实变函数试题库1及参考答案.doc

(完整word版)实变函数试题库1及参考答案实变函数试题库及参考答案(1） 本科一、填空题 1设为集合，则 （用描述集合间关系的符号填写）2设是的子集，则 (用描述集合间关系的符号填写）3如果中聚点都属于,则称是 4有限个开集的交是 5设、是可测集，则 (用描述集合间关系的符号填写)6设是可数集，则 7设是定义在可测集上的实函数，如果，是 ，则称在上可测8可测函数列的上极限也是 函数9设，则 10设在上可积,则在上 二、选择题1下列集合关系成立的是（ ) 2若是开集，则( ） 3设是上一列非负可测函数,则（ ） 三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案）1设，则（ ） 是不可数集 是闭集 中没有内点 2设是无限集，则（ ） 可以和自身的某个真子集对等 （为自然数集的基数) 3设是上的可测函数，则（ ） 函数在上可测 在的可测子集上可测 是有界的 是简单函数的极限4设是上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） 在上可测 在上可积 在上几乎处处连续 在上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1。 可数个闭集的并是闭集。 （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ )3. 相等的集合是对等的. （ ）4。 称在上几乎处处相等是指使的全体是可测集. （ )五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合,但没有最大的集合。2. 简述点集的边界点,聚点和内点的关系.3。 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题1. 设，其中为中有理数集，求。2。 设为中全体有理数，求.七、证明题1证明集合等式:2设是中的无理数集，则是可测集，且3设是上的可测函数，则是可测集4设是上的可测函数,则对任何常数，有5设是上的可积函数，是的一列可测子集,且，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1。= 2。 3.闭集 4。开集 5。 6.= 7。可测集 8.可测 9。 10。可积二、单选题ABB三、多选题 ACD AB ABD ABC四、判断题 五、定义题1。答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合，的幂集的基数大于的基数.2.答： 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3。答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数;简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.六、解答题1.解：因为，所以于，于是，而在上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，因此.2。解：显然在上可测，另外由定义知，于所以 因此七、证明题1。证明2.证明 设是中的有理数集，则是可数集,从而，因此是可测集，从而可测，又，故是可测集.由于,所以，故3.证明 设为全体有理数所成之集,则因为是上的可测函数，所以，是可测集,，于是由可测集性质知是可测集4。证明 因为在上可测，所以在上非负可测，由非负可测函数积分性质， 而，所以 5。证明 因为，所以，当时，又在上可积,所以由积分的绝对连续性，当时于是当时,因此，即