二轮复习数学专题三.doc_咨信网zixin.com.cn

资源描述

1、2012年高考第二轮复习数学专题三1(2011课标全国卷，理17)等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前n项和2(2011陕西高考，理19)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k1，2，n)(1)试求xk与xk1的关系(2kn)；(2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.3(2

2、010课标全国卷，理17)设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.数列主观题常与函数、不等式等知识点交汇，综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想考查内容主要是：以等差、等比数列为载体，考查数列的通项、求和；利用递推关系求数列的通项、前n项的和；根据题设信息，研究有关数列的性质以及在实际生活中的应用等该部分的难点是数列与其他知识点的交汇问题以及应用题中的数列建模问题，易错点是由递推关系求通项公式时忽略n1这一情况的检验；利用等比数列求和公式求和时易忘记讨论q与1的关系热点一数列求和(1)等差、等比数列的求和可

3、直接利用求和公式，此时需准确确定所求和的项数，注意等比数列的公比是否需分q1和q1两种情况讨论；(2)有些数列可通过构造新数列，转化为等差(或等比)数列或等差、等比数列组合，再分别用公式求和；(3)对于非等差、等比数列的求和，常用裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等方法求得【例1】设数列an的前n项和为Sn，a11，an2(n1)(nN*)(1)求证：数列an为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn的取值范围思路点拨：(1)由an与Sn的关系，易证anan1(n2)为常数；(2)数列的通项可裂项为，再利用相消法求和数列求和主要有以下方法：(1)公式

4、法：若数列是等差或等比数列，则可直接由等差数列或等比数列的求和公式求和；(2)分组求和法：一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列通项公式组成，求和时可用分组求和法，即先分别求和，然后再合并；(3)若数列an的通项能转化为f(n)f(n1)(n2)的形式，常采用裂项相消法求和，裂项相消法的解题思想是利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(即前后“对称”)；常见的拆项公式有：；若等差数列an的公差为d，则，；.(4)若数列an是等差数列，b

5、n是等比数列，则求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法利用错位相减法求和时，应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“SnqSn”的表达式；当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论(5)倒序相加法：如果一个数列an满足与首末两项等“距离”的两项和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和，可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的拓展延伸已知等差数列log4(an1)(nN*)，且a15，a365，数列bn的前n项和Sn(n2)2.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记数列cn(an1)bn，求数列cn的

6、前n项和Tn.热点二数列与不等式数列与不等式相结合的问题是近几年高考热点，常见题型是数列前n项的和Sn与某常数或某式的不等关系问题，或证明或求值【例2】已知数列an的各项均是正数，其前n项的和为Sn，且满足anSn4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2，数列bn的前n项和为Tn，求证：当n2时，Tn.思路点拨：(1)由an与Sn的关系及anSnSn1即可求得an；(2)整理出bn后，利用放缩、裂项法证明不等式数列作为一种特殊的函数，常与不等式一起考查对于不等式的证明问题，常用方法有：作差、作商、比较；判断数列的单调性，根据数列的取值范围证明不等式；合理利用放缩法而求值问题则常常转化为

7、解不等式来解决拓展延伸在例2中，令bn，若Tncn成立思路点拨：(1)联立直线方程与曲线C的方程，消去y，由韦达定理即得xn与xn1的关系式；(2)利用xn与xn1的关系式证明为常数；(3)利用分析法，执果索因，由cn1cn恒成立，逆推确定出t的值数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题

8、的解决拓展延伸已知函数f(x)x3x22.设正项数列an的前n项和为Sn，a13，若点(an，a2an1)(nN*)在yf(x)的图象上，求证：点(n，Sn)也在yf(x)的图象上热点四数列的实际应用解数列应用题的关键是建模，建模的思路是：从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：【例4】 (2010湖北高考)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(2)如

9、果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.151.6)思路点拨：(1)因为建设新住房与拆除旧住房同时进行，故10%与b这两个数据是解决问题的关键；(2)类比出第五年末该地的住房面积后，通过数列求和、列方程解得在数列应用题中，如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型即为等差模型，增加(或减少)的量就是公差，则可把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，然后用等差数列知识对模型解析，最后再返回实际中去；如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比，解此类题型的思路同等差数列模型；如果题目中给出的

10、前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑an与an1的递推关系，或考虑前n项和Sn与Sn1的递推关系拓展延伸某工厂2008年的利润为500万元，因设备老化等原因，若不进行技术改造，预计工厂利润将从2009年开始每年减少20万元，为此工厂在2009年一次性投入资金600万元进行改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年利润为500(nN*)万元(1)若不进行技术改造，则从2009年起的前n年利润共An万元；若进行技术改造后，则从2009年起的前n年的纯利润(扣除技术改造600万元资金)共Bn万元，分别求An，Bn.(2)依据预测，从2009年起至少经过多少年技术改造后的纯利润超过

11、不改造的利润？1由Sn与an的关系或递推关系求数列的通项公式时，漏掉“n2”这一条件，即忘记了检验“n1”如已知数列an中a11，前n项和Sn2an11，求an时，由Sn2an11得，Sn12an1，两式相减得，an1an，此时n2，则需检验n1时上式是否成立2在利用等比数列求和公式求前n项和时，对公比q未加讨论若公比q为参数，则必须考虑q1与q1这两种情况，否则，不能直接利用公式例如：求和Sqq2q3qn(q0)，则须分q1与q1两种情况进行讨论3求数列前n项和的过程中，因运算能力差导致错误利用裂项相消或错位相减法求和时，常常出现此类错误，其实，解得Sn的关系式后，可用a1和a1a2进行检验

12、，Sn关系式的对错一试便知如求数列(n1)2n2的前n项和Tn，利用错位相减法求得Tnn2n1.由通项知第一项与第二项分别是1和3，代入上式检验便知所求和的对错对于数列求和问题，要掌握各种求和方法的题型特点，特别要注意项数、系数和次数，解题原则是“分析到位，找准方法，变形适当，运算准确”4应用题中弄错数列类型或首项或项数等致错对于数列应用题，要正确判断是等差数列还是等比数列，或是递推数列，确定首项、公差(公比)、项数是什么，明确是求an、Sn还是求项数如某家电厂去年的销售量是a万台，计划在今后10年内每一年比上一年增加10%，从今年起10年内该家电厂的销售总量是多少万台？解此类题目认真审题是关

13、键从哪年起？是求总量还是求某一年的量？是增长比例还是增长台数？另外，解题要规范，开始要有数列的记法，结果要回到实际问题中去5探索性问题“探索”有误对于数列中的探索性问题，应注意探求数列的特征及性质，如等差、等比特征，单调性、有界性，以及最大项、最小项，找出与探求结论相一致的性质并深入分析，从而给出肯定或者否定的论断探索性问题解题步骤一般是假设探求分析论断探求要有目的，分析要有根据，在讨论过程中如果出现不同性质或形式时，要注意分类讨论参考答案考场传真1解：(1)设数列an的公比为q.由a9a2a6得a9a，所以q2.由条件可知q0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，所以a1.故数列an的

15、23325n22n1.从而22Sn123225327n22n1.，得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n12核心攻略【例1】解：(1)由an2(n1)，得Snnan2n(n1)(nN*)当n2时，anSnSn1nan(n1)an14(n1)，即anan14，数列an是以a11为首项，4为公差的等差数列则an4n3，Sn2n2n(nN*)(2)由题意，Tn.又易知Tn单调递增，故TnT1，Tn的取值范围为Tn.拓展延伸解：(1)设等差数列log4(an1)的公差为d，所以2log4(a21)log4(a11)log4(a31)，即2log4(51)dlog4(51

16、)log4(651)，得d1，所以log4(an1)1(n1)1n，得an4n1.由Sn(n2)2，当n1时，b1S11；当n2时，bnSnSn1(n2)2(n3)22n5，所以bn(2)由(1)可得，当n1时，c1411；当n2时，cn4n(2n5)，则Tn4142(1)4314434n(2n5)，4Tn42143(1)4414534n(2n7)4n1(2n5)，则3Tn282(4344454n)4n1(2n5)284n1(2n5)，所以Tn.【例2】解：(1)当n1时，a12，当n2时，anSnSn1(4an)(4an1)，整理得2anan1，数列an是以2为首项，为公比的等比数列an2

17、n1n2.(2)bn22.当n2时，bn，Tnb1b2bn1bn1112.故当n2时，Tn.拓展延伸解：由例2(1)可知，ann2，bn2n1，则Tnb1b2bn22232n142n4，由42n436，得2ncn恒成立，由cn1cn3n1t(2)n13nt(2)n23n3t(2)n0恒成立，即(1)ntn1恒成立当n为奇数时，即tn1恒成立又n1的最小值为1，tn1恒成立，又n1的最大值为，t.即tcn.拓展延伸证明：f(x)x3x22，f(x)x22x.由于点(an，a2an1)在yf(x)的图象上，a2ana2an1，aa2(an1an)，又数列an为正项数列，an1an2，因此，数列an

18、是a13，公差d2的等差数列，Sn3n2n22n.又f(n)n22n，Snf(n)因此，点(n，Sn)也在yf(x)的图象上【例4】解：(1)第一年末的住房面积为ab1.1ab，第二年末的住房面积为ba2b1.21a2.1b.(2)第三年末的住房面积为ba3b，第四年末的住房面积为a4b，第五年末的住房面积为a5b1.15ab1.6a6b.依题意可知1.6a6b1.3a，解得b，所以每年拆除的旧住房面积为 m2.拓展延伸解：(1)设不进行技术改造，从2009年起，第n年的利润为an，则an是首项为480万元，公差d20万元的等差数列，前n年的利润An480nn(n1)10n2490n，An10n2490n.又技术改造后，第n年的利润为500，第n年的纯利润Bn500n500600500n500600500n100.Bn500n100.(2)由BnAn，得BnAn10n210n1000，即n2n10，又nN*，n4.至少经过4年技术改造后的纯利润超过不改造前的利润

展开阅读全文