二轮复习数学专题二第2讲-三角变换.doc

2012年高考第二轮复习数学专题二第2讲　三角变换

1．(2011课标全国卷，理5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝(　　)．
A．－ B．－ C． D．
2．(2010课标全国卷，理9)若cos α＝－，α是第三象限的角，则＝(　　)．
A．－ B． C．2 D．－2
3．(2009上海高考，理6)函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是__________．

从近几年的高考试题来看，对三角变换公式注重基础考查，并在综合试题中作为一种工具考查，其重点的考查内容为三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式、倍角、半角公式，还有使用频率相当高的升降幂公式、辅助角公式等，预计2012年高考中仍以上述内容为主要考查方向，并将会与平面向量、解三角形和不等式等内容综合考查，题目难度一般为中低档，因此在学习中注重公式间的内在联系和变形技巧，还要重视公式的逆用，不要在化简或证明上过于繁杂化和技巧化，尽量把握常规的变形方式．

热点一　给值求值问题
给值求值问题在历年高考中多以选择题、填空题形式出现，主要考查三角变换的核心公式，如和角公式、倍角公式、诱导公式、基本关系式等．解决此类问题的思路主要有由果索因，从条件直接出发、所求与条件共同转化等方式．
【例1】 (2011全国高考，理14)已知α∈，sin α＝，则tan 2α＝__________.

(1)本题型一定要看清角的范围；
(2)除了教材中的常见三角变换公式，还应注意熟记如下常用结论：①1±sin α＝2，
②角的代换：(ⅰ)β＝(α＋β)－α，(ⅱ)2α＝(α＋β)＋(α－β)，(ⅲ)2β＝(α＋β)－(α－β)，
③cos2x＝＝＝，
sin2x＝＝＝.
拓展延伸 将例1中所求tan 2α的值改为求的值．

热点二　三角变换在解三角形的应用
解决三角形问题除了利用正、余弦定理及面积公式外，三角变换贯穿在运算的始终，因此大家应强化三角变换的应用意识，并要与三角形中的角的范围结合起来．
【例2】 (2011全国高考，理17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.

(1)解三角形问题一定要注重边角转化意识，统一为边，侧重代数运算，统一为角的关系，侧重于三角变换；
(2)以三角形为背景的题目，要注意A＋B＋C＝180°，及大边对大角等隐含条件的利用；
(3)求角的大小问题，一定要注意先要求出角的范围再作答，否则是不严密的．
拓展延伸 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C.
(1)求角C的大小；
(2)求sin A－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

热点三　三角变换在三角函数中的应用
三角函数图象及性质的考查是高考的热点，但所给函数需要借助于三角变换公式将其转化为合理形式是高考中的常见形式，常用到的公式有和角公式、倍角公式、升降幂公式和辅助角公式等，还要注意角变换．
【例3】 (改编自2010天津高考，16)已知a＝(sin x，cos x＋sin x)，b＝(2cos x，cos x－sin x)(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．

(1)利用asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)把形如y＝asin x＋bcos x＋k的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．
(2)化asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)时φ的求法：①tan φ＝；②φ所在象限由(a，b)点确定．
(3)注重用已知角来表示未知角，如把2x0变为－就体现这一技巧．
拓展延伸 (2011江苏南京高三模拟，15)已知向量a＝(sin α，1)，b＝(cos α，2)，α∈.
(1)若a∥b，求tan α的值；
(2)若a·b＝，求sin的值．

1．诱导公式可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系而言的，sin α与cos α对偶，“奇”“偶”指对诱导公式中k·＋α的整数k来讲的，象限指k·＋α中，将α看作锐角时k·＋α所在的象限，把α看作了锐角，但α不一定是锐角．
如：sin(180°＋127°)＝－sin 127°，此时把127°看成了锐角，右边的符号由180°＋α所在象限来定．
2．三角函数求值问题一般有三种基本类型：(1)给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；(2)给值求值，即给出一些三角函数值，求与这些三角函数式有某种联系的三角函数式的值；(3)给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角．方法：(1)寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；(2)正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；(3)一些常规技巧：“1”的代换，切化弦，异角化同角，辅助元素法，角的变换等．
3．注意变形公式tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)的灵活应用．
举例说明：tan 23°＋tan 22°＋tan 23°tan 22°＝tan(23°＋22°)(1－tan 23°tan 22°)＋tan 23°tan 22°＝1.
4．三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．
(1)无条件的恒等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；
(2)有条件的恒等式证明的常用方法有代入法、消去法、综合法、分析法等．
5．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：(1)不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；(2)善于拆角、拼角，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＋β＝(α＋β)＋α等；(3)注意倍角的相对性；(4)要时时注意角的范围；(5)注意化简要求；(6)熟悉常用的方法与技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等．
尤其对于角变换特举例说明：
已知tan(α＋β)＝，tan α＝，求tan β时可以列出关于tan α，tan β的方程求解，但将β表示为(α＋β)－α就能直接应用题目条件，望引起重视．

参考答案
考场传真
1．B　解析：由题意知tan θ＝2，且θ为第一或第三象限角，故cos 2θ＝＝＝＝－.
2．A　解析：∵cos α＝－，α为第三象限角，
∴sin α＝－.∴tan α＝.
由tan α＝＝，
得tan＝或tan＝－3.
又∵π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ，在第二象限；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ，在第四象限．
∴tan＝－3.
∴＝＝－.
3．1－　解析：因y＝2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin＋1，所以y的最小值为1－.
核心攻略
【例1】 　－　解析：∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝－＝－.
∴tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝－.
拓展延伸　　解析：∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝－＝－.
∴tan α＝－，
∴tan 2α＝＝－.
又cos＝cos αcos－sin αsin
＝－×－×＝－，
∴＝＝.
【例2】 　解：由a＋c＝b及正弦定理可得sin A＋sin C＝sin B.
又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，
故cos C＋sin C＝sin(A＋C)
＝sin(90°＋2C)＝cos 2C.
cos C＋sin C＝cos 2C，
cos(45°－C)＝cos 2C.
因为0°＜C＜90°，
所以2C＝45°－C，C＝15°.
拓展延伸　解：(1)由正弦定理得sin Csin A＝sin A cos C.
因为0<A<π，所以sin A>0，
从而sin C＝cos C.
又cos C≠0，所以tan C＝1.则C＝.
(2)由(1)知，B＝－A，于是
sin A－cos
＝sin A－cos(π－A)
＝sin A＋cos A
＝2sin.
因为0<A<，所以<A＋<.从而当A＋＝，即A＝，B＝时，2sin取最大值2.
综上所述，sin A－cos的最大值为2，此时A＝，B＝.
【例3】 　解：(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，得
f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)＝1，f＝2，f＝－1，
所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.
又因为f(x0)＝，
所以sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈，
从而cos＝－＝－.
所以cos 2x0＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.
拓展延伸　解：(1)因为a∥b，
所以2sin α＝cos α.
故tan α＝.
(2)因为a·b＝，
所以sin αcos α＋2＝，即sin 2α＝.
因为α∈，所以2α∈，则cos 2α＝.
所以sin＝sin 2α＋cos 2α＝×＋×＝.