三角形经典习题.doc

一 三角形及特殊三角形
一、填空题：
1．如图图中共有 个三角形．
◆答案：8

2、已知中，D是BC上一点，连结AD，E是AC上一点，连结BE交AD于点F，则此图中共
有 个三角形，其中是 的外角，是 的外角．
◆答案：
3．(2004·新疆生产建设兵团)如图小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学的角度看，这样做的道理是 ．
◆答案：三角形具有稳定性
4．三角形的三个内角中，最多有 个钝角， 个直角， 个锐角．
◆答案：l；1；3
5．已知三角形的两边长分别为2cm和6cm，则第三边口的取值范围是 ．
◆答案：
6．已知三角形的两边长分别为5cm和3cm，第三边为偶数，则第三边长为 ．
◆答案：4cm或6cm
◆解析：根据“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，设第三边为xcm，则
8．又因为x为偶数，所以或故第三边长为4cm或6cm．
7．(2004·吉林省)如图的外角等于等于400，则的度数
◆答案：800
◆解析：根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可知
所以
8．如果一个三角形的三个内角的度数之比是1：1：2，则这个三角形的三个内角分别是 ．
◆答案：
◆解析：设三个内角的度数分别为根据“三角形的内角和等于l800”可知得
所以，三个内角分别为450，450，900．
9．直角三角形两个锐角平分线相交所成的锐角是 ．
◆答案：

10．已知等腰三角形的一个内角为500，则另外两个内角为 ．
◆答案：或
◆解析：当等腰三角形的底角为500时，另外两个内角为500，800．当等腰三角形的顶角为500时，另外两个内角为650，650．
11．如图已知在中，是的平分线，的度数为 ．
◆答案：1400度

12．在中，的补角是的余角的5倍，则
◆答案：
◆解析：根据题意得解这个方程组得
13．(2004·徐州市)如果等腰三角形的顶角为800，那么它的一个底角为 ．
◆答案：
14．等腰三角形有一个外角是800，则这个三角形的三个内角的度数是 ．
◆答案：
◆解析：当等腰三角形有一个外角是800时，则相邻的内角为若顶角的外角为800时，则顶
角为l000，底角分别为假如底角的外角为800时，则底角为1000，而三角形的内角和大于1800，与三角形的内角和定理相矛盾．因此，等腰三角形底角的外角不能是锐角、直角．
15．等腰三角形顶角为a，一腰上的高与底边所夹的角是，则与a的关系式为=
◆答案：
◆解析：如图作底边BC上的高AE，则可知
又所以因此
16．等腰三角形的两个角的比为2：1，则顶角的度数为 ．
◆答案：360或900

17、在三角形ABC中已知AB=AC,AD是中线，∠B=700,BC=15cm,则∠BAC= , ,
BD= cm
◆答案：
◆解析：如图根据三角形内角和定理，根据等腰三角形三线合
一性质得
18．在中，则此三角形中的各角的度数是 ．
◆答案：450，450，900
◆解析：由得解得
19．等腰三角形ABC的腰长为6cm，则它的底边BC的取值范围是 ．
◆答案：
20．(2004·乌鲁木齐市)底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是 ．
◆答案：线段BC的垂直平分线(与BC交点除外)
◆解析：根据线段的垂直平分线的逆定理．
21．在直角三角形中，则 AB
◆答案：
22、在三角形ABC中，是角平分线，则AD=
◆答案：2cm
◆解析：如图
又BD平分∠
在中，设CD为x，则
则有

23．(2004·荆州市)如图在一场足球比赛中，球员A欲传球给同伴B，对方球员C意图抢断传球，已知球速为l6m／s，球员速度为8m／s．当球由A传出的同时，球员C选择与AC垂直的方向出击，恰好在点D处将球成功抢断，则∠= (球员反应速度、天气等因素均不予考虑)．
◆答案：30。
◆解析：由已知可知球员与球到达D点的时间相同又
是等边三角形，D为BA的中点，于点则
的周长是 ．
◆答案：2；9

25、在直角三角形ABC中∠C=900,AB=16,BC的垂直平分线交AB于点D,则D与C的距离为 ．
◆答案：8
◆解析：∵点D在BC的垂直平分线上
即
二、选择题：
26．下列各线中是直线的是( )
A．三角形的中线 B．三角形的角平分线 C．三角形的高 D．三角形一边上的中垂线
◆答案：D
27．直角三角形中的高线有( )
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
◆答案：A
◆解析：直角三角形中的每一条直角边分别是另一条直角边上的高，以及斜边上的高：共有三条．
28．下列各式中，不满足三角形条件的是( )

◆答案：A
◆解析：A项中设一份为2，则不符合“三角形的两边之和大于第三边”，故选A．
29．锐角三角形中任意两个锐角的和必大于( )

◆答案：A
◆解析：因为三角形是锐角三角形，每一个锐角都小于900．假如，其中任意两个锐角的和小于或等
于900，则三角形的内角和小于l800，与三角形内角和定理相矛盾，所以其中任意两个锐角的和必大于
30．已知直角三角形的一个锐角为370，那么另一个锐角为( )

◆答案：B
◆解析：因为直角三角形的两个锐角互余，所以另一个锐角为故选B．
31．三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角或钝角三角形
◆答案：B
◆解析：因为此外角与相邻的内角是邻补角，又此外角又小于相邻的内角，所以此外角是一个
锐角，而相邻的内角是钝角，所以此三角形是钝角三角形．
32．下面条件中不能确定三角形是直角三角形的是( )
A．三角形中有两个角是锐角 B．三角形中两个内角的差等于第三个内角
C．三角形的三个外角的度数之比为3：4：5 D．三角形中三个内角的度数之比为1：2：3
◆答案：A
◆解析：A项中没明确三角形中两个锐角是互余关系；B项中设两个内角为则解得所以三角形是直角三角形；C项中设三角形三个外角分别为则解得即有一个外角为90。，相邻的内角也为90。，所以三角形是直角三角形：D项中设三个内角分别为则解得即有一个内角为90。，所以三角形是直角三角形，故选A．
33．如图已知CE平分△ABC的外角若且58。，则=

◆答案：C
◆解析：平分

34．下列命题：①有一个外角是1200的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形
是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形中，正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
◆答案：C
◆解析：①若三角形的一个外角是1200，则相邻的内角为600，就是有一个内角为600的等腰三角形
是等边三角形，此命题正确．②因为等腰三角形的底角的相邻的外角是相等的，所以，有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形．故此命题错误．③因为等腰三角形底边上的高，也是底边上的中线，但此三角形不一定是等边三角形，故此命题错误．④三角形的三个外角相等，则相邻的三个内角相等，因此，此三角形是等边三角形．故此命题正确．故选C．
35、如图4-13，等腰三角形ABC的顶角∠BAC=1200,AD⊥BC于点D, DE⊥AB于点E,若AB=12cm,则AE=

◆答案：A
◆解析：由题意可知又根据等腰三角形三线合一性质可得

故选
36．下列命题中错误的是( )
A．直线的垂直平分线是这条直线的对称轴 B．角是轴对称图形
C．线段是轴对称图形 D．等腰三角形是轴对称图形
◆答案：A
37．下列定理中没有逆定理的是( )
A．直角三角形的两个锐角互为余角
B．直角三角形中的一个角是300，它所对的边等于斜边的一半
C．如果三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角
D．线段的垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等
◆答案：C
◆解析：因为如果三角形的两个角是锐角，那么第三个内角有可能是锐角、直角、钝角，所以C命题
的逆命题是错误的，故选C．
38．(2004·福州市)等腰三角形的一个角是l200，那么另外两个角分别是( )

◆答案：B
39．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数为( )
或1500
◆答案：D
．
40、已知等腰三角形的周长为10cm,那么当三边为正整数时，它的边长为( )

C．4cm、4cm、2cm D．3cm、3cm、4cm或4cm、4cm、2cm
◆答案：D
◆解析：A项不符合三角形的三边关系，项丢解，故选D．
41．在中，若D、E是BC边上的点，且
此图中共有等腰三角形( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
◆答案：B

故选B．
42．在中，若则的度数为( )
D．无法确定
◆答案：D
◆解析：根据题意只知而的大小不定，因此的度数无法确定，故选D．
43．在直角三角形中，两个锐角不等，且最小角为，则的取值范围是( )

◆答案：C
三、作图题：
44．已知钝角三角形求作：BC边上的高AF．
◆解析：这是“过直线外一点作已知直线的垂线”这一基本作图的应用，因为∠ABC>900高线AF在
外，垂足在CB的延长线上，因此需先延长CB，如图
◆作法：①延长CB．
②过点A作交CB延长线于点F，则线段AF为所求作的高．

为所求作的三角形．
46．已知：线段 求作：使
◆作法：①作线段(如图
②在BC同侧，作作与CN交于点A，则为所求作的三角形．

47．已知线段(如图求作使
◆作法：①作
②在BN上截取
③以C为圆心，b为半径作弧交BM于A．连结AC，则为所求作的三角形
48．已知求作一点P，使点P到三个顶点的距离相等．
◆解析：因为所要作的点P到两点的距离相等，所以点P在线段BC的垂直平分线上．又点P到
两点的距离相等，所以点P在线段AB的垂直平分线上，因此线段的垂直平分线的交点即为所求．

49．已知A、B两点在直线L的同侧．
（1）、试在L上找一点P，使得PA+PB为最小
（2）、试在L上找一点P，使得PA-PB（PA>PB）为最大

◆解析二：在直线L上任取一点P，连结若构成一个三角图形，根据三角形三边的关系，则有当为最大，则有AB(如图
◆作法：①作线段BC的垂直平分线MN．
②作线段AB的垂直平分线EF，MN与EF交于点P，则点P为所求作的点(如图)

四、解答题：
50．已知在中，求的度数．
◆解：根据题意列方程组得解得

51．等腰三角形的周长是l2cm，一边与另一边的差为3cm，求三边的长．
◆解：设等腰三角形的一腰长为acm，底为bcm．根据题意有以下两种情况：

解①得解②得
因为②中所以长分别为3cm，3cm，6cm的线段不能构成三角形．
而①中故此三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm．
52、如图4-23在三角形ABC中，∠B=320,∠C=550,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC,交BC于点E, DF⊥AE于点F,求∠ADF的度数。

53．A、B、C三个工厂位置如图厂年产量是C厂年产量的都生产同一种产品．已知A厂年产量是B厂年产量的，B厂年产量是C厂年产量的,现在要建一个公用仓库，把三个工厂的产品都放在该仓库
中，并且总运费要最省，问仓库应选在何处?并
说明你的理由．
◆解：仓库地址应选在C处．假定仓库另选一地
0，如图设

(单位：公里)．又假定A厂产量为2m(吨)，B厂产量为3m(吨)，C厂产量为5m(吨)，
仓库在O处时总运费可表示为：仓库在C处时，总运费可表示为
由于因此
两式相加，得
当且仅当0与 C重合时等号成立．所以公用仓库选在C处总运费最省．
54．如图4--25，草原上有4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，现在要建一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离HA+HB+HC+HD为最小? 说明理由．
◆解：维修站应建在两条对角线的交点H处．取异于H的点H 7，根据三角形的两边之和大于第三边有：
即
为最小．
55．判断下面说法是否正确：利用放大镜观察昆虫或画的小人，三角形，角等，都能使看到的比实际大．
◆解：所给的说法不正确，因为角的大小是用度来表示的，将量角器按度量角的办法置于所画的角上，再用放大镜观察，就能发现放大镜并不能将角放大．换个角度思考，假如放大镜能将角放大，那么画一个三角形，在放大镜下三个内角将都被放大，这就与三角形内角和定理发生了矛盾，可见所做的假设。是错误的．
56．如图在中，的平分线交BC于点E，∠BAC的的外角的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状。
◆解：

且是等腰直角三角形．

57．如图点A、B分别在射线Ox、Oy上移动，BE是的平分线,BE的反向延长线与的平分线交于点C，试问的大小的大小是否变化?如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B的移动发生变化，请求出变化范围．
◆答案：始终保持不变
◆证明：作的平分线交AC于点D，
则有

又由BD、BE分别是和的平分线知
可见的大小为一定值而不变化．

解：∵AB=AC ,∴∠B=∠ACB .设∠B=,则∠ACB=，∠BAC=10,

所以有解得即

在Rt△ADC中，

D在BC上，且AD=BD，AC求BD的长
◆解：
在Rt△ADC中

60、如图4-28，在直角三角形ABC,∠C=900,E是AB中点，DE⊥AB与点E,交BC于点D,若AC=5,BD=10,求∠BAC的度数？

◆解：垂直平分
在Rt△ACD中

61．如图4-31,是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D, 是等边三角形，

如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，三边的关系．
◆解：在和

又M、N分别是AD、BE的中点
和中

又
为等边三角形．
五、证明题：
62．如图已知AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，的平分线BE交AD于点F,交AC于点E,

求证：AE=AF.
所以只需在和Rt△BEA中证即可．
◆证明：于点

平分

63．如图在一条直线上．求证：
是等腰三角形．
◆证明：连结
又
在和中

即是等腰三角形．
64．如图Rt△ABC中CD是斜边AB上的高，O,,分别是的角平分线的交点．求证：(2)，
◆证明：(1)由已知都在∠A的平分线上，设该角角平分线交于点E．

即
(2)由于点分别在∠ACD和∠DCB的平分线上，
由(1)可知，则有同理，设直线交于点F，则

65．求证：等腰三角形底角平分线与对边交点到底边的距离相等．
◆解析：欲证DM=EN，只需证或若证需证BD=CE，则需证若证需证BE=CD，则需证
◆证法一：BD平分∠ABC，CE平分么ACB，∴∠ABD=

在△ABD和△ACE中，

在△ENC和△DMB中，

◆证法二：同证法一可证又

在△ENB和△DMC中，

66．如图4—36，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，CE=CD，DM⊥BC于点M．求证：M是BE的中点．
◆解析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥ BC，因此只需证DB=DE，即证∠DBE=∠E．根据等边△ABC，BD是中线，可知∠DBC=300，因此只需证∠E= 300．
◆证明：是等边三角形
∵CD= CE, ∴∠CDE=∠E=300.
是AC边上中线平分即
又是BE边上中线，即M是BE的中点．
67．如图4—37，已知ΔABC是直角三角形，∠ACB=900，ΔACD和ΔBEC都是等边三角形，DC的延长线交BE于点F．求证：CF⊥BE．
◆解析：欲证CF⊥BE，因为ΔCBE是等边三角形，所以只需证CF平分∠BCE，即证即可．
◆证明：是等边三角形，
又
是等边三角形
即CF平分因此CF⊥BE．
68．如图4-38，D是△ABC的∠C的外角平分线与AB反向沿长线的交点。求证：∠BAC＞∠B

◆证明：在又CD是的平分线，
所以
在△BCD 中，

69．如图，在中，D是斜边BC上一点，且，∠CAD=∠C,过点D向三角形外作BC的垂线与角平分线AE的延长线交于点F。求证：AD=DF.
◆解析：欲证只需证
由于因此作于点M,有∠MAF=∠F,则只需证
∠MAF=∠DAF,由于∠BAF=∠CAF,因此只需证

◆证明：过点A作于点

又
又AF平分∠BAC,

综合运用
一、填空题：
70．已知三角形三边长为整数则共可作出 个不同形状的三角形形；当
时，所作的三角形周长最大．
◆答案：3；8

◆解析：根据三角形三边的关系定理得解得边长为整数，当可作三角形的三边长分别是：2、3、4；2、4、4；2、5、4．因此共所以可作出3个不同形状的三角形，时，所作的三角形的周长最大，周长为11．
71．直角三角形两个锐角的外角平分线所组成的锐角是 ．
◆答案：
◆解析：如图已知是两个锐角的外角平分
线所组成的锐角．由可知

72．如图4--41，在△ABC中，∠ B、∠C的平分线夹角为a，∠ B、∠C的外角平分线的夹角为，则a与的关系式是 ．
◆答案：a+=180。
◆解析：

即口与卢的关系式是a+=180。
73．三角形三个内角之比为则这个三角形是 三角形．
◆答案：直角
◆解析：因为角形中两个角的和等于第三个角，根据三角形的内角和
定理，可确定第三个角是直角．所以这个三角形是直角三角形．
74．如图在中，则∠MNP=
◆答案：400

◆解析：欲求∠MNP的度数，只需求∠l+∠3的度数，因为∠1=∠2，∠3=∠4，
三角形的内角和定理，求得∠A+∠C的度数，即可求∠l+∠3的度数．
◆解：在由
在由
在中

75、如图4-43，已知在三角形ABC中，AB=BC,P、Q分别在BC,AB上，且AC=AP=PQ=BQ,则

∠B=
◆答案：
二、选择题：
76．在一个三边都不相等的三角形中，最小边长是5，另一边长是7，其周长是奇
数，则第三边长可取的值有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
◆答案：A
◆解析：设第三边长为2，根据定理“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，则因为周长是奇数，而是偶数，所以X应为奇数，即2可取值为3、5、7、9、11．又因为此角形三边都不相等，最小边长是5，所以应排除3、5、7．故第三边长z只能取9、11，第三边长可取的值有2个，故选A．
77．设是一个锐角三角形的最大内角，则( )
可以小于 B,不能小于600 必须大于
◆答案：D
◆解析：如果锐角三角形的最大内角小于60。，则另外两个内角也一定小于60。，于是三个内角之和
小于l80。，与三角形内角和定理矛盾，所以A应排除．就是说，不能小于60。，但三角形是
锐角三角形，每一个内角都是锐角，所以所以排除，故选D．
78．如图已知中, 在BC的延长线上，

和 的关系是( )

◆答案：D
◆解析：根据题意，观察到图中有两个等腰三角形，而等腰三角形ABC的底角
是所在的外角，则有又
因此
故选D．
79．三角形任一边的高等于同一边的中线，则此三角形是( )
A．任意三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
◆答案：D

80．(2004·河北省)图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入的球袋 是( )
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
答案：B
三、解答题
81、如图4-46，在三角形ABC中，D为BC边上的一点，且BD=DC,
DA⊥AC,DA=AB，求∠BAD的大小。
◆解：延长AD至E，使
连结

即

82．已知一个等腰三角形的三边长分别为求这个等腰三角形的边长．
◆解：①若则三边分别是1，1，2；
②若三边分别是
③若则三边分别是
但是等腰三角形的三边也要满足三角形的三边关系定理及推论，于是
并不满足定理要求，舍去，所以这个三角形的三边分别是

83．如图是等边三角形，的延长线交DC于 的度数．

◆解析：欲求的度数，只需求
根据题意可得即又知=
因此只求

◆解：是等边三角形

在和中

∵∠E+∠ABE=∠BAC=600, ∠ABE=∠DBP,∴∠D+∠DBP=600.

四、证明题：
84．如图已知在中，的平分线与的外角平分线交于点P．求证

◆证明：平分
又即
同理

即
说明：此题揭示了一个角与角之间的关系式，
即：三角形的一个外角平分线与一个不相邻的内角平分线的交角是第三个内角的一半．

85．如图已知在中，是的平分线，于点E．求证：

◆解析：从图形看，欲证结论中的与无直接联系，但
是直角三角形ADE的一个锐角，有∠DAE=900-∠ADE,
只需通过∠ADE来建立起、之间的关系即∠ADE=
∠B+∠BAD(其中而

而
◆证法

平分

即
◆证法
平分
而
即
86、如图4-50，已知在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB,交BA延长线与点D, E、F分别是AC,BC的中点，

求证：

◆证明：连结EF、AF，在中，为角平分线，

又CD⊥BD，
即

87．如图在中，AD是的平分线，E为AB上一点，过点E作交BC于点F．求证
◆证明：连结ED，在和

的
则

88．如图4—52，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AC上一点，BE与AD交于点F，若AE=EF．
求证：AC=BF．
◆解析：欲证AC=BF，因AC与BF在图形中难以寻求全等的三角形，所以把AC、BF转移到同一三角形中，再证得此三角形为等腰三角形即可．

◆证明：由B点作BP∥AC交AD的延长线于P点，则∠P=∠DAC．又

又AE=EF,
P．即

89．如图连结在中，平分是AB的中点，连结ED并延长交BC的延长线于F点．求证：
◆证明:连接
又
是AB的中垂线．
即，

90．如图在中，分别以AB、AC为边向形外作等边
和等边连结交AB于点F．求证：
◆解析：欲证EF=FD，因EF、FD在同一直线上，FD又是△AFD的一条边，
由已知条件则所以需以EF为边构造一个直角三角形，再证得此三角形与△AFD全等，因此，由E点作△ABE的AB边垂线即可．

◆证明：经过E点作交AB于P点，

又在等边中，

又在等边中，
又在中，
在等边中，

91．如图4—55，在△ABC中，D是△ABC内一点，且
求证：
证明：作AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
又

又
又

92．在等腰△ABC中，BC的中点为点D，E是△ABD内任一点，连结AE、BE、CE．求证：
◆解析：要证的两个角之间没有直接的联系，应想办法将它们组织到容易联系的图形中去，由于AD是△ABC的对称轴，可把AABE翻转到与之关于AD对称的位置上，得△ACE/．显然，它在△ACE内且EE///BC，问题易证．
◆证明：如图4--56，取点E关于AD的对称点E/，连结AE/、CE/，再连结EE/并延长交AC于点
F，由等腰三角形ABC的对称性，有
同理