必修四平面向量的数量积讲义.doc

(完整word版)必修四平面向量的数量积讲义2。3 平面向量的数量积一、平面向量数量积1、定义:已知两个非零向量与,它们的夹角为，则数量cos叫做与的数量积（或内积)，记作，即|cos。注意：(1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定；(2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同,“ 不能省略，也不能也成“”;(3）在运用数量积公式时,一定要注意两个向量夹角的范围：001800。(4)规定:零向量与任一向量的数量积为0，即0;（5）当向量与的夹角为900时，叫与互相垂直，记作：，此时：0。2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于|cos，其中|cos叫做在方向上的投影,当为锐角时，投影为正;当为钝角时，投影为负；当就直角时,投影为0； 当为0度时，投影是|; 当为180度时，投影为；（2）在方向上的投影与在方向上的投影就不同的；（3）在方向上的投影值可以写成.例1：已知2，5,当（1）与夹角为300时；（2）当时；（3）当当时；分别计算与的数量积。【解析】：（1）5； （2）0； (3)10变式练习1：已知|3，|5，且与的夹角为450，则在方向上的投影是( )A： B：3 C:4 D:5【解析】：A变式练习2：已知6，|3，且12，则在方向上的投影是（ ）A：4 B：2 C:4 D：2【解析】:A二、平面向量数量积的性质若与是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角1、|cos 2、03、若与同向，则| （ 夹角为0度 ）;若反向，则|（ 夹角为180度 )；特别地，（）22或|4、若是与的夹角，则cos5、|（当与共线时取等号）三、平面向量数量积的运算律1、 2、（）（) （)3、（) 4、（)（）(）2（)2225、（)222|2注意:（1）没有(）()这个运算定律;（2),则不能得到； （3）若0，则或或，900。 例2:下列说法正确的个数_。（1)两个向量的数量积是一个向量;（2）向量在另一个向量方向上的投影也是向量；(3）若0，则与的夹角为锐角，若0,则与的夹角为钝角；（4) ()（）;(5）若0,则或。【解析】：0个例3：已知与的夹角为1200，且4，|2，则计算（2)()_，|_。【解析】：12 2例4:已知，4，则_。【解析】：16变式练习1:已知1,，()（），求（1）与的夹角；（2）与的夹角的余弦值.【解析】：450，2，2,cos.变式练习2：已知向量、的夹角为600,且2，1,则向量与向量2的夹角等于（ ）A:1500 B：900 C：600 D：300【解析】:cos300 可用数形结合法，构成的四边形为菱形 变式练习3：已知向量与向量满足，6，4，且与的夹角为600，求与3。【解析】:2，36变式练习4：设四边形ABCD为平行四边形，6，|4，若点M，N满足3，2，则( ）A：20 B：15 C：9 D:6解析】这个地方四边形ABCD为平行四边形,可赋予此四边形为矩形，进而以A为坐标原点建立坐标系。由进而,，。变式练习5:已知向量与向量是两个互相垂直的单位向量，若向量满足()()0，则|的最大值是（ ）A：1 B:2 C: D：【解析】：()()20，则2()，则4（）22(222)22 故2. C四、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角设,为x轴、y轴方向的两个单位向量，即(1，0）,（0，1)，且与为两个非零向量，（x1，y1)，（x2,y2）1、1 1 0 x1x2y1y22、若（x，y)，则2或。若A(x1，y1），B(x2，y2)，则3、若（x1，y1)，(x2,y2），则0 x1x2y1y204、若(x1，y1），(x2，y2)，与的夹角为，则cos例4:向量(1，1)，（1，2），则（2)（ ）A:1 B：0 C：1 D：2【解析】：C变式练习：若向量(x，2），（2，1），且，则（ ）A： B: C：2 D:10【解析】：B例5:若平面向量(4，3），2(3,18)，则与夹角的余弦值等于（ ）A: B： C： D：【解析】：C变式练习1：设x、yR，向量(x，1），（1，y），（2,4），且,，则|（ ）A： B： C：2 D:10【解析】：B变式练习2：已知（,2），(3，5），且与的夹角为锐角,则的取值范围是_。【解析】：由于a与b的夹角为锐角,ab0，且a与b不共线同向由ab03100，解得.当向量a与b共线时，得56,得，因此的取值范围是且.答案：且变式练习3：已知A(3,0)，B（0，3)，C（cos，sin），O为坐标原点.(1)若，求tan; （2）若，求sin2； （3）若|，且（0，)，求与的夹角。【解析】：（1）1 （2） （3）变式练习4：已知(5cosx，cosx）,（sinx，2cosx),设函数f（x)。（1）当x,时，求函数f（x)的值域（2）当x，时，若f（x）8，求函数f(x）的值(3）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的纵坐标向下平移5个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求函数yg(x）的表达式，并判断其奇偶性。【解析】:(1）f(x)5sin(2x)5 （2）2x sin2x cos2xf(x)5sin2x55sin（2x）（3）g（x) 5sin2x 奇变式练习5：(，1),(,)，且存在实数k和t，使(t23)，kt，且,试求的最大值.课 后 综 合 练 习1、给出以下四个命题：（1）0；（2）若0，且，则；（3）若，则|；(4）当与反向时, 。正确命题的个数是（ )A:1 B：2 C：3 D:4【解析】:B （3）应小于2、已知(0，1）,(1，1)，且()，则实数的值是（ ）A:1 B：0 C:1 D：2【解析】：A3、若3，且、的夹角为,则为（ ）A: B:2 C：3 D：【解析】:D4、设、是任意的非零平面向量,且相互不共线，则（1）（）（)；(2)|；（3)（)（）与不垂直;(4）(32）(32)9|242中，是真命题的有（ ）A：(1）（2） B：（2)（3） C：（3)（4） D：（2）（4）【解析】：D5、如图所示，RtABC中，A900，AB1,则的值是（ )A：1 B：1 C：2 D：2【解析】:B6、ABC中，,若0，则ABC的形状为（ )A:直角三角形 B:钝角三角形 C：锐角三角形 D：不能判断【解析】：B7、已知、满足2，0，若向量与共线，则的最小值为（ )A： B：1 C： D:【解析】：设(2，0），(0，2)，x(）(2x,2x)，则 A8、已知21，22,（）0,则与的夹角为（ ）A:300 B:450 C：600 D：900【解析】：B9、已知|1，与的夹角是900，23，k4，与垂直，则k的值为（ ）A：6 B：6 C:3 D:3【解析】：B10、|1,|2，且()0，则、的夹角为_.【解析】：120011、已知向量和的夹角为1200，且|2，|5，（2）_.【解析】：3512、已知向量和的夹角为450，且1，2,则_。【解析】:313、已知向量（1，0），(1，1)，若向量3与向量夹角的余弦值为_。【解析】：14、向量,就夹角为600的两个单位向量，若向量3与2，则向量与方向上的身影为_。【解析】：15、已知向量(2，2)，（5，k）,（1）若,求k值；（2）若|不超过5，求k的值.9