二轮复习数学专题三.doc

2012年高考第二轮复习数学专题三

1．(2011课标全国卷，理17)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．

2．(2011陕西高考，理19)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1，2，…，n)．

(1)试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)；
(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.

3．(2010课标全国卷，理17)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.

数列主观题常与函数、不等式等知识点交汇，综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想．考查内容主要是：以等差、等比数列为载体，考查数列的通项、求和；利用递推关系求数列的通项、前n项的和；根据题设信息，研究有关数列的性质以及在实际生活中的应用等．
该部分的难点是数列与其他知识点的交汇问题以及应用题中的数列建模问题，易错点是由递推关系求通项公式时忽略n＝1这一情况的检验；利用等比数列求和公式求和时易忘记讨论q与1的关系．

热点一　数列求和
(1)等差、等比数列的求和可直接利用求和公式，此时需准确确定所求和的项数，注意等比数列的公比是否需分q＝1和q≠1两种情况讨论；
(2)有些数列可通过构造新数列，转化为等差(或等比)数列或等差、等比数列组合，再分别用公式求和；
(3)对于非等差、等比数列的求和，常用裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等方法求得．
【例1】 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝＋2(n－1)(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．
思路点拨：(1)由an与Sn的关系，易证an－an－1(n≥2)为常数；
(2)数列的通项可裂项为＝·，再利用相消法求和．

数列求和主要有以下方法：(1)公式法：若数列是等差或等比数列，则可直接由等差数列或等比数列的求和公式求和；(2)分组求和法：一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列通项公式组成，求和时可用分组求和法，即先分别求和，然后再合并；(3)若数列{an}的通项能转化为f(n)－f(n－1)(n≥2)的形式，常采用裂项相消法求和，裂项相消法的解题思想是利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(即前后“对称”)；常见的拆项公式有：
①＝－；②＝；
③＝；
④若等差数列{an}的公差为d，
则＝，＝；
⑤＝；
⑥＝－；
⑦＝.
(4)若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．利用错位相减法求和时，应注意：①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论．
(5)倒序相加法：如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和，可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的．
拓展延伸 已知等差数列{log4(an－1)}(n∈N*)，且a1＝5，a3＝65，数列{bn}的前n项和Sn＝(n－2)2.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记数列cn＝(an－1)·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

热点二　数列与不等式
数列与不等式相结合的问题是近几年高考热点，常见题型是数列前n项的和Sn与某常数或某式的不等关系问题，或证明或求值．
【例2】 已知数列{an}的各项均是正数，其前n项的和为Sn，且满足an＋Sn＝4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，Tn<.
思路点拨：(1)由an与Sn的关系及an＝Sn－Sn－1即可求得an；
(2)整理出bn后，利用放缩、裂项法证明不等式．

数列作为一种特殊的函数，常与不等式一起考查．对于不等式的证明问题，常用方法有：①作差、作商、比较；②判断数列的单调性，根据数列的取值范围证明不等式；③合理利用放缩法．而求值问题则常常转化为解不等式来解决．
拓展延伸 在例2中，令bn＝，若Tn<36，试求n的取值．

热点三　数列与函数、解析几何、不等式的综合应用
以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选．
【例3】 已知曲线C：xy＝1，过C上的点An(xn，yn)作斜率为kn＝－的直线交曲线C于另一点An＋1(xn＋1，yn＋1)，点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1＝.
(1)求xn与xn＋1的关系式；
(2)令bn＝＋，求证：数列{bn}是等比数列；
(3)若cn＝3n－tbn(t为非零整数，n∈N*)，试确定t的值，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立．
思路点拨：(1)联立直线方程与曲线C的方程，消去y，由韦达定理即得xn与xn＋1的关系式；(2)利用xn与xn＋1的关系式证明为常数；(3)利用分析法，执果索因，由cn＋1>cn恒成立，逆推确定出t的值．

数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决．
拓展延伸 已知函数f(x)＝x3＋x2－2.设正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，若点(an，a－2an＋1)(n∈N*)在y＝f′(x)的图象上，求证：点(n，Sn)也在y＝f′(x)的图象上．

热点四　数列的实际应用
解数列应用题的关键是建模，建模的思路是：
从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：

【例4】 (2010湖北高考)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．
(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15≈1.6)
思路点拨：(1)因为建设新住房与拆除旧住房同时进行，故10%与b这两个数据是解决问题的关键；(2)类比出第五年末该地的住房面积后，通过数列求和、列方程解得．

在数列应用题中，如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型即为等差模型，增加(或减少)的量就是公差，则可把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，然后用等差数列知识对模型解析，最后再返回实际中去；如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比，解此类题型的思路同等差数列模型；如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑an与an＋1的递推关系，或考虑前n项和Sn与Sn＋1的递推关系．
拓展延伸某工厂2008年的利润为500万元，因设备老化等原因，若不进行技术改造，预计工厂利润将从2009年开始每年减少20万元，为此工厂在2009年一次性投入资金600万元进行改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年利润为500(n∈N*)万元．
(1)若不进行技术改造，则从2009年起的前n年利润共An万元；若进行技术改造后，则从2009年起的前n年的纯利润(扣除技术改造600万元资金)共Bn万元，分别求An，Bn.
(2)依据预测，从2009年起至少经过多少年技术改造后的纯利润超过不改造的利润？

1．由Sn与an的关系或递推关系求数列的通项公式时，漏掉“n≥2”这一条件，即忘记了检验“n＝1”．
如已知数列{an}中a1＝1，前n项和Sn＝2an＋1－1，求an时，由Sn＝2an＋1－1得，Sn－1＝2an－1，两式相减得，an＋1＝an，此时n≥2，则需检验n＝1时上式是否成立．
2．在利用等比数列求和公式求前n项和时，对公比q未加讨论．
若公比q为参数，则必须考虑q＝1与q≠1这两种情况，否则，不能直接利用公式．
例如：求和S＝q＋q2＋q3＋…＋qn(q>0)，则须分q＝1与q≠1两种情况进行讨论．
3．求数列前n项和的过程中，因运算能力差导致错误．
利用裂项相消或错位相减法求和时，常常出现此类错误，其实，解得Sn的关系式后，可用a1和a1＋a2进行检验，Sn关系式的对错一试便知．如求数列{(n＋1)2n－2}的前n项和Tn，利用错位相减法求得Tn＝n·2n－1.由通项知第一项与第二项分别是1和3，代入上式检验便知所求和的对错．对于数列求和问题，要掌握各种求和方法的题型特点，特别要注意项数、系数和次数，解题原则是“分析到位，找准方法，变形适当，运算准确”．
4．应用题中弄错数列类型或首项或项数等致错．
对于数列应用题，要正确判断是等差数列还是等比数列，或是递推数列，确定首项、公差(公比)、项数是什么，明确是求an、Sn还是求项数．
如某家电厂去年的销售量是a万台，计划在今后10年内每一年比上一年增加10%，从今年起10年内该家电厂的销售总量是多少万台？
解此类题目认真审题是关键．从哪年起？是求总量还是求某一年的量？是增长比例还是增长台数？另外，解题要规范，开始要有数列的记法，结果要回到实际问题中去．
5．探索性问题“探索”有误．
对于数列中的探索性问题，应注意探求数列的特征及性质，如等差、等比特征，单调性、有界性，以及最大项、最小项，找出与探求结论相一致的性质并深入分析，从而给出肯定或者否定的论断．探索性问题解题步骤一般是假设—探求—分析—论断．探求要有目的，分析要有根据，在讨论过程中如果出现不同性质或形式时，要注意分类讨论．

参考答案
考场传真
1．解：(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q>0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，
所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2，
＋＋…＋
＝－2
＝－.
所以数列的前n项和为－.
2．(2011陕西，理19)解：(1)设Pk－1(xk－1,0)，由y′＝ex，得Qk－1(xk－1，)点处切线方程为，
由y＝0，得xk＝xk－1－1(2≤k≤n)．
(2)由x1＝0，xk－xk－1＝－1，得xk＝－(k－1)，
所以|PkQk|＝＝e－(k－1)，于是
Sn＝|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)
＝＝.
3．解：(1)由已知，当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2
＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.①
从而
22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②
①－②，得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
核心攻略
【例1】 　解：(1)由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N*)．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，即an－an－1＝4，
∴数列{an}是以a1＝1为首项，4为公差的等差数列．
则an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n(n∈N*)．
(2)由题意，Tn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝

＝＝<＝.
又易知Tn单调递增，故Tn≥T1＝，
∴Tn的取值范围为≤Tn<.
拓展延伸　解：(1)设等差数列{log4(an－1)}的公差为d，
所以2log4(a2－1)＝log4(a1－1)＋log4(a3－1)，
即2[log4(5－1)＋d]＝log4(5－1)＋log4(65－1)，得d＝1，
所以log4(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，得an＝4n＋1.
由Sn＝(n－2)2，当n＝1时，b1＝S1＝1；
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(n－2)2－(n－3)2＝2n－5，
所以bn＝
(2)由(1)可得，当n＝1时，c1＝41×1；
当n≥2时，cn＝4n×(2n－5)，则Tn＝4×1＋42×(－1)＋43×1＋44×3＋…＋4n×(2n－5)，
4Tn＝42×1＋43×(－1)＋44×1＋45×3＋…＋4n×(2n－7)＋4n＋1×(2n－5)，
则－3Tn＝－28＋2×(43＋44＋45＋…＋4n)－4n＋1×(2n－5)＝－28＋－4n＋1(2n－5)，
所以Tn＝－＋＝.
【例2】 　解：(1)当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(4－an)－(4－an－1)，
整理得2an＝an－1，∴数列{an}是以2为首项，为公比的等比数列．
∴an＝2×n－1＝n－2.
(2)bn＝2＝2＝.
当n≥2时，bn＝<＝－，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn
＝1＋＋＋…＋＋<1＋1－＋－＋…＋－＋－＝2－＝.
故当n≥2时，Tn<.
拓展延伸　解：由例2(1)可知，an＝n－2，
∴bn＝＝＝＝2n＋1，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝22＋23＋…＋2n＋1＝＝4·2n－4，
由4·2n－4<36，得2n<10，又n∈N*，
∴n＝1,2,3.
【例3】 　解：(1)依题意知，过An(xn，yn)的直线方程为y－yn＝－(x－xn)．
联立方程消去y得x2－x＋1＝0.
∴xnxn＋1＝xn＋2，即xn＋1＝.
(2)∵bn＝＋＝，
∴＝＝－2.
∴数列{bn}是首项为b1＝＋＝－2，公比为q＝－2的等比数列．
(3)由(2)知，bn＝(－2)n，要使cn＋1>cn恒成立，
由cn＋1－cn＝[3n＋1－t(－2)n＋1]－[3n－t(－2)n]＝2·3n＋3t(－2)n>0恒成立，
即(－1)nt>－n－1恒成立．
①当n为奇数时，即t<n－1恒成立．又n－1的最小值为1，∴t<1.
②当n为偶数时，即t>－n－1恒成立，又－n－1的最大值为－，
∴t>－.
即－<t<1，又t≠0，t为非零整数，
∴t＝－1，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn.
拓展延伸　证明：∵f(x)＝x3＋x2－2，∴f′(x)＝x2＋2x.
由于点(an，a－2an＋1)在y＝f′(x)的图象上，
∴a＋2an＝a－2an＋1，
∴a－a＝2(an＋1＋an)，又数列{an}为正项数列，
∴an＋1－an＝2，
因此，数列{an}是a1＝3，公差d＝2的等差数列，∴Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
又∵f′(n)＝n2＋2n，∴Sn＝f′(n)．因此，点(n，Sn)也在y＝f′(x)的图象上．
【例4】 　解：(1)第一年末的住房面积为a·－b＝1.1a－b，
第二年末的住房面积为·－b＝a·2－b＝1.21a－2.1b.
(2)第三年末的住房面积为·－b＝a·3－b，
第四年末的住房面积为
a·4－b，
第五年末的住房面积为a·5－b
＝1.15a－b＝1.6a－6b.
依题意可知1.6a－6b＝1.3a，解得b＝，
所以每年拆除的旧住房面积为 m2.
拓展延伸　解：(1)设不进行技术改造，从2009年起，第n年的利润为an，则{an}是首项为480万元，公差d＝－20万元的等差数列，
∴前n年的利润An＝480n－×n(n－1)＝－10n2＋490n，∴An＝－10n2＋490n.又技术改造后，第n年的利润为500，
∴第n年的纯利润Bn＝500n＋500－600
＝500n＋500×－600
＝500n－100－.
∴Bn＝500n－100－.
(2)由Bn>An，得Bn－An＝10n2＋10n－100－>0，
即n2＋n>10＋，
又n∈N*，∴n≥4.
∴至少经过4年技术改造后的纯利润超过不改造前的利润．