四边简支功能梯度石墨烯增强复合材料厚板的自由振动分析.pdf

第49 卷第4期2023年8 月文章编号：16 7 3-519 6（2 0 2 3)0 4-0 16 6-0 7摘要：基于准三维板理论，研究了四边简支功能梯度石墨烯增强复合材料（FG-GRC)厚板的自由振动行为.通过改进的Halpin-Tsai模型计算了不同分布模式下FG-GRC厚板的有效性能，利用Hamilton原理构建其控制方程，并根据Navier法求解.通过参数研究部分揭示了石墨烯纳米片（GPLs）的重量分数、FGGRC板的总层数、GPLs分布模式、宽厚比以及长宽比对四边简支FG-GRC厚板自由振动固有频率的影响。由于准三维板理论考虑了厚度拉伸效应，因此在厚板计算中比经典板理论、一阶板理论和Reddy三阶板理论更为精确.关键词：功能梯度石墨烯增强复合材料；厚板；准三维板理论；Navier法；自由振动中图分类号：O343；T B34Free vibration analysis of functionally graded grapheme-reinforced compositeAbstract:The vibration characteristic of four-edge simply supported functionally graded graphene rein-forced thick plates is investigated by using the quasi-3D plate theory.The main properties of FGGRCthick plates are calculated for different distributions within the improved Halpin-Tsai model.The gover-ning equations are proposed according to the Hamiltons principle,and the solutions were obtained by u-sing the Naviers method.Some parameters are adjusted to clarify the effects of the weight fraction of gra-phene nanosheets(GPLs),the total number of layers of FG-GRC plate,the distribution pattern of GPLs,and the aspect ratio on the natural frequency of free vibration.The quasi-3D plate theory takes into accountthe effect of thickness stretching,therefore,it is more accurate than the classical plate theory,first-orderplate theory,and Reddy third-order plate theory in the calculation of thick plate.Key words:functionally graded graphene reinforced composite;thick plate;quasi-3D plate theory;Navi-ers method;free vibration日本材料学家于19 8 4年就提出了功能梯度材料的概念，其中传统的金属-陶瓷功能梯度材料已在航空航天工程中得到了广泛的应用.近年来随着纳米科学技术的发展，以碳纳米管和石墨烯为增强剂的新型复合材料被学者们提出并得到广泛应用.功能梯度石墨烯增强复合材料(FG-GRC)通过在基体材料中添加增强材料石墨烯纳米片(GPLs)来增强收稿日期：2 0 2 2-10-0 2基金项目：国家自然科学基金（12 0 6 2 0 10,118 6 2 0 12)通讯作者：雷芳明（19 8 5-），男，甘肃天水人，讲师.Email;兰州理工大学学报Journal of Lanzhou University of Technology四边简支功能梯度石墨烯增强复合材料厚板的自由振动分析雷芳明*（兰州理工大学理学院，甘肃兰州7 30 0 50）文献标志码：Athick plates with simply supported on four sidesLEI Fang-ming(School of Science,Lanzhou Univ.of Tech.,Lanzhou 730050,China)其力学性能1,这些材料由于优异的性能使其在航空航天、机械制造等领域具有非常广泛的应用，因此,研究FG-GRC相关结构的力学行为具有重要意义.二维板理论通常被用来分析板状结构的力学行为,如经典板理论2、一阶板理论3-和Reddy型三阶板理论10-1.经典板理论忽略了剪切和法向变形的影响，适用于薄板力学行为分析.由于一阶板理论假定横截面具有恒定的横向剪应变，因此必须进行剪切校正，该校正系数不仅与材料和几何参数有关，还与载荷以及边界条件有关5-11.由于剪切修正系Vol.49No.4Aug.2023第4期数难以确定,Reddy型三阶板理论成为许多研究人员的首选.Reddy型三阶板理论的优点是不需要考虑剪切修正因子，而且Reddy型三阶板理论的计算结果也比经典板理论和一阶板理论更接近三维精确解.但上述这些二维板理论均未考虑厚度方向拉伸的影响，这在计算中等厚度和厚板时会导致很大的误差。为了弥补二维板理论未考虑厚度拉伸效应的缺点，通过在位移场中引入厚度拉伸位移项，将其影响计入其中的准三维板理论被提出并被用于分析中厚度板的力学行为，其计算准确性已被诸多文献验证12-141.目前鲜有使用准三维板理论研究FG-GRC厚板自由振动行为的文献报道.本文基于准三维板理论分析了四边简支FG-GRC厚板的自由振动特性,详细讨论了GPLs的重量分数、FG-GRC板的总层数、GPLs分布模式、宽厚比以及长宽比对自由振动固有频率的影响.1功能梯度石墨烯增强复合材料(FG-GRC)板的材料性质考虑如图1所示的FG-GRP板,其长度为，宽度为b，厚度为h，总层数为N.石墨烯纳米片(GPLs)作为增强材料,在 FG-GRP板中有四种分布模式.其中,U型分布模式GPLs含量均匀分布；O型分布模式中GPLs含量中间最高，上下表面最低；X型分布模式中GPLs含量上下表面最高，中间最低；A型分布模式中GPLs含量从上表面向下表面递增。第k层板的有效杨氏模量由修正的Halpin-Tsai 模型给出15-16,：0.5h0.5hZU型X型图1功能梯度石墨烯增强复合材料(FG-GRC)板的示意图和石墨烯纳米片(GPLs)的四种分布模式Fig.1SSchematic diagram of functionally graded graphene re-inforced composite(FG-GRC)plate and four distribu-tion patterns of graphene nanosheets(GPLs)雷芳明：四边简支功能梯度石墨烯增强复合材料厚板的自由振动分析1-nV一51+wmwVaXEM?8式中:nL、7 W、SL和Ew表达式为(Ec/Em)1nL=(Ee/EM)+ELG5w=hG式中：下标 G”表示GPLs；下标“M表示基体材料；E为杨氏模量;lc、W c 和hG分别为GPLs的长、宽和厚；Vc表示第k层的GPLs体积分数，定义如下15-16 ,(3)F0+(p/pm)(1-f)式中：f表示第k层的GPLs重量分数，由GPLs的分布模式确定（仅适用于总层数NL为偶数的情况),如式(4)所示15-16 :fN+14fk22+NLNL+1+k一22+N.2kfc(NL.+1)式中：fc为GPLs的总重量分数.FG-GRC板第k层的有效密度和泊松比定义如下17：0=Pov+pm(1-va)Xe=vev+Ma-V)式中:pG和pM分别表示GPLs和基体材料的密度；VG和vM分别表示GPLs和基体材料的泊松比.b2准三维板理论的控制方程本文采用考虑厚度拉伸效应的准三维板理论，0型其位移场如下所示ui(c,y,z,t)=u(a,y,t)A型uz(c,y,z,t)=v(c,y,t)-us(a,y,z,t)=w(a,y,t)+w,(,y,t)+g(z)w(,y,t)167.3E)8XEM+(Ec/Em)-17W=(Ec/EM)+w(2)(U型)NL+12(1)(O型)(X型)(A型)(4)(5)(6)f(之)f()ay(7)(10).168式中：（ui，u 2,u 3)分别表示板内任意一点沿着（，)轴方向的位移;u和表示板中面内任意一点沿着和坐标方向的位移；w，和w，分别为横向位移的弯曲部分和剪切部分；W为厚度拉伸部分；h 表示板的厚度;f（)和g（)称为横向剪切函数，如式(8)所示：（2(g()=1-f()线性的应变-位移关系如式(9)所示：之CCS0CC0Ty00(Ty0式中：C；为弹性常数，定义如下：(1-()E()C(1-2()(1+v()C(R）(1-2()(1+v()EC2(1+v)式中：E(）表示第k层板的弹性模量，由式(1)可得；）表示第层板的泊松比，由式(6)可得。系统的应变能变分为N(+0+2+1(U:2k=1Joy+y+odedrdy(12)系统的动能变分为NLdK2k=1基于 Hamilton 原理式(12)和式(13），可以得到如下位移形式的偏微分兰州理工大学学报Eyyyg()wauryy2f()aayhsin元之元hf(之)(k)(U-K)dt=0,联立第49 卷dy2之aray(8)Y=g(z)g（应力-应变关系如式(10)所示：CCi000C00Yy0000Bi1Iou(11)A221B22B22ay3I0yuB11+(B12+2B66)B22D11a432(D 12+2D 66)(13)D22ay4Y13+Y232(9)ay0000yy000C000(Bi2+2B%6)axay11A66+（A 1(B 12+2B66)aa?ay(Bi2+2B%)X23a2ayayaua4WbDay4Di1aaaya4w-2(Di2+2D%)a2ayI(w,+,)+2(k)X13A66ady(14a)(14b)控制方程：uA11A66aB11(B12+2B66)auJ。w+1+（A 122+A66)aayaray2I2V?w,-J2V2wauBi1+(Bi2+2B%)(14c)axay第4期B23Di12(Di2+2D%)aa?ay2(Hi2+2H)+Aax2ayA44(Yi3+A)I(w+w,)+Jow+JJ2V2w-K2V2w.X13auX23y(Yis+As)w;+(Y2s+Ai)AsA44w-Z3w=a2J(w,+w,)+Kow式(13)和式(14)中“。”和“”分别指的是对时间t的一阶和二阶导数，各项系数定义如下：(Aj,A;,Bij,Bj,Dij,Dj,H,)=NLCh/2(1,g,z,f,z,fz,f)C,d(15a)k=1J-h/2(X;,Yj,Yi,Z,)=NLCh/2(g,gz,gf,g2)Ci,dz一h/2k=1(Io,I1,I2)=(Jo,J1,J2)=Ch/2(Ko,K2)=(g?,f)pdzh/23振动方程的 Navier法求解考虑如图1所示的四边简支矩形厚板，式（14）中的偏微分控制方程组可用Navier重三角级数法求解.根据Navier解，将解的形式假设为如下所示的重三角级数形式11：u(r,y,t)=ZZU,e cos acsin yr=1 s=1(a,y,t)=22Vrr=1 s=1w,(a,y,t)=2Wonre sin a sin y雷芳明：四边简支功能梯度石墨烯增强复合材料厚板的自由振动分析aWbawbD22aWHi1H22ay(Y23+A44(14d)Y(14e)(15b)Ch/2(1,2,)pdz一h/2Ch/2h/2(g,f,zf)pder ea sin ac cos y169w,(a,y,t)=Z2Wweasin a sin By(16d)r=1=1w.(a,y,t)=22XWe sin aac sin yr=1 s=1r元式中:i=/-1;a;6;是自由振动固有频率；r和s分别表示和方向的半波数将式(16)代人式(14),得到i11j12j13j14j15312j22j23j24 j25i13j23j33j34js5314j24j34j44j45Li15j25j35j45j55Jm11m12m13m14m15m12m22m23 m24m252m13m23m33 m34m35m14m24 m34m44m45Lm15m25 m35m45m55矩阵元素表达式如下所示：j11=A12+As32j 12=(A12+As3)j13=-B1-B12-2B3a2j 14=C12+Ca2j 15=(C12+C3)aj22=A2+As32j 23=-B21-B223-2B33(15c)j 24=(C21+C3)j2s=C 2 2+C 32(15d)j33=D14+D122p+D21p2+D 2+4D 3ap2(15e)j34=-E11-E21ap2-2E3ap2js35=-E12-E223-2Es3j44=F1+Fss2+K4j45=(F12+F33)jss=F3+F222+K55m11=Io,m13=-Ii,m22=Io，m 2 3=-I i,(16a)m3=I2(+)+I。m34=-Is,m35=-Is(16b)m44=I4,m55=I4通过线性方程组（17)式存在非平凡解的条件，(16c)便可求出自由振动的固有频率.(16e)S元(UrsVrsWbrsWsrSW,m14=I,m 25=I3000(17).1704数值结果与分析首先进行验证分析，在验证了本文理论和方法的准确性后,研究了石墨烯纳米片(GPLs)的重量分数、FG-GRC板的总层数、GPLs分布模式、宽厚比以及长宽比对自由振动固有频率的影响.FG-GRC板的基体材料选择环氧树脂,其材料特性为EM=3.0GPa,pM=1.2g/cm,vM=0.34.GPLs几何尺寸为 lG=2.5 m,Wc=1.5 m,hg=1.5 nm.GPLs材料特性为 Ec=1.01 TPa,PG=1.06 g/cm,VG=0.186.如无特别说明，则默认取fc=1.0%,N=10.本文采用的无量纲固有频率形式如下：a=whVpm/EM4.1计算方法验证表1和表2 给出了宽厚比a/h分别为4和10表1a/h=4时FG-GRC方板的前六阶无量纲固有频率Tab.1The first sixth-order dimensionless natural frequencyof the FG-GRC square plate when a/h=4模型理论值U型0型X型A型模型1文献17 0.65950.578 40.70060.6250(r=1,s=1)本文值0.66200.58060.70080.6270模型2文献17 1.387 91.26631.40691.327 2(r=2,s=1)本文值1.39461.27251.40661.333 0模型3文献17 1.96541.835 21.944.41.8903(r=2,s=2)本文值1.9764 1.8453 1.94451.9001模型4文献17 2.30032.171 92.251 42.218 9(r=3,s=1)本文值2.314.42.184 52.252 32.231 4模型5文献17 2.751.4(r=3,s=2)本文值2.76992.647 22.66462.6799模型6文献17 3.4079 3.30683.25773.3130(r=3,s=3)本文值3.43413.3290 3.26463.336 8表2 a/h=10时FG-GRC方板的前六阶无量纲固有频率Tab.2The first sixth-order dimensionless natural frequencyof the FG-GRC square plate when a/h=10模型理论值U型0型X型A型模型1文献17 0.121 80.102 50.136 80.114 4(r=1,s=1)本文值0.12210.10280.137 00.1146文献17 0.2906 0.24810.319 80.273.7模型2(r=2,s=1)模型3文献17 0.44600.385 40.48290.421 2(r=2,s=2)本文值0.44750.38680.48320.4225模型4文献17 0.54350.47290.58310.5141(r=3,s=1)本文值0.54540.47470.58340.5157模型5文献17 0.68200.59900.723 10.6465(r=3,s=2)本文值0.684 60.601 40.723 30.648 7模型6文献17 0.89580.797 10.934 80.851 7(r=3,s=3)本文值0.89950.80050.93480.854 8兰州理工大学学报时,FG-GRC方板的前六阶无量纲固有频率.通过与文献17 对比验证了本文计算结果的准确性.本文所使用的准三维理论与文献17 的区别在于，本文使用了正弦型横向剪切函数，包含4个未知参量，而文献17 中的准三维理论使用了多项式型横向剪切函数，其包含5个未知参量，计算更为复杂。4.2景影响因素讨论与分析基于正弦型准三维板理论研究了总层数NL、GPLs重量分数f和长宽比b/对 FG-GRC矩形厚板的自由振动基频的影响.总层数NL对FG-GRC方板自由振动基频的影响如图2 所示.从图中可以看出：随着总层数NL(18)的增加,FG-GRC板的自由振动基频根据GPLs的分布模式产生不同的变化.X型分布模式下，板的基频随着总层数N的增大而增加.O型和A型分布模式下，板的基频随着总层数NL的增大而降低.总层数NL的改变不对U型分布模式下板的基频产生影响,这是由于U型分布的FG-GRC板本质就是多层石墨烯组成的均匀材料.四种分布模式中,基频的变化均随着总层数N的增大而趋缓.不同厚度下的FG-GRC板具有类似的振动特性.0.80U型-O型0.75+X型-A型0.70130.652.63092.66212.6633本文值0.29150.2489 0.32010.274 5第49 卷O1OO-O-O0.600.5500.160.150.140.13130.120.110.100.090图2总层数NL对FG-GRC方板自由振动基频的影响Fig.2Effect of the total number of layers N,on the free vi-bration fundamental frequency of FG-GRC squareplate-1020N(a)a/h=4-U型-O型X型-o-A型1020N(b)a/h=103030404050O50第4期GPLs重量分数fc对FG-GRC方板自由振动基频的影响如图3所示.从图中可以看出：随着GPLs重量分数fc的增加,FG-GRC板的自由振动基频在四种分布模式下均呈现上升的趋势.其中X型分布模式的增加幅度最大，O型分布模式的增加幅度最小.不同宽厚比下，FG-GRC板的基频变化趋势相似.这是由于增强剂 GPLs 具有更大的弹性模量，因此随着其重量分数增加,FG-GRC板的等效刚度也越大，其基频也越高。0.8-U型一-O型0.7X型-A型0.610.50.40.300.20.16-U型-O型0.14X型-o-A型0.12130.100.080.060.0400.2图3GPLs重量分数c对FG-GRC方板自由振动基频的影响Fig.3Effect of weight fraction fc of GPLs on the freevibration fundamental frequency of FG-GRCsquare plate长宽比b/a对FG-GRC板自由振动基频的影响如图4所示.从图中可以看出：随着长宽比b/a的增加,FG-GRC板的自由振动基频在四种分布模式下均呈现下降的趋势.值得注意的是，基频的下降随着b/a的增大逐渐趋于平缓.正方形FG-GRC板的基频最高.总体来看，在相同条件下，四种分布模式中，GPLs含量主要分布在板上下表面的X型分布模式雷芳明：四边简支功能梯度石墨烯增强复合材料厚板的自由振动分析5678910b/a(a)/h=40.14+U型一O型0.12X型-A型0.10130.080.40.60.8f/%(a)a/h=4 0.40.60.8./%(b)a/h=10171可以提供最高的自由振动固有频率.GPLs含量主要分布在板中面的O型分布模式下自由振动固有频率最低。0.80.70.6130.50.40.312341.0 1.21.01.2-U型-o-O型+X型-o-A型0.060.04123 45 678910b/a(b)a/h=10图4长宽比b/a对FG-GRC板自由振动基频的影响Fig.4 Effect of aspect ratio b/a on the fundamental fre-quency of free vibration of FG-GRC plate5结论本文基于正弦型准三维板理论，研究了四边简支功能梯度石墨烯增强复合材料(FG-GRC)厚板的自由振动行为.由于本文所采用的准三维理论考虑了剪切效应和厚度拉伸效应，因此其计算结果比二维板理论更加精确.探讨了石墨烯纳米片(GPLs)的重量分数、FG-GRC板的总层数、GPLs分布模式、宽厚比以及长宽比对自由振动固有频率的影响.主要结论如下：1)GPLs 的分布模式对自由振动固有频率的影响显著,其中X型分布模式的基频最高，O型分布模式的基频最低。2）随着FG-GRC板的总层数增大，基频的变化逐渐趋于平缓，且具体变化趋势与GPLs 的分布模式相关.3）G PLs 重量分数fc增大时FG-GRC板的自由振动基频显著增加.4）FG-G R C 板的长宽比为1时基频最高.172参考文献：1RAFIEE M,RAFIEE J,WANG Z,et al.Enhanced mechanicalproperties of nanocomposites at low graphene content J.ACS Nano,2009,3(12):3884-3890.2MA L S,WANG T J.Nonlinear bending and post-buckling of afunctionally graded circular plate under mechanical and thermalloadings JJ.International Journal of Solids and Structures,2003,40(13/14):3311-3330.3TENG M W,WANG Y Q.Nonlinear forced vibration of simplysupported functionally graded porous nanocomposite thinplates reinforced with graphene platelets J.Thin-WalledStructures,2021,164:107799.4马连生，贾金政.机械载荷作用下功能梯度梁的过屈曲分析J.兰州理工大学学报，2 0 2 0，46（3）：16 0-16 4.5MA L S,LEE D W.A further discussion of nonlinear mechani-cal behavior for FGM beams under in-plane thermal loadingJ.Composite Structures,2011,93(2):831-842.6MA L S,LEE D W.Exact solutions for nonlinear static respon-ses of a shear 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