能力。
学习重点：理解算术平方根的意义.
学习难点：理解算术平方根的意义.

【使用说明与学法指导】
1. 课前完成预习案，牢记基础知识，掌握基本题型。
2 .独立完成与组内探究、合作学习完成导学案。
3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。
4.人人参与，合作学习，人人都有收获，人人都有进步。

预习案
一．旧知回顾
1、有理数的分类。
2、有理数与数轴的对应关系
一、 基础知识探究
1．计算： ， ， ，
， ， 。
2.填一填：，，
，
3．若是有理数，则一定是 数。
4.学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴。他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

5．什么是算术平方根?任何一个数都有算术平方根吗？若不是，那哪些数有，哪些数没有呢？

导学案
1. 填表：
正方形面积
1
9
16
36

边长

表中的问题，实际上是已知一个正数的 ，求 的问题。
2. 算术平方根的定义
一般的，如果一个正数的 等于，即，那么这个正数叫做 算术平方根。
的算术平方根记为 ，读作“ ”， 叫做 。
规定：0的算术平方根是 .
（二）算术平方根的性质
；= ； 。

一个非负数的算术平方根一定是 ，一个非负数的算术平方根的平方一定等于 。要有意义，的取值范围是 。

注：1.(a≥0)表示求a的算数平方根.
2.有意义的条件是a≥0；无意义的条件是a﹤0.
3. 0的算数平方根是0，负数没有算数平方根.
具体地说：
∵42=16 ，∴    是的   算术平方根；即16的算术平方根是     ；记为：          。
∵62=36 ，∴    是的    算术平方根；即36 的算术平方根是     ；记为：        。
2、 试一试：你能根据等式：=124说出124的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．

建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如表示25的算术平方根。
例1 求下列各数的算术平方根：（1）100；(2)1；(3)；(4)0.0001

反馈案

1． 下列各式中无意义的是（ ）
A． B． C. D．
2. 的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．

3. 下列运算正确的是（ ）
A． B． C．D．
4. 若一个正方形的面积为13，则正方形的边长为 .
(1)(07广州) 若代数式有意义，则实数x的取值范围为_ _______
5. 计算：⑴= ⑵ ⑶ ⑷－=__⑸
6．若下列各式有意义，在后面的横线上写出x的取值范围：
⑴ ⑵
7．一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的n倍，它的边长变为原来的 倍
8、25的算术平方根是 ；的算术平方根是 ；
的算术平方根是1； 的算术平方根是0；

讲学稿:平方根（2）
学习目标：
1、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值.
2、体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不 同于有理数的一类新数。
学习重点：理解夹值法求算术平方根的近似值
学习难点：理解夹值法求算术平方根的近似值

【使用说明与学法指导】
2. 课前完成预习案，牢记基础知识，掌握基本题型。
2 .独立完成与组内探究、合作学习完成导学案。
3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。
4.人人参与，合作学习，人人都有收获，人人都有进步。

预习案

算术平方根的意义，算术平方根的非负性。
1．若，则 ．
2、达标反馈
3的算术平方根是 ； 的算术平方根是 ；
表示 ，= ；
= ； 。
想一想： （≥0）； 0

导学案
探究1怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？

拼成的大正方形的边长是 。

探究2 有多大呢？

探究3 P41的探究

例：1、估算的值（ ）
A.在1和2之间 B.在2和3之间
C.在3和4之间 D.在4和5之间
2、已知的值

反馈案
1．49的算术平方根是（ ）
A.7 B.-7 C. D.
2．下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.要使（ ）
A. ＞0 B. ≥0 C.＞-4 D. ≥-4
4. ；的算术平方根是 。
5. 若，则= 。
6.请估算下列各组数的大小并作比较：
（1），3.965

讲学稿:平方根（3）
学习目标：
1．理解平方根的意义，会用根号表示正数的平方根，会求一个非 负数的平方根，掌握平方根的性质。
2.会利用平方根的概念解方程。
学习重点：会求一个非负数的平方根，掌握平方根的性质。
学习难点：理解平方根的意义，会利用平方根的概念解方程。

【使用说明与学法指导】
3. 课前完成预习案，牢记基础知识，掌握基本题型。
2 .独立完成与组内探究、合作学习完成导学案。
3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。
4.人人参与，合作学习，人人都有收获，人人都有进步。

预习案
一、旧知回顾
1、算术平方根的性质。 2、算术平方根的定义
二、基础知识探究
1. 什么是平方根?任何一个数都有平方根吗？若不是，那哪些数有，哪些数没有呢？
2．什么叫开平方？开平方与平方运算有何关系？
3. 平方根与算术平方根有何区别和联系？
4.①.填一填：

②求一个数平方根的运算叫 ，开平方与平方互为 。
5.试一试：求下列各数的平方根：
(1)196 (2)0.49 (3)0 (4)

6.填一填： ， ，= ，= ，= …
想想看：=？ 如何化简？

导学案
平方根与算术平方根有何关系？
1.平方根定义及性质：
①一般的，如果一个数的 等于，即，那么这个数叫做 平方根或 ，叫做 。
②非负数的平方根记为 ，读作“ ”。
正数的算术平方根用“ ”表示，正数的负的平方根用“ ”表示。
③正数的平方根有 个，它们互为 ；0的平方根是 ；负数 平方根。
开平方：求一个非负数的　　　　　　的运算，叫开平方运算。开平方与平方互为 。
（二） 如何利用平方根的意义解方程？
求满足下列各式的的值:
(1) ; (2) ;

反馈案
1.仔细的选一选
（1）9的平方根是（ ）
A．.3 B.-3 C.±3 D. ±
（2）下列说法中不正确的是（ ）
A.－ 是5的平方根 B. 是5的平方根
C.5的平方根是 D. 5的算术平方根是
3.求下列各式的值
（1）; (2)－; (3)±.

4.求满足下列各式的的值:
(1) ; (2)

平方根习题
一、填一填
1.正数的平方根有 个，它们互为 ；
0的平方根是 ；负数 平方根。
2. 平方根与算术平方根的区别和联系:
名 称
关 系
算术平方根
平方根
区别
定义

个数

表示
方法

取值
范围

联系
包含

存在的条件

0的算术平方根和平方根
3. ， ，= ，
= = …

想想看：

4. ,,
5. ,小数部分是 。
6.已知、满足则的平方根是 。
二、选一选
1、9的平方根是（ ）
A.3 B.-3 C.±3 D. ±
2下列说法中不正确的是（ ）
A. － 是5的平方根 B. 是5的平方根
3. 的平方根是（ ）
A.4 B. ±4 C. 2 D .±2
4.下列说法不正确的是（ ）
A. 是3的算术平方根 B. 的平方根是±4
C.－9的平方根是±3 D. 0的平方根和算术平方根都是0.
5.在下列式子中，正确的是( )
A. B.
C. D.
三、计算题
1求下列各数的平方根：
(1)196 (2)0.49

(3)0 (4)

（5） ; (6)±.

(7)－;

2、求满足下列各式的的值:
(1) ; (2) ; (3) ;

(4) (5) (6)

讲学稿:立方根
学习目标：
1、理解并掌握立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根。
2、会求一个数的立方根。
学习重点：理解立方根的概念，理解立方与开立方是互为逆运算。
学习难点：理解与—的相等关系。
【使用说明与学法指导】
4. 课前完成预习案，牢记基础知识，掌握基本题型。
2 .独立完成与组内探究、合作学习完成导学案。
3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。
4.人人参与，合作学习，人人都有收获，人人都有进步。

预习案
一、旧知回顾
1、回顾算术平方根和平方根的概念。
2、平方根和算术平方根怎样用符号表示。
1．计算： ， ，
， ，
， 。
2.填一填：，，，
3.要制作一种容积为27的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？解：设这种包装箱的边长是，
则有 =27

导学案
什么叫立方根？什么叫开立方？
①一般的，如果一个数的 等于，即，那么这个数叫做 立方根或 ，叫做 。求一个数的 的运算，叫做 .立方与 互为逆运算。
②填一填：∵，∴125的立方根是 ；
∵，∴0的立方根是 ；
∵，∴－8的立方根是 ；
∵，∴的立方根是 ；
③.正数的立方根是 数； 0的立方根是 ；负数的立方根是 数。
（一）立方根如何表示？
①一个数的立方根记为 ，读作“ ”。
②读作 ，叫 ，3叫 。
④表示 ，= ，
－27的立方根是 ，－3的立方根是 。
（二）平方根与立方根性质有何区别？
数
项 目
正数
0
负数
平方根

立方根

（三）有何性质？
1.（1）∵∴；
（2）∵∴。…
2.一般地，， ，。
注：开平方时，被开方数要大于或等于0；开立方时，被开方数可以是任意实数.

反馈案
1、下列说法正确的是（　　）
Ａ、任意数a的平方根有2个，它们互为相反数
Ｂ、任意数a的立方根有1个
Ｃ、－3是27的负的立方根 Ｄ、（－1）的立方根是－1
2、下列判断正确的是（　　）
Ａ、64的立方根是4 Ｂ、（－1）的立方根是1
Ｃ、的立方根是2 Ｄ、如果＝a，则a＝0
3、求下列各式中的x
x＋729＝0　　　　　　　　　（x－3）＝64

4、求下列各数的立方根
(1) （2）－ （3）10 （4）

求下列各式的值。
（1）— （2）— （3）

（4） （5）—

立方根习题
1、下列说法中，错误的是（ ）
A、64的立方根是4 B、立方根
C、的立方根是2 D、125的立方根是±5
2、立方根等于本身的数是 （ ）
A、±1 B、1，0 C、±1，0 D、以上都不对
3、若一个数的算术平方根等于这个数的立方根，则这个数是（ ）
A、±1 B、±1，0 C、0 D、0，1
4、下列说法正确的是（ ）
A、1的立方根与平方根都是1 B、
C、的平方根是 D、
5、求下列各数的立方根：
（1） （2）512 （3）—729 （4）

6、求下列各式中的：
（1） （2）

（3） （4）(2x－1)3=125

7、已知一个正方体的棱长是5cm，再做一个正方体，使它的体积等于原正方体的体积的8倍，求要做的正方体的棱长。

迁移应用：
1、的立方根是______，平方根是_______
2、求下列各式的值：⑴， ⑵， ⑶， ⑷

B
C
A
2、大正方体的体积是512cm3，小正方体的体积是27cm3，如右图那样摞在一起，这个物体的最高点离地面是多少？

讲学稿:实数（1）
学习目标：
1.了解无理数和实数的概念，能按要求对实数进行分类。
2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。进一步领会数形结合的思想。
3.会求实数的相反数和绝对值。
学习重点：能按要求对实数进行分类。
学习难点：用数轴上的点来表示无理数。
【使用说明与学法指导】
5. 课前完成预习案，牢记基础知识，掌握基本题型。
2 .独立完成与组内探究、合作学习完成导学案。
3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。
4.人人参与，合作学习，人人都有收获，人人都有进步。

预习案

什么叫实数？如何分类？
1.什么叫无理数？
在前面我们学习了求一个数的平方根和立方根时，有些数的平方根或立方根是无限不循环小数，如：…都是无理数，π＝3.14159265…也是无理数。我们把无限不循环小数叫做无理数。
小结：我们目前学习的无理数有下面三种形式
① 开方开不尽的数，如：，，，…
② ②圆周率π，它是无限不循环小数
③ 类似0.1010010001…（每两个1之间依次多1个1）

导学案
数轴上的点与什么数成一一对应？
实验：1.将一个直径为1个单位的圆在数轴上滚动一周，圆上的点由原点到达O',点O'的对应点是

思考：
上面的实验说明： 。
2. 以一个单位长度为边画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角 线为半径画弧，弧与数轴的交点表示： 、 。

上面的实验说明：
数可以用数轴上的点表示出来。也就是说数轴上的点有的表示： 、有的表示： 。
归纳：
①每一个无理数都可以用数轴上的____表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________
实数与数轴上的点是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的______来表示；反过来，数轴上的________都是表示一个实数
实数的有关性质：
数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______
数的相反数是______，这里表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______
1.实数的定义： 和 统称实数。
2.实数的分类
（1）按定义分： （2）按性质分：

反馈案
1、下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？
， 3.1 .02020020002…，，－π，，，，。

2、和数轴上的点一一对应的是（ ）
A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数
3、在实数π，，，，0.2121121112…（每两个2之间依次多1个1），中，无理数共有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
1、把下列各数分别填入相应的集合里：

正有理数{ }
负有理数{ }
正无理数{ }
负无理数{ }
实数集合{ }

2、 的相反数是 ，
绝对值等于 的数是 。
3、求绝对值

讲学稿:实数（2）
学习目标：
1.学会比较两个实数的大小，能熟练地进行实数运算。
2. 进一步领会数形结合的思想。
学习重点：熟练地进行实数运算。
学习难点：比较两个实数的大小。
【使用说明与学法指导】
6. 课前完成预习案，牢记基础知识，掌握基本题型。
2 .独立完成与组内探究、合作学习完成导学案。
3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。
4.人人参与，合作学习，人人都有收获，人人都有进步。

预习案
一、旧知回顾
在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数 。
二、基础知识探究
（一）怎样求实数的相反数和绝对值？
在数轴上一个实数的绝对值是表示这个数的点到 的距离：两个互为相反数的实数就是表示这两个数的点一个在 ，一个在 ，它们到原点的距离 。
（1） 相反数：
π的相反数是 ，的相反数是 ，0的相反数是 。
小结：实数的相反数是 。
（2） 绝对值：
= ，= ， = ，= ，
小结：一个正实数的绝对值 ，一个负实数的绝对值是 ，0的绝对值是 。

导学案
实数的大小比较
下列式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
小结：进行实数的大小比较时，应把各数统一转化成一种形式。如：把10转化成，把11转化成，把12转化成，把13转化成，再比较大小，较简便。

1.计算：
（1） （2）

试试看
2.小结：实数运算中，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。

3. 计算下列各式的值：
（1） （2）

4计算（结果保留小数点后两位）
（1） （2）

反馈案
1. 若5x+4的平方根是±2，则x= ，
2.满足的整数x是＿＿＿＿。
3.计算:
4.若的取值范围为
5.若，则m的取值范围为
6. ，│1.732-│=
7.一个正数b的平方根分别是a+1和a-3，则a= ，b=
8.的立方根的算术平方根是
9. 比较大小：3 4（填“＞” “＜”或 “＝” ），
10. 若m＜0，则化简=
11.（ ）
A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.以上都不对
12.化简：
（1）= ； （2）= 。

1.计算

2.

讲学稿：实数复习
学习目标：
1、梳理本章知识结构图及知识点，对本章的知识脉络有一个清晰的认识
2、能利用实数的有关性质熟练的解决一些实际问题主要内容：
一：自主学习导航部分：
一、我来归纳（本章知识结构图）
二、复习所学知识填空
1.

一、基础练兵：
1. -8是____的平方根，64的平方根是_____,的值是_____,的平方根是_____,64的立方根是____.
2.计算

3.解方程：

.

4.求值：
(1)

(2)

实数习题
一、选择题(每小题4分，共20分)
1. 25的算术平方根是（ ）
A、5 B、–5 C、 D、
2.下列等式中，错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3.在实数－7，0.9，，－，，中，无理数有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
4.若，则估计的值所在的范围是（ ）
A、1＜＜2 B、2＜＜3 C、3＜＜4 D、4＜＜5
5.如图所示，下列存在算术平方根的是（ ）

A、 B、
B、 C、 D、
二、填空题(每小题4分，共20分)
6．若，则= 。
7．若，则的立方根是 。
8．比较大小：5 ，
9．绝对值是的数是 ；的相反数是 。
10．若一个正数的平方根是和，则这个正数是
三、解答题：（共60分）
1．计算：（每小题7分，共21分）
（1） (2)

(3)

2.求满足下列各式的的值: （每小题7分，共14分）
（1） （2）

3.（1）若，其中a=6，b=8，求的值。（6分）

（2）若，其中=25，b=15，求a的值。（6分）

4.如图，坐标轴上点A，C的坐标分别为，0），（0,1），点A关于轴的对称点为B，设点B的坐标为，0）。（12分）
（1）求得值；
（2）试判断△ABC的形状，并求出△ABC得面积。

选作题：
1.数轴上的点A表示，点A 和数轴上的点B相距2个单位长度，则点B所表示的实数是 。
2.已知的整数部分为a，小数部分为b，则（1）a+b= （2）a－b=
3. 设、为实数，且，则=

《实数》测试题

班级： 姓名 学号 得分
一.选择题（每小题3分，共30分）
1.实数等于它的倒数，实数等于它的相反数，则（　　　）
A.0　　　　B.1　　　　C.－1　　　　D.2
2.下列各式中正确的是（　　　）
A.　　　B.
C.　　　D.
3. (2008年永州) 下列判断正确的是（　　）答案:A
A． ＜＜2 B． 2＜＋＜3
C． 1＜－＜2 D． 4＜·＜5
4.下列说法正确的有（　　　）
①无理数包括正无理数，0和负无理数；②无理数都可以用数轴上点表示；③数轴上点表示无理数；④实数与数轴上点是一一对应关系.
A.1个　　 B.2个　　　 C.3个　　　　 D.4个
5.实数a和它的相反数的差的绝对值是（　　　）
A.2a　　　B.0　　　C.－2a D.
6.已知实数与互为相反数，则（　　　）
A.为任意实数　　　B.为非正实数　　　　C.为非负实数　　　D.等于0
7.若的值是（　　）
A.0　　　B.2　　　C.0或－2　　　　D.0或2
8.一个数的算术平方根是，比这个数大5的数的算术平方根是（　　　）
A.　　　B.　　　C.　　　D.
9.若的值为（　　　）
A.0　　　B.－10　　　　C.0或10　　　D.10或－10
10.已知：
A.　　　B.
C.　　　D.

二.填空题（每小题3分，共30分）
11.的平方根是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
12.一个正数的两个平方根是，则.
13.当时，的值最大是＿＿＿＿＿.
14.平方根与立方根相同的数为，立方根与算术平方根相同的数为，则的立方根是＿＿＿＿＿＿＿.
15.在,其中是无理数的是＿＿＿＿＿＿＿.
16.已知为实数，且，则a＋b的绝对值为＿＿＿＿.
17.在数轴上到原点距离等于的所有点所表示的数是＿＿＿＿.
18.若
19.实数满足，则a＋b的立方根为＿＿＿＿.
20.已知互为相反数，互为倒数，的倒数等于它的本身，则的结果等于＿＿＿＿＿＿.
三.解答下列各题：（共60分）
21.（每小题4分，共8分）计算与化简
①

②

22.（6分）薛老师在讲“实数”这节时，画了如图所示，即以数轴的单位线段为边作一个正方形，再以O为圆心，正方形对角线为半径画弧与数轴正半轴交于点A，作这样的图是用来说明什么？

23.（8分）如果是非零实数，且
（1）求的值.
（2）本题采用的数学思想是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

24.（8分）已知某商品的价格由180元逐年下降，到第四年销售价已经变成了原来的，假设每年下降的百分比是一样的，试求该商品每年下降的百分比。（已知，结果精确到）

25.（9分）张奶奶新买了一套两室一厅的住房，将原边长为1米的方桌换成边长是1.3米的方桌，为使新方桌有块桌布，既能利用原边长为1米的桌布，又节约开支且能美观，问在读八年级的孙子小刚有什么办法，聪明的小刚想了想说：“奶奶，您再去买回原来一样的桌布，按照如图所示做就行了.
小刚的做法对吗？为什么？
你还有其它方法吗？画出图形.

26.（9分）若，求的值.

27.观察（8分）

猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想；那么呢？
28.（8分）探索题
细心观察右图，认真分析各式，然后解答问题：

；；；…….，……
（1）请用含n(n为正整数)的等式表示上述变化规律
（2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：＿＿＿＿＿＿＿。