必修四平面向量的数量积讲义.doc

(完整word版)必修四平面向量的数量积讲义
2。3 平面向量的数量积
一、平面向量数量积
1、定义:已知两个非零向量与,它们的夹角为，则数量｜｜×｜｜×cos叫做与的数量积（或内积)，记作·，即·＝｜|×｜｜×cos。
注意：(1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定；(2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同,“· "不能省略，也不能也成“×”;(3）在运用数量积公式时,一定要注意两个向量夹角的范围：00≤≤1800。(4)规定:零向量与任一向量的数量积为0，即·＝0;（5）当向量与的夹角为900时，叫与互相垂直，记作：⊥，此时：⊥·＝0。
2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于·＝｜｜×||×cos，其中｜|×cos叫做在方向上的投影,当为锐角时，投影为正;当为钝角时，投影为负；当就直角时,投影为0； 当为0度时，投影是｜|; 当为180度时，投影为－｜｜；（2）在方向上的投影与在方向上的投影就不同的；（3））在方向上的投影值可以写成.

例1：已知｜｜＝2，｜｜＝5,当（1）与夹角为300时；（2）当⊥时；（3）当当∥时；分别计算与的数量积。
【解析】：（1）5； （2）0； (3)±10
变式练习1：已知|｜＝3，||＝5，且与的夹角为450，则在方向上的投影是( )
A： B：3 C:4 D:5
【解析】：A
变式练习2：已知｜｜＝6，｜|＝3，且·＝－12，则在方向上的投影是（ ）
A：－4 B：－2 C:4 D：2
【解析】:A
二、平面向量数量积的性质
若与是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角
1、·＝·＝||×｜｜×cos 2、⊥·＝0
3、若与同向，则·＝|｜×｜｜ （ 夹角为0度 ）;若反向，则·＝－|｜×｜｜（ 夹角为180度 )；
特别地，·＝（）2＝｜｜2或||＝
4、若是与的夹角，则cos＝
5、｜·|≤|｜×|｜（当与共线时取等号）
三、平面向量数量积的运算律
1、·＝· 2、（）·＝（·)＝ ·（)
3、（＋)·＝·＋·
4、（＋)·（－）＝(）2－（)2＝｜｜2－｜｜2
5、（＋)2＝｜｜2＋2×·＋|｜2
注意:（1）没有(·）·＝·(·)这个运算定律;（2)·＝·,则不能得到＝； （3）若·＝0，则＝或＝或<，〉＝900。
例2:下列说法正确的个数_______。
（1)两个向量的数量积是一个向量;（2）向量在另一个向量方向上的投影也是向量；(3）若·＞0，则与的夹角为锐角，若·＜0,则与的夹角为钝角；（4) (·)·＝·（·）;(5）若·＝0,则＝或＝。
【解析】：0个

例3：已知与的夹角为1200，且｜｜＝4，|｜＝2，则计算（－2)·(＋)＝________，|＋｜＝________。
【解析】：12 2

例4:已知⊥，｜｜＝4，则·＝_______。
【解析】：16

变式练习1:已知｜｜＝1,·＝，(－)·（＋）＝，求（1）与的夹角；（2）－与＋的夹角的余弦值.
【解析】：450，︱－︱2＝，︱＋︱2＝,cos＝＝.
变式练习2：已知向量、的夹角为600,且｜｜＝2，｜｜＝1,则向量与向量＋2的夹角等于（ ）
A:1500 B：900 C：600 D：300
【解析】:cos＝＝300 可用数形结合法，构成的四边形为菱形
变式练习3：已知向量与向量满足，｜｜＝6，｜｜＝4，且与的夹角为600，求｜＋｜与｜－3｜。
【解析】:｜＋｜＝2，｜－3｜＝6
变式练习4：设四边形ABCD为平行四边形，｜｜＝6，|｜＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( ）
A：20 B：15 C：9 D:6
解析】这个地方四边形ABCD为平行四边形,可赋予此四边形为矩形，进而以A为坐标原点建立坐标系。由进而
,，。
变式练习5:已知向量与向量是两个互相垂直的单位向量，若向量满足(－)·(－)＝0，则｜|的最大值是（ ）
A：1 B:2 C: D：
【解析】：(－)·(－)＝·－·－·－2＝0，则2＝·(＋)，则4≤［·（＋）］2＝2×(2＋2·＋2)＝22 故2≤. C

四、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
设,为x轴、y轴方向的两个单位向量，即＝(1，0）,＝（0，1)，且与为两个非零向量，＝（x1，y1)，＝（x2,y2）
1、·＝1 ·＝1 ·＝0 ·＝x1×x2＋y1×y2
2、若＝（x，y)，则｜｜2＝或｜｜＝。
若A＝(x1，y1），B＝(x2，y2)，则｜｜＝
3、若＝（x1，y1)，＝(x2,y2），则⊥·＝0 x1×x2＋y1×y2＝0
4、若＝(x1，y1），＝(x2，y2)，与的夹角为，则cos＝
例4:向量＝(1，－1)，＝（－1，2），则·（2＋)＝（ ）
A:－1 B：0 C：1 D：2
【解析】：C
变式练习：若向量＝(x，2），＝（2，－1），且⊥，则｜－｜＝（ ）
A： B: C：2 D:10
【解析】：B
例5:若平面向量＝(4，3），2＋＝(3,18)，则与夹角的余弦值等于（ ）
A: B：－ C： D：－
【解析】：C
变式练习1：设x、y∈R，向量＝(x，1），＝（1，y），＝（2,－4），且⊥,∥，则|＋|＝（ ）
A： B： C：2 D:10
【解析】：B
变式练习2：已知＝（,2），＝(－3，5），且与的夹角为锐角,则的取值范围是________。
【解析】：由于a与b的夹角为锐角,∴a·b＞0，且a与b不共线同向．由a·b＞0⇒－3λ＋10＞0，解得λ＜.当向量a与b共线时，得5λ＝－6,得λ＝－，因此λ的取值范围是λ＜且λ≠－.答案：｛λ｜λ＜且λ≠－}

变式练习3：已知A(3,0)，B（0，3)，C（cos，sin），O为坐标原点.(1)若∥，求tan; （2）若∥，求sin2； （3）若|＋｜＝，且∈（0，)，求与的夹角。
【解析】：（1）－1 （2）－ （3）
变式练习4：已知＝(5cosx，cosx）,＝（sinx，2cosx),设函数f（x)＝·＋＋。（1）当x∈［,]时，求函数f（x)的值域
（2）当x∈[，］时，若f（x）＝8，求函数f(x－）的值
(3）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的纵坐标向下平移5个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x）的表达式，并判断其奇偶性。
【解析】:(1）f(x)＝5sin(2x＋)＋5 （2）≤2x＋≤ sin2x＝ cos2x＝－
f(x－)＝5sin2x＋5＝5sin（2x＋－）＝（3）g（x) ＝5sin2x 奇
变式练习5：＝(，－1),＝(,)，且存在实数k和t，使＝＋(t2－3)，＝－k＋t，且⊥,试求的最大值.

课 后 综 合 练 习
1、给出以下四个命题：（1）⊥·＝0；（2）若·＝0，且≠，则＝；（3）若≠，≠，则｜·|＝｜｜×｜|；(4）当与反向时, ·＝－｜｜×｜｜。正确命题的个数是（ )
A:1 B：2 C：3 D:4
【解析】:B （3）应小于
2、已知＝(0，1）,＝(1，1)，且(＋)⊥，则实数的值是（ ）
A:－1 B：0 C:1 D：2
【解析】：A
3、若｜｜＝3，｜｜＝，且、的夹角为,则｜＋｜为（ ）
A: B:2 C：3 D：
【解析】:D
4、设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线，则（1）（·）·－（·)·＝；(2)｜｜－｜|＜|－｜；（3)（·)·－（·）·与不垂直;(4）(3＋2）·(3－2)＝9|｜2－4｜｜2中，是真命题的有（ ）
A：(1）（2） B：（2)（3） C：（3)（4） D：（2）（4）
【解析】：D

5、如图所示，Rt△ABC中，∠A＝900，AB＝1,则·的值是（ )
A：1 B：－1 C：2 D：－2
【解析】:B
6、△ABC中，＝，＝,若·＞0，则△ABC的形状为（ )
A:直角三角形 B:钝角三角形 C：锐角三角形 D：不能判断
【解析】：B
7、已知、满足｜｜＝｜｜＝2，·＝0，若向量与－共线，则｜＋｜的最小值为（ )
A： B：1 C： D:
【解析】：设＝(2，0），＝(0，2)，＝x(－）＝(2x,－2x)，则
｜＋｜＝＝≤ A
8、已知2＝1，2＝2,（－）·＝0,则与的夹角为（ ）
A:300 B:450 C：600 D：900
【解析】：B
9、已知｜|＝｜｜＝1，与的夹角是900，＝2＋3，＝k－4，与垂直，则k的值为（ ）
A：－6 B：6 C:3 D:－3
【解析】：B
10、｜|＝1,｜|＝2，且(＋)·＝0，则、的夹角为__________.
【解析】：1200
11、已知向量和的夹角为1200，且｜|＝2，｜|＝5，（2－）·＝_____.
【解析】：－35
12、已知向量和的夹角为450，且｜｜＝1，｜2－｜＝,则｜｜＝____。
【解析】:3
13、已知向量＝（1，0），＝(1，1)，若向量－3与向量夹角的余弦值为_______。
【解析】：
14、向量,就夹角为600的两个单位向量，若向量＝＋3与＝2，则向量与方向上的身影为____________。
【解析】：
15、已知向量＝(－2，2)，＝（5，k）,（1）若⊥,求k值；（2）若|＋｜不超过5，求k的值.

9