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高三数学一轮复习第十章统计与概率10-5
第10章 第5节

一、选择题
1．一个口袋中有12个红球，x个白球，每次任取一球(不放回)，若第10次取到红球的概率为，则x等于(　　)
A．8　　　　 B．7　　　　
C．6　　　　 D．5
[答案]　B
[解析]　由概率的意义知，每次取到红球的概率都等于，∴＝，∴x＝7.
2．(2010·银川模拟)将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　由题可知，函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y′＝2mx2－n≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为P＝＝，故选B.
3．(2010·大连一中)分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m>n的点应在梯形OABD内，所以所求事件的概率为P＝＝.
4．(2010·瑞安中学)国庆阅兵中，某兵种A、B、C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A、C通过的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　用(A，B，C)表示A第一，B第二，C第三的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)共6种，其中B先于A、C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)两种，
故所求概率为P＝＝.
5．(文)(2010·陕西宝鸡)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为(　　)
A. B.
C. D．π
[答案]　C
[解析]　由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|<1，根据几何概型可知，动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为＝，故选C.

(理)(2010·广州市)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)
A. B．1－
C. D．1－
[答案]　B
[解析]　到点O的距离小于等于1的点，组成一个以O为球心，1为半径的半球，
∵V正方体＝23＝8，V半球＝×π×13＝.
故所求概率为P＝＝1－.
6．(2010·广东广州六中)在区间[－，]上随机取一个数x，则使cosx的值介于0到之间的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　∵x∈[－，]，∴要使0≤cosx≤，应有－≤x≤－或≤x≤，由几何概型知，所求概率
P＝＝.
7．m∈{－2，－1,0,1,2,3}，n∈{－3，－2，－1,0,1,2}，且方程＋＝1有意义，则方程＋＝1可表示不同的双曲线的概率为(　　)
A. B．1
C. D.
[答案]　D
[解析]　由题设知或，
1°时有不同取法3×3＝9种．
2°时有不同取法2×2＝4种，
∴所求概率P＝＝.
8．(文)(2010·山东肥城联考)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间内[0,2]任取的一个数，则关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤30,0≤b≤2}，由Δ＝4a2－4b2≥0及a>0，b>0知，构成事件“关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为P＝＝.
(理)(2010·胶州三中)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，记函数f(x)满足条件的事件为A，则事件A发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　由得，，画出0≤b≤4,0≤c≤4表示的平面区域和事件A所表示的平面区域，由几何概型易知，所求概率P＝.

9．(2010·广东罗湖区调研)已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　由得D(4,2)，区域Ω为△OAB，区域A为△OCD，所求概率
P＝＝＝.

10．(2009·福建)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907　966　191　925　271　932　812　458　569　683
431　257　393　027　556　488　730　113　537　989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(　　)
A．0.35 B．0.25
C．0.20 D．0.15
[答案]　B
[解析]　该运动员三次投篮恰有两次命中即在每组的三个随机数中，恰有两个数在集合{1,2,3,4}中，题中20组随机数中，满足条件的有5组：191,271,932,812,393，∴概率P＝＝.
二、填空题
11．现有三种股票和两种基金，欲购买其中任意两种，有且只有一种基金的概率为________．
[答案]　
[解析]　记股票为a、b、c，基金为d，e，从中购买两种，所有构买方法为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，其中有且仅有一种基金的购买方法有：(a，d)，(a，e)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，∴所求概率为P＝＝.
12．(文)(2010·湖北黄冈)在闭区间[－1,1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是________．
[答案]　
[解析]　设x，y是[－1,1]上的任意两个实数，则，则点(x，y)构成区域为正方形ABCD，它们的和x＋y≤1为图中阴影部分，则由几何概型知，所求概率P＝.

(理)(2010·辽宁省实验中学等三校)若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．
[答案]　
[解析]　可行域M为△ABO，易求A，B(4,4)，C(2,0)，∴S△ABO＝|OC|×＝，

区域N为扇形OMN，
∵S扇形OMN＝×π×12＝，
∴所求概率P＝＝.
13．(2010·海南五校联考)设0<a<2,0<b<1，则双曲线－＝1的离心率e>的概率是________．
[答案]　
[解析]　由e>得>5，即>5，∴b>2a，在直角坐标系aOb内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为×＝，图中矩形的面积为2，∴由几何概型概率公式计算得所求的概率为.
14．(文)(2010·江苏金陵中学)先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.将a，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．
[答案]　
[分析]　本题有两点要点：一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数；二是构成等腰三角形，须有两个数相等．
[解析]　基本事件的总数为6×6＝36.
∵三角形的一边长为5，
∴当a＝1时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝2时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝3时，b＝3或5符合题意，即有2种情况；
当a＝4时，b＝4或5符合题意，有2种情况；
当a＝5时，b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，即有6种情况；
当a＝6时，b＝5或6符合题意，即有2种情况．
故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为
P＝＝.
(理)(2010·新课标全国文)设函数y＝f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f(x)及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为________．
[答案]　
[解析]　这是随机模拟的方法，是在[0,1]内生成了N个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N1个，所以根据比例关系＝，而矩形的面积为1，所以依据随机模拟方法估计面积S的近似值为.
三、解答题
15．(文)汶川地震发生后，某市根据上级要求，要从本市人民医院报名参加救援的护理专家、外科专家、心理治疗专家8名志愿者中，各抽调1名专家组成一个医疗小组与省专家组一起赴汶川进行医疗救助，其中A1，A2，A3是护理专家，B1，B2，B3是外科专家，C1，C2是心理治疗专家．
(1)求A1恰被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
[解析]　(1)从8名志愿者中选出护理专家、外科专家、心理治疗专家各1名，其一切可能的结果为：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，((A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共18个基本事件．
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6个基本事件．
所以P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1和C1全被选中”这一事件，
由于包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3个基本事件，
所以P()＝＝，
由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－
＝.
(理)班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；
(2)为了选出表演独唱和朗诵节目的同学，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．
[解析]　(1)用(i，j)表示编号为i、j的两人来跳双人舞，则所有可能结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共十种，其中两人全是男生的有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，故由对立事件概率公式知所有概率P＝1－＝.
(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其它卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.
第二次抽取
第一次抽取
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性相等，其中两个节目由同一人演出的有5种，∴所求概率P＝＝.
16．(文)(2010·天津文，18)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从一等品零件中，随机抽取2个．
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2个零件直径相等的概率．
[解析]　(1)由题意可知，一等品零件共有6个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种，
②记事件B为“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”，其所有可能的结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．
∴P(B)＝＝.
(理)(2010·福建文，18)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}．
(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；
(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．
[解析]　(1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．
(2)由am⊥(am－bn)得，am·(am－bn)＝m(m－2)＋1·(1－n)＝m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2
由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)，(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝＝.
17．(2010·厦门市质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①设事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取两个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．
[解析]　(1)由题意可知：＝，解得n＝2.
(2)将标号为2的小球记作a1，a2
①两次不放回抽取小球的所有基本事件为：(0,1)，(0，a1)，(0，a2)，(1,0)，(1，a1)，(1，a2)，(a1,0)，(a1,1)，(a1，a2)，(a2,0)，(a2,1)，(a2，a1)，共12个，
事件A包含的基本事件为：(0，a1)，(0，a2)，(a1,0)，(a2,0)，共4个．
∴P(A)＝＝.
②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4”，
(x，y)可以看成平面中的点，
则全部结果所构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，x，y∈Ω}，
∴P(B)＝＝＝1－.