浅议数学教学中提升学生创新实践能力的有效途径.pdf

浅议数学教学中提升学生创新实践能力的有效途径 上海市金山中学鲁丹摘要:创新能力的培养是 普通高中数学课程标准(年版 年修订)指出的数学课程目标之一,笔者通过三类教学方法和途径,阐述教学过程中如何有效落实学生创新实践能力的培养关键词:数学教学;创新实践能力;途径 普通高中数学课程标准(年版 年修订)指出:通过高中数学课程学习,学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验;提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力学生要树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神,不断提高实践能力,提高创新意识创新是一个民族进步的灵魂,是科学技术的本质创新要从学生时代抓起,要通过学校的教育教学对学生进行潜移默化的影响笔者认为,在数学教学中,教师有意识地进行一题多解、一题多变和多题归一,能有效促进学生创新实践能力的提升一、一题多解促思维一题多解在数学教学中屡见不鲜,据说勾股定理的证明方法不下 种,但这 种证法有很多都是雷同的我们今天谈到的一题多解则强调从不同角度思考问题,强调运用已学的数学模型进行解题,夯实学生的“四基”,提升学生的发散性思维例已知n为正整数,求证:Cn Cn CnnCnnnn解法(利用组合数公式):Cn Cn CnnCnnnn(n)!n(n)(n)!nn!n!n(n)(n)(n)!(n)!(n)!n(CnCnCnCnn)nn解法(利用数列通项求和):设akkCkn,则上式左边可看成是数列ak 的前n项和因为akkCknkn!k!(nk)!n(n)!(k)!(nk)!nCkn,所以Cn Cn CnnCnnn(CnCnCnn)nn解法(利用组合数性质倒序相加求和):由组合数性质CknCnkn联想数列求和中的倒序相加法记SCn Cn CnnCnn,又SnCnn(n)Cnn(n)CnnCnnCn(n)Cn(n)CnCnn两式相加得SnCnnCnnCnnCnnnn所以Snn解法(数学归纳法):要证明的等式是一个与正整数有关的等式,联想到数学归纳法()当n时,左边C,右边,等式成立()假设当nk(k为正整数)时,等式成立,即Ck Ck CkkCkkkk则当nk时,Ck Ck CkkCkk(k)Ckk(CkCk)(CkCk)k(CkkCkk)k(Ck CkkCkk)(Ck CkkCkkk)kk(CkCkCkk)(Ck CkkCkk)kk(kkk)(k)(k)所以,当nk时,等式也成立由()()知,等式对任意正整数n都成立解法(微 分 法):构 造 二 项 式 定 理 如 下,(x)nCnCnxCnxCnnxn(nN),上述等式两边分别对x求导,得n(x)nCn Cnx CnxnCnnxn,再令x,则有等式Cn Cn CnnCnnnn成立“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,以上解法分别从五个不同角度给出等式证明,教师在授课过程中不能只埋头追求多解,更要抬头给予评价,要让学生体会各种解法产生的思维过程,从而影响学生今后思考问题的方式二、一题多变促探究变式教学是数学教学的一种重要形式,是数学教学的魅力所在,也是激发学生学习兴趣、培养学生探究意识、激活学生创新思维的有效手段例在平面直角坐标系x O y中,直线l与抛物线yx相交于A,B两点若直线l过点T(,),求证:O AO B解:设A(x,y),B(x,y),直线l:xm y联立方程组yxxm y,将直线l代入yx,上海中学数学 年第期得ym x,m,即可得yym,yyO AO Bxxyyyyyy对于这道题目,可以进行一般化变式,有如下变式及结论变式在平面直角坐标系x O y中,直线l与抛物线yx相交于A,B两点若直线l过点T(a,),求证:O AO Baa变式在平面直角坐标系x O y中,直线l与抛物线yp x(p)相交于A,B两点若直线l过点T(,),求证:O AO Bpp(p)变式在平面直角坐标系x O y中,直线l与抛物线yp x(p)相交于A,B两点若直线l过点T(a,),求证:O AO Bpapa(p)还可以改变曲线类型,但是改变曲线类型后没有如上直接的结论,在某些限制条件下有如下结论结论在平面直角坐标系x O y中,直线l与椭圆xayb相交于A,B两点若直线l过点T(t,),则当ab且ta(ba)ab时,O AO Ba结论在平面直角坐标系x O y中,直线l与双曲线xayb相交于A,B两点若直线l过点T(t,),则当ab且ta(ab)ba时,O AO Ba还可以把题目的条件与结论互换,判断命题的真伪结论在平面直角坐标系x O y中,直线l与抛物线yx相交于A,B两点若O AO B,则直线l不一定过点T(,)以上从命题一般化、改变曲线类型以及互换条件和结论三个角度进行变式教学,引导学生在今后数学学习中有意识地进行有方向性的变式探究学习,这是大有裨益的当然,变式教学不仅涉及上述三个维度,还可以从命题项数推广和维度推广等角度开展,变式方式多种多样,此处不一一列举正如希尔伯特墓碑上所刻的那句话:“我们必须知道,我们必将知道”教师多问自己一句“我还能做什么”,学生才能学得更深入,才会促进创新的种子在内心生根发芽三、多题归一显本质数学家、哲学家笛卡尔曾经在 方法论 中提到一个设想,就是把任何问题都归结为数学问题,把任何数学问题归结为代数问题,任何代数问题归结为方程求解问题当然,他的设想最后失败了,但给教学带来一种启示:能否在教学过程中引导学生对题型进行适当归纳整理,用尽可能少的方法来解决尽可能多的题目?其实这要求学生在学习过程中透过现象看本质,这样才能用一种方法解一类问题例()关于x的方程x(a)x有实数解,则实数a的取值范围是()方程x(m)xm有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()关于x的方程xkxk只有一个实数解,则实数k的取值范围是()设D是A B C边B C的延长线上的一点,记ADA B()A C若关于x的方程s i nx()s i nx在,)上恰有两解,则实数的取值范围是本例题中的四道小题虽然表述不一,但在思想方法上都可以统一为变量分离、数形结合,把方程解的个数转化为两个函数图像交点的个数,且其中有一个函数是常值函数,而另一个函数类型则为f(x)a xbx(a,b)学生对这两个函数的图像是熟悉的,从而能够解决问题教师在教学过程中要注重题组教学,可以将一些表述看上去不一样但本质一样的题放在一起讲解,甚至还可以加入一些形相似但质相异的题,让学生在学习过程中进行辨析如此,学生会更注重对题目本质的理解,这样在遇到新问题时,才能通过对题目本质的理解把陌生问题化归为熟悉问题历史上不乏有通过化归解决世界难题的例子菲尔兹奖得主安德鲁怀尔斯一生专注于费马大定理的证明,在二十年内没有进展,有一次他听说肯里贝特已经证明了费马大定理与谷山志村猜想之间的联系,于是他放弃直接证明费马大定理,转而去解决谷山志村猜想,并最终 通 过 解 决 谷 山志 村 猜 想 证 明 了 费 马 大定理笔者的上述教学手段印证了华罗庚先生的一句话:“读书先读厚再读薄”一题多解和一题多变都是帮助学生把书读厚,而多题归一则是引导学生把书读薄这一过程有助于培养出可以开展创造性工作的优秀学生参考文献中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准:年版 年修订S北京:人民教育出版社,:上海中学数学 年第期