高三数学第二轮专题复习系列(3)--数列.doc

高三数学第二轮专题复习系列(3)- 数 列 一、本章知识结构：等差数列的性质通项及前n项和正 整 数 集数 列 的 概 念等 差 数 列等 比 数 列等比数列的性质有 关 应 用 二、高考要求1 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.2 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.3 了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳猜想证明”这一思想方法.三、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目. 2.有关数列题的命题趋势（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有，即.4.对客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：借助特殊数列.灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。6这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降.四、复习建议1 对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n项和.2 注意等差（比）数列性质的灵活运用.3 掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前n项和的求和方法.4 注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想.5 注意数列知识在实际问题中的应用，特别是在利率,分期付款等问题中的应用.6 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。五、典型例题数列的概念与性质【例1】 已知由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式.解：q=1时，又显然，q1 依题意；解之又，依题意，将代入得 【例2】 等差数列an 中，=30，=15，求使an0的最小自然数n。解：设公差为d，则或或或 解得： a33 = 30 与已知矛盾 或 a33 = - 15 与已知矛盾或a33 = 15 或 a33 = - 30 与已知矛盾an = 31+(n - 1) () 31 0 n63 满足条件的最小自然数为63。【例3】 设等差数列a的前n项和为S，已知S4=44,S7=35（1）求数列a的通项公式与前n项和公式；（2）求数列的前n项和Tn。解：（1）设数列的公差为d，由已知S4=44,S7=35可得a1=17,d=-4a=-4n+21 (nN),S=-2n+19 (nN).（2）由a=-4n+210 得n, 故当n5时，a0, 当n6时，当n5时,T=S=-2n+19n 当n6时,T=2S5-S=2n-19n+90.【例4】 已知等差数列的第2项是8，前10项和是185，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，第项，依次排列一个新数列，求数列的通项公式及前n项和公式。解：由 得 【例5】 已知数列：求证数列为等差数列，并求它的公差设，求的和。解：由条件，；故为等差数列，公差又知【例6】 已知数列1，1，2它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到。求该数列的前n项和Sn；解：(1)记数列1，1，2为An，其中等比数列为an，公比为q；等差数列为bn，公差为d，则An =an +bn (nN）依题意，b1 =0，A1 =a1 +b1 =a1 =1 A=a+b=aq+b+d=1 A=a+b=aq2 +b+2d=2 由得d=-1, q=2, 【例7】 已知数列满足an+Sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通项an,并加以证明。解法1：由an+Sn=n,当n=1时，a1=S1，a1+a1=1，得a1=当n=2时，a1+a2=S2，由a2+S2=2，得a1+2a2=2，a2=当n=3时，a1+a2+a3=S3，由a3+S3=3，得a1+a2+2a3=3a3=猜想，(1)下面用数学归纳法证明猜想成立。当n=1时,a1=1-,(1)式成立假设,当n=k时,(1)式成立,即ak=1-成立，则当n=k+1时,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+12ak+1=k+1-Sk 又ak=k+Sk2ak+1=1+ak ak+1=即当n=k+1时,猜想（1）也成立。所以对于任意自然数n,都成立。解法2：由an+Sn=n得，两式相减得：，即，即，下略【例8】 设数列是首项为1的等差数列，数列是首项为1的等比数列，又。(1)求数列的通项公式与前n项和公式；(2)当时，试判断cn的符号（大于零或小于零），并给予严格证明。解：(1)设数列的公比为q由条件得(2)证明：当n=5，c50命题成立假设当当也成立由，对一切n5，都有cn0且b1。(1)求数列的通项an；(2)若对4，试求b的取值范围。解：(1)由已知条件得当n=1时，故(2)由【例11】 两个数列、中，成等差数列，且成等比数列。(1)证明是等差数列；(2)若的值。解：(1)是等差数列(2)又，又数列的概念与性质练习一、选择题1设（ D ）ABCD2等比数列中，那么的值为（ C ）ABCD311等比数列 a 中，a=7，前三项之和 S=21，则公比q的值是( C ) （） 1 （） - （） 1或 - （） -1或4首项为1，公差不为零的等差数列中的是一个等比数列的前3项，则这一等比数列的第四项为（ B ）A8B8C6D不确定5已知数列的前n项和，那么这个数列中的奇数项依照原来的顺序构成的数列的通项公式是（ B ）ABCD 6数列an的前n项和Sn=3n-2n2 (nN)，当n2时，就有（ D ） ASnna1nan BSn nanna1 Cna1Snnan DnanSn 0且时,(1)当n = 1时, (2)当(i)若q 1时, 则(ii)若0 q =0，f(n+1)f(n)。（2）f(n+1)f(n)，当n1时，f(n)的最小值为f(2)=S5-S3=必需且只须1且m2令t=则不等式等价于，解得：0t1即01，即-1logm(m-1)0或0logm(m-1)0，a1，数列an是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=anlgan（nN）。（1）求数列bn的前n项和Sn；（2）当数列bn中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围.解：（1）由题意知an=an，bn=nanlga. Sn=（1 a+2 a2+3 a3+n an）lga.a Sn=（1 a2+2 a3+3 a4+n an+1）lga.以上两式相减得（1a）Sn=（a+a2+a3+ann an+1）lga .a1，.（2）由bk+1bk=(k+1)ak+1lgakaklga=aklgak(a1)+a.由题意知bk+1bk0，而ak0，lgak(a1)+a0. （1）若a1，则lga0，k(a1)+a0，故a1时，不等式成立；（2）若0a1，则lga0，不等式成立恒成立.综合（1）、（2）得a的取值范围为【例4】 已知数列an的前n项和为Sn，又有数列bn，它们满足关系，对有。（1）求证bn是等比数列，并写出它的通项公式（2）求解：证法一：当 n=1时，。同理，(2)(1),即由于是由(3),(4)知的等比数列，证法二：同上算得，猜想且数学归纳法证明，(1) 当，命题成立(2)假设时命题成立，即成立。 又由(1)(2)知对 猜想成立的等比数列， 解法2：由，bn是等比数列；且【例5】 已知是首项为1，公差为d的等差数列，其前n项和为，是首项为1，公比为q(|q| 0)，其前n项和为S。（1）写出数列的通项公式及前n项和Sn的公式；（2）设，写出bn关于x和n的表达式；（3）判断数列bn的增减性；（4）求。解：（1）（2）（3）当；当n1时，综上知为递减数列。（4）当数列的综合应用(1) 一、选择题1等差数列的通项公式为的前n项和S等于( A ) (A) (B) (C) (D) 2一个等比数列的前n项和，则该数列各项和为（ B ）AB1CD任意实数3已知数列an满足an+1=anan1（n2），a1=a，a2=b，记Sn=a1+a2+a3+an，则下列结论正确的是（ A ）.（A）a100=a，S100=2ba （B）a100=b，S100=2ba（C）a100=b，S100=ba （D）a100=a，S100=ba4设首项为3，公比为2的等比数列a的前n项和为S，首项为2，公比为3的等比数列a的前n项和为S，则的值等于( C ) （） （） （） （） 25在等比数列中，首项a1 1Bq 1C0 q 1Dq 0,a+b1,nN.（1）求的通项公式，并证明；（2）令，试判断数列中任意相邻两项的大小.解：（1）当n=1时也能满足上式，（2）由（1）及对数的性质可得数列中各项皆为正值又，.2已知数列，前n项和为，对于任意总成等差数列。（1）求的值；（2）求通项（3）计算.解：（1）当n2时，成等差数列；，类似地 （2）当n2时，即得 为常数，成等比数列.；其中故（3）= 数列的综合应用(2)【例1】 已知函数具有下列性质： （1）当n一定，记求的表达式 （2）对解：（1） 即又，即，由n为定值，则数列是以为首项，为公比的等比数列，由于 （2），欲证，只需证明，只需证明【例2】 已知函数f(x)=（1）求f(x)的反函数f1 (x)的表达式；（2）数列中，a1 =1；an =f1 (an1)(nN，n2)，如果bn =(nN)，求数列的通项公式及前n项和Sn；（3）如果g(n)=2Sn17n，求函数g(x) (xR)在区间t,t+2 (tR)上的最小值h(t)的表达式。解：（1） f1 (x)= （2） 是以1为首项，公差为1的等差数列 （3）g(n)=2Sn17n=n216n xRg(x)函数图像是以顶点M（8，64）且开口向上的抛物线(i)当t8时，g(x)在t,t+2上是增函数 h(t)=g(t)=t216t(ii)当t+20，等比数列中，公比q0且若，求a的取值范围.解：由已知不等式，得 ，当时，若，则，若，则，当时，若，则，若时，则，综上：若时， 或时，或数列的综合应用(2)练习一、选择题1设Sn =，则等于（ A ） A B C0 D2已知数列中，那么等于（ B ）A、495B、765C、1080D、31053在等差数列中，（ A ）A、0B、mC、nD、不确定4一个等差数列的首项为4，它的第一项、第七项、与第十项成等比数列，这个数列的通项公式是（ C ）A、B、C、D、5设等于（ C ）A、B、C、D、16数列1,b,c,8中，前三项1,b,c成等差数列，后三项b,c,8成等比数列，则必有（ B ）A、c0B、b0C、c0D、b0)的等比数列，且 . 3在等比数列中，记：，若则公比q= 34数列的前n项和为的值为 。15数列的通项公式前n项和为(a为实常数)，则a的值等于 。26已知等比数列的各项都是正数，且前n项中最大的一项为54，则n= 。4三、解答题1、若分别表示数列的前n项的和，对任意正整数n，。（1）求数列的通项公式；（2）在平面直角坐标系内，直线的斜率为,且与曲线有且仅有一个交点，与y轴交于点Dn，记;（3）若.解：（1）解法（一）由已知当由于由于b1适合上式，解法（二）由于为等差数列，当n=1时，当由于b1适合上式，（2）设的方程为直线与曲线只有一个交点， 则从而（3）=2都是各项为正的数列，对任意的自然数，都有成等差数列，成等比数列。（1）试问是否是等差数列？为什么？（2）求证：对任意的自然数成立；（3）如果，求。解：依题意（1），由式得从而时，代入，是等差数列。（2）因为是等差数列（3）由及两式易得中公差又也适合、