广东省仲元中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题.doc

广东省仲元中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题

广东省仲元中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题

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广东省仲元中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.不等式的解集为R，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：结合与不等式对应的二次函数图像可知，不等式恒成立需满足
考点：三个二次关系
2. 直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则
A. a=2,b=5 B. a=2,b=-5" C. a=-2,b=5 D. a=-2,b=-5
【答案】B
【解析】
直线，令，得到在轴上的截距为；
令，得到在轴上的截距为.
故选C.
3.若图中的直线、、的斜率分别为、、则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据斜率和倾斜角的对应关系，判断出正确选项.
【详解】由于直线的倾斜角为钝角，所以；由于直线的倾斜角为锐角，且的倾斜角小于的倾斜角，所以，所以.
故选：A
【点睛】本小题主要考查直线斜率和倾斜角，属于基础题.
4.已知正项等差数列中，，若，，成等比数列，则（ ）
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
【答案】B
【解析】
【分析】
结合等比中项的性质，将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得.
【详解】依题意，
由于，，成等比数列，所以，
即，
即，，
化简得，由于，所以
所以.
故选：B
【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，属于中档题.
5.若的三个内角满足,则（ ）
A. 一定是锐角三角形
B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形
D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据正弦定理，由条件可得，设，则，由余弦定理可得，而,所以为钝角，所以为钝角三角形，故选C.
考点：1.正弦定理；2.余弦定理.
6.在中，若 ，则=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
余弦定理将各值代入
得
解得或(舍去)选A.
7.两数与的等比中项是（ ）
A. 1 B. －1 C. ±1 D.
【答案】C
【解析】
试题分析：设两数的等比中项为，等比中项为-1或1
考点：等比中项
8.如图所示的坐标平面可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数取得最大值的最优解有无数个，则为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题意，
当,最优解应在点B处取到，不合题意
当,最优解应在线段BC上取到，故z=2x-ay应与直线BC平行
∵，∴，∴a=-2

考点：简单线性规划
9.△ABC中, a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且 则角B的大小为（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
【答案】A
【解析】
由正弦定理得 可化为
化简得到，可以得到 ，由特殊角的三角函数值得到 .
故答案选A.
10.一个等比数列的前10项和为48，前20项和为60，则前30项和为（ ）
A. 108 B. 83 C. 75 D. 63
【答案】D
【解析】
【分析】
将已知条件转化为的形式，化简后求得以及，由此求得.
【详解】依题意①，②.
所以，代入①得，
所以.
故选：D
【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式，属于中档题.
11.设等比数列的前n项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件求得，由此判断出正确选项.
【详解】由于等比数列满足，所以定值，首项无法确定.
所以为定值，为定值，为定值，
的值与有关，所以的值不能确定.
故选：D
【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前项和公式，属于基础题.
12.设是公比为的等比数列，首项，对于，，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由，得出数列是以为公差，以为首项的等差数列，由已知仅当时最大，通过解不等式组 求出公比的取值范围即可．
【详解】解：等比数列公比为，首项

数列是以为公差，以为首项的等差数列，
．
由于当且仅当时最大，
，且

即
故选：．
【点睛】本题考查了等差数列的判定，前项和最值情况．本题得出数列是以为公差，以为首项的等差数列为关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.数列满足，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，利用累加法求得.
【详解】由于数列满足，，
所以
.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查累加法，考查等比数列前项和公式，属于基础题.
14.不等式的解集是______
【答案】
【解析】
【分析】
首先将所给的不等式转化为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可.
【详解】题中所给的不等式即：，，
该不等式等价于：，
求解二次不等式可得：，则不等式的解集为.
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式不等式解法，二次不等式的解法 ，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15.若直线和互相垂直，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两条直线垂直列方程，解方程求得的值.
【详解】由于直线和互相垂直，
所以，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查两条直线垂直的条件，属于基础题.
16.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1，那么它的通项公式为an=______．
【答案】
【解析】
【分析】
当n=1时,a1=S1=2；当时,,检验后可得通项公式
【详解】解：当n=1时,a1=S1=12+1=2；
当时,,
检验,当时,,∴不符合
∴，
故答案为
【点睛】本题考查由与的关系求通项公式,解此类问题时需注意检验
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.已知三角形的顶点坐标为，M是边上的中点
（1）求中线的长；
（2）求边上的高所在直线方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由中点坐标公式和两点的距离公式可得答案；
（2）根据两点的斜率公式和两直线垂直其斜率间的关系可求得AB边上的高所在直线方程的斜率，从而得出直线方程.
【详解】（1）设M的坐标为，则由中点坐标公式得，故，所以.
（2）因为直线的斜率为，
设边的高所在直线的斜率为k，则有，∴.
所以边高所在直线方程为即.
【点睛】本题考查中点坐标，两点的距离公式，两直线垂直其斜率间的关系，以及直线的方程的求法，属于基础题.
18.已知关于x的不等式．
（1）若不等式的解集是，求的值；
（2）若，，求此不等式的解集．
【答案】（1）；（2）分类讨论，答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用根与系数关系列式，求得的值，进而求得的值.
（2）将原不等式转化为，对分成三种情况，讨论不等式的解集.
【详解】（1）由题意知，且1和5是方程的两根，
∴，且，
解得，，∴．
（2）若，，原不等式为，
∴，∴．
∴时，，原不等式解集为，
时，，原不等式解集为，
时，，原不等式解集为，
综上所述：当时，原不等式解集为，
当时，原不等式解集为．
当时，原不等式解集为．
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根与系数关系，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
19.已知等差数列满足：，．的前n项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得
解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可
试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，
解得，所以，.
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
即数列的前项和.
考点：等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和

20.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求b的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）结合余弦定理求得、，由此求得，进而求得，从而求得的值.
（2）利用三角形的面积公式列方程，解方程求得，进而求得的值.
【详解】（1）∵，∴由余弦定理可得：，
又．∴．∴，
∴，．
∴．
∵，∴．
∴．
（2）∵，
解得，
由（1）得，
所以．
【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.
21.
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
【答案】应当为该儿童预定4个单位午餐和3个单位的晚餐
【解析】
【详解】本题主要考查线性规划方面的基础知识.，以及基本运算能力、应用能力,从实际问题中抽象出数学模型是解答实际问题的关键.
法（一）设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别为个单位和个单位，所花的费用为元，则依题意得：，且满足
即
在可行域的四个顶点

处的值分别是

比较之，最小，因此，应当为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
法（二）设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别为个单位和个单位，所花的费用为元，则依题意得：，且满足
即
让目标函数表示的直线在可行域上平移，由此可知在处取得最小值．
因此，应为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
22.已知数列中，，点在直线上，，数列的前n项和为，且是与2的等差中项．
（1）求数列，的通项和；
（2）求证：；
（3）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件判断出数列是等差数列，并求得其通项公式.利用判断出数列是等比数列，并求得其通项公式.
（2）利用裂项求和法化简不等式左边，由此证得不等式成立.
（3）利用错位相减求和法求得.
【详解】（1）∵点在直线上，
∴，，
又，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴．
∵是与2的等差中项，
∴，，．
∴，
∴，．
又，∴，，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴．
（2）∵，
∴

．
（3）∵由（1）知，
∴，
∴，
因此，
．
∴．
【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，考查已知求，考查裂项求和法、错位相减法，属于中档题.