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高一数学必修 2 知识点 1、圆柱是由矩形旋转得到，圆锥是由直角三角形旋转得到，圆台是由直角梯形旋转得到，球是由半圆旋转得到. 2、中心投影的投影线相交于一点，平行投影的投影线互相平行. 3、圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是圆；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆心；圆台的 正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆；球的三视图都是圆. 4、空间几何体的表面积： （1）直棱柱的侧面展开图是矩形；设棱柱的高为 h ，底面多边形的周长为 c ，则直棱柱的侧面积 S直棱柱侧面积
= ch ；
（2）正棱锥的侧面展开图是全等的等腰三角形；设正棱锥底面正多边形的边长为 a ，底面周长为 c ，斜高为 h ′ ，则正
1 1 nah ' = ch ' ； 2 2 （3）正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形；设正 n 棱台的上底面、下底面边长分别为 a′ 、 a ，对应的周长分别为 c′ 、
n 棱锥的侧面积 S 正棱柱侧面积 =
1 1 c ，斜高为 h′ ，则正 n 棱台的侧面积 S正棱台侧面积 = n ( a′ + a) h′ = ( c′ + c) h′ ； 2 2
（4）圆柱的侧面展开图是矩形；设圆柱的底面半径为 r ，母线长为 l ，则圆柱的底面面积为 π 柱的表面积
r
2
，侧面积为 2π rl ，圆
S
圆柱表面积
= 2π r ( r + l ) ；
r ， 母 线 长 为 l ， 则 圆 锥 的 侧 面 积 为 π rl ， 表 面 积
（5）圆锥的侧面展开图是扇形；设圆锥的底面半径为
S
圆锥表面积
= π r (r + l ) ；
（6）圆台的侧面展开图是扇环；设圆台的两底面半径分别为 r′ 、 r ，母线长为 l ，则圆台的侧面积为 π 积 S圆台表面积 = π (r '
2
( r′ + r ) l ，表面
+ r2 + r ' l + rl) ；
= 4π r 2 .
（7）设球的半径为 R ，则球的表面积 S表面积 5、空间几何体的体积：
（1）设柱体（棱柱、圆柱）的底面积为 S ，高为 h ，则柱体的体积
V
V
柱体
= Sh ；
（2）设锥体（棱锥、圆锥）的底面积为 S ，高为 h ，则锥体的体积
1 = Sh ； 锥体 3
（3）设台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别为 S′ 、 S ，高为 h ，则台体的体积
V
台体
1 = h S + SS′ + S′ 3
(
)；
（4）设圆柱的底面半径为 r ，高为 h ，则圆柱的体积
V
V
圆柱
= π r 2h ；
（5）设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，则圆锥的体积
圆锥
1 = π r 2h ； 3
（6）设圆台的上、下底面半径分别为 r′ 、 r ，高为 h ，则圆台的体积
V
圆台
2 1 = π h r2 + rr′ + r / 3
(
)
；
1
（7）设球的半径为 R ，则球的体积
V
球
4 = π R3 . 3
6、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展. 7、平面的基本性质： 公理 1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 数学符号表示： Α∈l, Β∈l, Α∈α, Β∈α ⇒ l ⊂ α 公理 2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 数学符号表示： Α, Β, C三点不共线⇒ 有且只有一个平面α, 使Α∈α, Β∈α, C ∈α 公理 3、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 数学符号表示： Ρ∈α ∩ β
⇒α ∩ β = l且Ρ∈l
推论 1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面. 推论 2、经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论 3、经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理 4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. 数学符号表示： a // b, b // c ⇒
a // c
8、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 9、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 数学符号表示： a ⊄ α, b ⊂ α, a // b ⇒ a // α 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 数学符号表示： a // α, a ⊂ β ,α ∩ β
= b ⇒ a // b
10、平面与平面平行的判定定理： （1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 数学符号表示： a ⊂ β , b ⊂ β , a ∩ b = Ρ, a // α, b // α ⇒α // β （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. 数学符号表示： a ⊥ α, a ⊥ β
⇒α // β
（3）平行于同一个平面的两个平面平行. 数学符号表示： α // γ , β // γ
⇒α // β
平面与平面平行的性质定理： （1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面. 数学符号表示： α // β , a ⊂ α ⇒ a // β （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 数学符号表示： α // β ,α ∩ γ
= a, β ∩γ = b ⇒ a // b
11、直线与平面垂直的判定定理： （1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
2
数学符号表示： m ⊂ α, n ⊂ α, m ∩ n = Α, l
⊥ m, l ⊥ n ⇒ l ⊥ α
（2）如果两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 数学符号表示： a // b, a ⊥ α ⇒ b ⊥ α （3）如果一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面. 数学符号表示： α // β ,a ⊥ α ⇒ a ⊥ β 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 数学符号表示： a ⊥ α, b ⊥ α ⇒ a // b 12、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 数学符号表示： a ⊥ β , a ⊂ α ⇒ α ⊥ β 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 数学符号表示： α ⊥ β ,α ∩ β 14、求异面直线所成的角（ 0
= b, a ⊂ α, a ⊥ b ⇒ a ⊥ β < θ ≤ 90
）的步骤：
（1）选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线. （2）将这个角放入某一个三角形中. （3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊三角形，便易求此角大小. 15、求直线与平面所成的角（ 0
≤ θ ≤ 90
）的步骤：
（1）在斜线上找适当的点,过该点作平面的垂线,连结垂足和斜足,则斜线与射影的夹角就是直线与平面所成的角. （2）将这个角放入某一个三角形中. （3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊三角形，便易求此角大小. 16、求二面角的平面角（ 0
≤ θ ≤ 180
）的步骤：
（1）在二面角的棱上找适当的点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角. （2）将这个角放入某一个三角形中. （3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊三角形，便易求此角大小.
17、直线的倾斜角和斜率： （1）设直线的倾斜角为 α
( 0 ≤ α <180 ) ，斜率为 k ，则 k = tanα α ≠ π  .   2 
当α
=
π
2
时，斜率不存在.
（2）当 0
≤ α < 90
时， k ≥ 0 ；当 90
< α < 180
=
时， k < 0 .
（3）过 P ( x1 , y1 ) ， P ( x2 , y2 ) 的直线斜率 k 1 2
y2 − y1 ( x2 ≠ x1 ) . x2 − x1
3
18、两直线的位置关系： 两条直线 l1 : （1） l1 ∥ l2 （2） l1
y = k1 x + b1 ， l2 : y = k2 x + b2 斜率都存在，则： ⇔ k1 = k2 且 b1 ≠ b2
⊥ l2 ⇔ k1 ⋅ k2 = −1 （当 l1 的斜率存在 l2 的斜率不存在时 l1 ⊥ l2 ） k1 = k2 且 b1 = b2
（3） l1 与 l2 重合 ⇔
19、直线方程的形式： （1）点斜式： y − y0
= k ( x − x0 ) （定点，斜率存在）
（2）斜截式： y = kx + b （斜率存在，在 y 轴上的截距）
（3）两点式：
y − y1 x − x1 = ( y2 ≠ y1 , x2 ≠ x1 ) （两点） y2 − y1 x2 − x1
（4）截距式：
x y + = 1（在 x 轴上的截距，在 y 轴上的截距） a b
（5）一般式： Αx +Βy + C = 0 20、直线的交点坐标：
(A +B
2
2
≠ 0)  Ax + B1 y + C1 = 0 1 = 0 ，则联立方程组  A2 x + B2 y + C2 = 0 
设 l1 : A x + B y + c1 = 0, l2 : A2 x + B2 y + c2 1 1
（1）当方程组有惟一解时，两条直线相交，此解是交点的坐标； （2）当方程组无解时，两条直线平行； （3）当方程组有无数组解时，两条直线重合. 设 l1 : A x + B y + c1 = 0, l2 : A2 x + B2 y + c2 1 1 （1） l1 与 l2 相交 ⇔
= 0 ，则：
⇔ A1 B1 C1 = ≠ A2 B2 C2
； （3） l1 与 l2 重合 ⇔
A1 B1 ≠ A2 B2
； （2） l1 ∥ l2
A1 B1 C1 = = A2 B2 C2
.
21、两点 P ( x1 , y1 ) ， P2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式 1 原点 Ο
P P2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 1
( 0,0) 与任一点 Ρ ( x, y) 的距离 OP
= x2 + y2
= Ax0 + By0 + C A2 + B 2
22、点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : Αx +Βy + C = 0 的距离 d 0
（1）点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : Αx + C = 0 的距离 d 0
=
Ax0 + C A
4
（2）点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : Βy + C = 0 的距离 d 0
=
By0 + C B C A2 + B 2 C1 − C2 A2 + B 2
（3）点 Ρ
( 0,0) 到直线 l : Αx +Βy + C = 0 的距离 d =
23、两条平行直线 Αx +Βy + C1
= 0 与 Αx +Βy + C2 = 0 间的距离 d =
24、过直线 l1 :
A1 x + B1 y + c1 = 0 与 l2 : A2 x + B2 y + c2 = 0 交点的直线方程为
( A1 x + B1 y + C1 ) + λ ( A2 x + B2 y + c2 ) = 0 ( λ ∈ R )
25、与直线 l : Αx +Βy + C = 0 平行的直线方程为 Αx +Βy + D = 0 与直线 l : Αx +Βy + C = 0 垂直的直线方程为 Βx −Αy + D = 0 26、中心对称与轴对称：
( C ≠ D)
x1 + x2   x0 = 2  （1）中心对称：设点 P ( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ) 关于点 M ( x0 , y0 ) 对称，则   y = y1 + y2  0 2 
（2）轴对称：设 P ( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ) 关于直线 l : Αx +Βy + C = 0 对称，则：
a、 B = 0 时，有
x1 + x2 C = − 且 y1 = y2 ； 2 A y1 + y2 C = − 且 x1 = x2 2 B
b、 A = 0 时，有
 y1 − y2 B x −x = A  1 2 c、 A⋅ B ≠ 0 时，有   A⋅ x1 + x2 + B ⋅ y1 + y2 + C = 0   2 2
27、圆的标准方程： ( x − a ) 圆心 O
2
+ ( y − b)2 = r 2 （圆心 A( a, b) ，半径长为 r ）
( 0,0) ，半径长为 r 的圆的方程 x 2 + y 2 = r 2 。
2
28、点与圆的位置关系： 设圆的标准方程 ( x − a )
+ ( y − b)2 = r 2 ，点 M ( x0 , y0 ) ，则：
− a ) 2 + ( y0 − b ) 2 = r 2 ；
（1）当点 Μ 在圆上时， ( x0
5
（2）当点 Μ 在圆外时， ( x0 （3）当点 Μ 在圆内时， ( x0 27、圆的一般方程： x
2
− a ) 2 + ( y0 − b ) 2 > r 2 ； − a ) 2 + ( y0 − b ) 2 < r 2 .
+ y2 + Dx + Ey + F = 0( D2 + E2 − 4F > 0)
为半径的圆；
（1）当 D
2
1  D E + E 2 − 4 F > 0 时，表示以  − , −  为圆心， D2 + E 2 − 4F 2  2 2
（2）当 D
2
 D E + E 2 − 4 F = 0 时，表示一个点  − , −  ；  2 2
+ E 2 − 4 F < 0 时，不表示任何图形.
（3）当 D
2
28、直线与圆的位置关系： 设 直 线 l : Αx +Βy + C = 0 与 圆 C :
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 d =
Aa + Bb + C A2 + B2
，方程组
 Ax + By + C = 0 ， ∆ 为方程组消去一元后得到的方程的判别式，则：  2 2 2 (x − a) + ( y − b) = r
< r ⇔ ∆ > 0 ⇔ 方程组有两组实数解； （2）相切 ⇔ d = r ⇔ ∆ = 0 ⇔ 方程组有一组实数解； （3）相离 ⇔ d > r ⇔ ∆ < 0 ⇔ 方程组无实数解.
29、圆与圆的位置关系： 设圆 C1 的半径为 r ，圆 C2 的半径为 r2 ，则： 1 （1） ⊙C1 与 ⊙C2 相离 ⇔ （3） ⊙C1 与 ⊙C2 相交 ⇔ （5） ⊙C1 与 ⊙C2 内含 ⇔ 30 、 过 两 圆 （1）相交 ⇔ d
C1C2 > r1 + r2 ；
（2） ⊙C1 与 ⊙C2 相切 ⇔
C1C2 = r1 + r2 ； C1C2 = r1 − r2
；
r1 − r2 < C1C2 < r1 + r2 ； C1C2 < r1 − r2
. 与
（4） ⊙C1 与 ⊙C2 内切 ⇔
x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0
x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0
交 点 的 圆 的 方 程
( x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F )1 + λ ( x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 ) = 0 (λ ≠ −1) .
当λ
= −1 时，即两圆公共弦所在的直线方程.
31、点 Μ
( a, b, c) 关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标： ( a, b, −c) ； （2）关于 xoz 平面的对称点坐标为 ( a, −b, c) ；
( −a, b, c) ； （4）关于 x 轴的对称点坐标为 ( a, −b, −c) ；
（1）关于 xoy 平面的对称点坐标为 （3）关于 yoz 平面的对称点坐标为
6
（5）关于 y 轴的对称点坐标为 （7）关于原点的对称点坐标为
( −a, b, −c) ； ( −a, −b, −c) ；
（6）关于 z 轴的对称点坐标为
( −a, −b, c) ；
32 点 P ( x1 , y1 , z1 ) ， P ( x2 , y2 , z2 ) 间的距离 1 2 点 P (0, 0, 0) ， P ( x, y , z ) 间的距离 1 2
P P2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z2 − z1 ) 2 1
.
，
P P2= x 2 + y 2 + z 2 17