必修四4.平面向量的数量积(教案).doc

2、4 平面向量得数量积教案第课时教学目标 一、知识与技能1掌握平面向量得数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积得重要性质及运算律;.了解用平面向量得数量积可以处理有关长度、角度与垂直得问题;二、过程与方法本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.三、情感、态度与价值观通过问题得解决,培养学生观察问题、分析问题与解决问题得实际操作能力；培养学生得交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路与探索问题得能力.教学重点、难点教学重点:平面向量数量积得定义教学难点：平面向量数量积得定义及运算律得理解与平面向量数量积得应用、教学关键:平面向量数量积得定义得理解.教学方法本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识. 学习方法通过类比物理中功得定义,来推导数量积得运算教学准备教师准备: 多媒体、尺规、学生准备： 练习本、尺规、教学过程一、创设情境,导入新课在物理课中,我们学过功得概念,即如果一个物体在力得作用下产生位移s,那么力F所做得功W可由下式计算: W= F | | cos, 其中就是与s得夹角.我们知道力与位移都就是向量,而功就是一个标量（数量). 故从力所做得功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积得概念.二、主题探究,合作交流提出问题ab得运算结果就是向量还就是数量?它得名称就是什么?由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应得运算律,数量积就是一种向量得乘法运算,它就是否满足实数得乘法运算律? 师生活动：已知两个非零向量与b，我们把数量|bcs叫做a与得数量积（或内积)，记作ab，即ab=|a|b|co（0).其中就是a与b得夹角,|a|os(|b|cs)叫做向量a在b方向上（b在a方向上)得投影.在教师与学生一起探究得活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量得数量积就是个数量,而不就是向量，它得值为两向量得模与两向量夹角得余弦得乘积;(2）零向量与任一向量得数量积为0,即a0；（3)符号“”在向量运算中不就是乘号，既不能省略,也不能用“”代替；(）当00,从而0;当时,co0,从而ab0,则ABC就是锐角三角形;在A中,若0,则AC为钝角三角形；ABC为直角三角形得充要条件就是=;ABC为斜三角形得充要条件就是0.其中为真命题得就是（ )A . . D.3.设|a=8,为单位向量,a与e得夹角为60,则a在e方向上得投影为（ )A.4 B. C. D.8+4.设a、b、c就是任意得非零平面向量，且它们相互不共线,有下列四个命题:（ab)c(ca)b=0; |a| D.m3若=(cos,si）,b=(cos，sin）,则( )A.ab B.b C.(a+)(a-) D.(a+b)(b)4.与（u,v)垂直得单位向量就是( )A.（) B.()C(） D.（）或()5.已知向量a(co2,cs67),b=(cs8,os22),u=a+tb(R),求u得模得最小值6.已知a,b都就是非零向量,且+3b与7-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b得夹角.7.已知AC得三个顶点为A(1,1）,(3，1),C（，5)，求ABC得面积.参考答案:1.C 2D 4.D5.|a|=，同理有|1.又b=cos23cos6+cs67os22=co23ossn3in68=cos45=，|u2=(a+tb）2=2+2tab+t2bt2+t+1(t)2+.当t=时,|u|mn=.6.由已知(a3b)（7-b)（+b）(7a5b）=07a2+16b-52=.又（-4b)(a-)(a-4)（7a-2b）=a2-30ab+8b2=0. -得46ab=232,即a将代入,可得7|a+8|b|-15|=0,即|a|2=|2，有a|=|,若记a与得夹角为,则cs.又0,80，0,即a与b得夹角为0.7分析:ABC=|sBA,而|,|易求，要求sinB可先求出sAC.解：=（2,0),=(,4),|2,|5，osBAC=.siBAC=.SABC|nC=24.教案 B第一课时教学目标一、知识与技能1、了解平面向量数量积得物理背景,理解数量积得含义及其物理意义;2、 体会平面向量得数量积与向量投影得关系,理解掌握数量积得性质与运算律,并能运用性质与运算律进行相关得判断与运算.二、过程与方法体会类比得数学思想与方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证得能力三、情感、态度与价值观通过自主学习、主动参与、积极探究,学生能感受数学问题探究得乐趣与成功得喜悦，增加学习数学得自信心与积极性,并养成良好得思维习惯教学重点平面向量数量积得定义,用平面向量得数量积表示向量得模、夹角.教学难点平面向量数量积得定义及运算律得理解，平面向量数量积得应用教 具多媒体、实物投影仪内容分析本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.主要知识点：平面向量数量积得定义及几何意义；平面向量数量积得3个重要性质;平面向量数量积得运算律.教学流程概念引入概念获得简单运用运算律探究理解掌握反思提高教学设想:一、情境设置:问题：回忆一下物理中“功”得计算,功得大小与哪些量有关?结合向量得学习您有什么想法？力做得功:= |cosq,q就是与得夹角.(引导学生认识功这个物理量所涉及得物理量,从“向量相乘”得角度进行分析)二、新课讲解.平面向量数量积（内积)得定义：已知两个非零向量与,它们得夹角就是，则数量|a|bosq叫a与得数量积,记作a,即有ab= |b|sq,().并规定:与任何向量得数量积为0.问题2:定义中涉及哪些量？它们有怎样得关系?运算结果还就是向量吗?（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模得大小,又涉及向量得交角,运算结果就是数量)注意:两个向量得数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量得数量积就是一个实数，不就是向量,符号由cosq得符号所决定（2)两个向量得数量积称为内积,写成ab；今后要学到两个向量得外积ab,而a就是两个向量得数量得积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不就是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.()在实数中,若a0,且b=,则b=0;但就是在数量积中,若a0,且ab=,不能推出b=0.因为其中csq有可能为0.（4）已知实数a、b、c（b0）,则ab=bc a=c.但就是在向量得数量积中,ab = bc 推导不出 = c 、如下图:b = |a|b|cosb = |OA|，bc = |b|c|cosa = |b|A|= bc,但 、 (5)在实数中,有(ab)c = a(bc),但就是在向量中,(b)c a(c) 显然，这就是因为左端就是与c共线得向量,而右端就是与a共线得向量,而一般a与不共线( “投影”得概念):作图定义:|b|osq叫做向量b在a方向上得投影投影也就是一个数量,不就是向量;当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值;当q为直角时投影为0;当q 时投影为|b|;当q =18时投影为 -|b.向量得数量积得几何意义:数量积ab等于a得长度与在a方向上投影|b|cosq得乘积例1 已知平面上三点、B、C满足|=2,|=1,|=,求+.得值、 解:由已知,|2+|=|,所以AB就是直角三角形、而且ACB=0,从而sinABC=,sinBAC=、ABC=60，BAC=3、与得夹角为120，与得夹角为90,与得夹角为15、故+=21os121os90+co0=4、 点评：确定两个向量得夹角，应先平移向量,使它们得起点相同,再考察其角得大小,而不就是简单地瞧成两条线段得夹角，如例题中与得夹角就是10,而不就是6、探究1：非零向量得数量积就是一个数量,那么它何时为正,何时为,何时为负？当0 时ab为正;当 =时ab为零;0 180时b为负、探究2:两个向量得夹角决定了它们数量积得符号,那么它们共线或垂直时,数量积有什么特殊性呢？4两个向量得数量积得性质：设、b为两个非零向量.(1）ab ab .()当a与b同向时,ab = |a|b|;当a与反向时, = -|a|b|.特别得=a|或.(3) |b| |b|.公式变形：osq =探究3：对一种运算自然会涉及运算律,回忆过去研究过得运算律,向量得数量积应有怎样得运算律？(引导学生类比得出运算律,老师作补充说明)向量a、b、 与实数,有 (1) ab= b a (2)(a) b= (a b )a(b) (3)(a +b) c = c+b c(进一步)您能证明向量数量积得运算律吗？(引导学生证明(1)、(2)例2 判断正误：a00；0a=;-=;|ab=|a|；若a0，则对任一非零有ab0;ab=0,则a与中至少有一个为0;对任意向量，都有（ab）=a(）;a与b就是两个单位向量,则2b2.上述8个命题中只有正确;例3 已知,|b|6，当a，a,a与b得夹角就是6时,分别求ab解:当a时,若与同向,则它们得夹角0,a=|ab|os36=18;若a与b反向,则它们得夹角18，ababcs106(-1)=1;当时,它们得夹角90,ab;当a与得夹角就是0时,有|abo603=9.评述:两个向量得数量积与它们得夹角有关，其范围就是0,18,因此,当时，有0或18两种可能.评述：这一类型题,要求学生确实把握好数量积得定义、性质、运算律.三、课堂练习1.已知=1,b,且(-b)与垂直，则a与b得夹角就是（ )60 B.30 .1 D.4.已知a|=，b|=1,a与b之间得夹角为，那么向量m=a4b得模为( )A.2 B2 C. D13.已知a、b就是非零向量,若|=|b|则（a+)与(a-b) 、4已知向量a、b得夹角为,|a|2，|b=1,则|a+b|a-b| .已知a+b=2i8,a-8i+16j，其中、j就是直角坐标系中轴、y轴正方向上得单位向量,那么b 已知a|=1,|b|=,(1）若a,求a;(2)若a、b得夹角为45,求|ab|;()若ab与a垂直,求与得夹角.参考答案：. 2 垂直4. 5.-3 、 解：（1)若a、方向相同,则b=；若a、b方向相反，则ab=;(2)|a+b|=.（3)5.四、知识小结(1)通过本节课得学习，您学到了哪些知识?（2)关于向量得数量积,您还有什么问题?五、课后作业教材第18页习题24组 1、2、3、6、7教学后记数学课堂教学应当就是数学知识得形成过程与方法得教学,数学活动就是以学生为主体得活动,没有学生积极参与得课堂教学就是失败得.本节课教学设计按照“问题讨论解决”得模式进行,并以学生为主体,教师以课堂教学得引导者、评价者、组织者与参与者同学生一起探索平面向量数量积定义、性质与运算律得形成与发展过程.始终做到以“学生为主体、教师为主导、思维为主攻、训练为主线”.第2课时教学目标 一、知识与技能掌握平面向量得数量积坐标运算及应用.二、过程与方法1、通过平面向量数量积得坐标运算,体会向量得代数性与几何性、2、从具体应用体会向量数量积得作用三、情感、态度与价值观学会对待不同问题用不同得方法分析得态度、教学重点、难点教学重点:平面向量数量积得坐标表示、教学难点:平面向量数量积得坐标表示得综合运用、教 具多媒体、实物投影仪、教学设想一、复习引入向量得坐标表示，为我们解决有关向量得加、减、数乘运算带来了极大得方便.上一节,我们学习了平面向量得数量积,那么向量得坐标表示,对平面向量得数量积得表示方式又会带来哪些变化呢?由此直接进入主题.二、探究新知: 平面两向量数量积得坐标表示已知两个非零向量,试用与得坐标表示.设就是轴上得单位向量,就是轴上得单位向量，那么，.所以.又,，,所以这就就是说:两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与.即2.平面内两点间得距离公式(）设,则或.如果表示向量得有向线段得起点与终点得坐标分别为、,那么(平面内两点间得距离公式）.(）向量垂直得判定设，,则.(3)两非零向量夹角得余弦() osq=.三、例题讲解例1 已知a (， -1),b = (1, ),求满足xa = 9与xb = -4得向量x.解:设x = (t,）, 由 、 = (，-)、例2 已知a=(1,),b(+,-)，则a与b得夹角就是多少? 分析:为求a与b夹角,需先求a及a|b,再结合夹角得范围确定其值.解:由=(1,),(1，1)、有ab1()=，a2,b|记a与b得夹角为,则os、又0,=、评述:已知三角形函数值求角时,应注重角得范围得确定.例3 如图,以原点与(, ）为顶点作等腰直角OAB,使 90,求点B与向量得坐标.解：设B点坐标(x, y),则= （x, y), (x-, y-2)、 (x-5)+ （-2) = 0即:x2 + y2 -x - 2y = 0、又| = | x2 += (x-5)2 + (-2）2即:0x +y= 29、由、B点坐标或；=或 、例4在AB中,（, 3),=（1， k),且ABC得一个内角为直角，求k值.解:当A = 0时， 0，2 +k = 0,k =.当B = 9时, 0,=- (-2, k-3）= (-1, k-3）,2（-1) +3(k-) =0 .当=9时,= 0,-1+ (-3) =0，k =.四、小结1.本节课得内容:有关公式、结论(由学生归纳、总结)、2.本节课得思想方法:数形结合思想、分类讨论思想、方程(组)思想等、五、课外作业教材第107页练习.