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高一数学（必修4）平面向量
向量的概念及表示

一．教学目标：
（一）知识目标：
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
（3）会区分平行向量、相等向量和共线向量.
（二）能力目标：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
（三）情感目标：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
二．教学重点、难点；
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
难点突破：借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
o
三．教学过程，
B
（一）情景设置
(1)湖面上有三个景点O,A,B,（如图）一游艇将
游客从景点O送至景点A,半小时后，游艇再将游客
送至景点B.从景点O到景点A有一个位移，从景点
A到景点B也有一个位移。
位移和距离这两个量有什么不同？
A

(2)一个质量m=60kg的物体放在光滑的水平面上，在
与水平方向成α=60 °角斜向上的拉力F=10N的作用
下向左运动了5m ，求拉力所做的功。
物理中的标量和矢量对应数学中的数量和向量。
问：再举出一些向量和数量
数量：距离、质量、身高、时间、密度、以及体检中的视力、 肺活量等
向量：位移、力、速度、加速度等
设计意图:
我们知道，学习总是与一定知识背景即情境相联系的。在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识。这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。
（二）新课学习
1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2．向量的表示方法：
A(起点)
B（终点）

（1）几何表示法：用有向线段表示向量，长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
（2）用字母等表示；
①用有向线段字母表示：（A为起点、B为终点）；
②用小写字母表示：、、；（印刷用a，书写用）
注：小写字母表示平面向量时，字母上的箭头不能省略。
3．向量的有关概念：
（1）大小：
①向量的模：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作||.
O

y

1

x

②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作.
思考：与0的含义与书写区别.
③单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？
（2）方向：
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作//。
规定：与任一向量平行.
思考：若//，//，则//？
（3）大小与方向：
①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作=。
如：平行四边形ABCD中，=.
向量是否相等只与大小和方向有关，与起点无关.
②相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量，记作-。
规定：-=。的相反向量仍是。
对于任一向量有-（-）=。与-互为相反向量 。
相等向量和相反向量都是平行向量。
概念辨析：向量平行与直线平行
两条直线平行不包括重合的情况，而向量的平行包括两个向量在同一条直线上（同向或反向）的情形
这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。
③共线向量：平行向量就是共线向量。
规定：与任一向量共线.
设计意图:
(1)零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等系列化概念之间的关系是什么？（明确要领。）
(2)这些概念的比较可以让学生加强对“向量”概念的理解，以便更好地“数形结合”。
（3）为了让学生很好的完成这个探究活动，始终引导学生抓住大小与方向两个方面，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完善概念。使学生感受知识自然形成的过程，同时也培养了学生的创新意识。
（三）理解和巩固：
例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：
O
F
E
D
C
B
A
（1）试找出与共线的向量；
（2）确定与相等的向量；
（3）与相等吗？
解：（1）与共线的向量有和；
引申：除外，图中所给7点的连线中，与共线的向量有几个？ 9个
（2）与长度相等且方向相同，故=；
引申：除外，图中所给7点的连线中，与相等的向量有几个？ 3个
（3）虽然//，且||=||，但它们方向相反，故这两个向量并不相等。
引申：除外，图中所给7点的连线中，与互为相反向量的向量有几个？ 4个
例2:回答下列问题：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
设计意图:
知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识，尽快转化为学生的素质。

D
C
B
A
例3 在图中的4×5方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？
解：当向量的起点C是图中所圈的格点时，
可以作出与相等的向量。这样的格点共有8个，除去点
A外，还有7个，所以共有7个向量与相等。与长度
相等的共线向量（除外）共有7×2+1=15（个）
设计意图:
要善于在实际生活中，发现问题，从而提炼出相应的数学问题。发现作为一种意识，可以解释为“探察问题的意识”；发现作为一种能力可以解释为“找到新东西”的能力，这是培养创造力的基本途径。
例4 对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？
（1）把平行于直线L的所有单位向量的起点平移到L上的点P；
（2）把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；
（3）把平行于直线L的一切向量的起点平移到L上的点P。
解:（1）是直线L上与点P的距离为1的两个点；

D
C
B
A
F
E
（2）是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆；
（3）直线L
设计意图:
问题的解决，采用了“数形结合”的数学思想，体现了数学思想方法是解决问题的根本途径。
课堂练习：P59练习1，2，3，4
设计意图:
主要让学生消化本节课所学的概念
（四）小结
1．向量的概念；
2．向量的表示：代数表示、几何表示；
3．研究向量的两个方面：
大小：零向量、单位向量；
方向：共线向量、平行向量；
大小与方向：相等向量、相反向量
4．数学思想方法：数形结合、分类讨论（注意对的讨论）。
设计意图:
主要是让学生从知识的发生、发展去回顾本节课的内容以及注意点，并对本节课所涉及到的思想方法加以总结，达到提高认识，形成体系的目的。
四、课后作业：
书本59页习题2.1第1、3、4题
五、板书设计

多媒体投影

向量的概念和表示
1.向量的概念：
2.向量的表示方法：
3.向量的有关概念：
大小：向量的模，零向量，单位向量
方向：平行向量，共线向量
大小与方向：相等向量，相反向量

画图

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