2022年必修四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.pdf

平面对量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.懂得两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算2能依据向量的坐标运算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能依据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.三知jg梳理 自主学习学问点一平面对量数量积的坐标表示如 a=(xi,y“，b=(X2,y2，就 a t oxiX2+yiy2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.摸索 已知两个非零向量a=(xi,yi),b=(X2,/)，怎样用 标表示at o?上述结论是怎样推导的？a与b的坐答案 推导：a=x1i+yij,b=X2i+y2j,，a b=(xij+yij)x 力+y2j=xix2i2+xiy2i j+x2yi j t+yiy2j2.又1,j j=1,i j=j t=0,.,.a b=X1X2+yiy2.学问点二平面对量的模2 2(1)向量模公式：设 1 1 ia=(x,v)，就|a|=xi+yi.(2)两点间距离公式：如A(xi,yi),B(X2,y2),9 I 9就iab|=x；xi+ya-y1-摸索 设AX1,y/,BX2,y2)为平面内任意两点，试推导平面内两点间的距离公式.答案推导：,/一=一 一 一 AB-OB 0A=X2,y2)(xi,yi)=(X2 xi,y2 yi),lABl=/.刈-xi 2+y2-yi2.学问点三v平面对量夹角的坐标表示 设a,b都是非零向量，a=(xi,yi),b=(X2,y2),9是a与b的夹角，依据向量数量积的 定 义及坐标表示可得:d A Y1 Y2-l-V1V2cos e=Wl=上独”产=5.Vxi+yi N X2+y2特殊地，如a_Lb,就有xiX2+yiy2=0；反之，如 Xix2+yiy2=0,就 a b.摸索 已知向量 a=(2,1),b=1,x),a J_ b 就 x=.(2)如 a=(3,0),b=(5,5),就 a 与 b 的夹角为_.(3)已知 A(1,2),B(2,3，C(-2,5),就a ABC 的外形是 三角形.答案 2(24笠题型探黄 重点突破题型一平面对量数量积的坐标运算例1 已知a与b同向，b=1,2),a fe10.1)求a的坐标；(2)如c=2,-1),求 a(b)及(a)b解(1)设2=世=(入，2A)入0),就有a 扫入+4入=10,*.A 2,a (2,4).(2)V b-=1 X2-2X 1=0,a 至1 X 2+2X 4=10,/.a(b,)o=0a=0,(a)b-10(2,-1)=(20,-10).跟踪训练 1 已知 a=一3,-2),b=(-4,k),如(5a-b)-b 13a)=-55,试 求 b 的坐标.解 Va=(-3,-2),b=(一4,k),.5a-b=(-11,-10-k).b-3a=(5,k+6),.(5a-b)-b P3a)=(-11,-10 k+6)k 5=-55-(k+10)(k+6)=-55,(k+10)(k+6)=0,；.k=-10 或 k=-6,/.b=(4,10)或 b=(4,6).题型二平面对量的夹角问题例2已知a=11,2),b=1,入)，分别确定实数 人的取值范畴，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角.解设a与b的夹角为0,_就 a 拈(1,2),(1入)=1+2A.(1)由于a与b的夹角为直角，所以cos6=0,一 1所以a t oO,所以1+2入=0,所以A=2(2)由于a与b的夹角为钝角，所以cos60且cos 6W 1,所以a 且a与b不反向.1由a 都得1+2入0,故人0,且cos 9 1,所以a 4且a,b不同向.1由a G,得人一，由a与b同向得入=2.21所以人的取值范畴为 一5，2 U(2,+8).跟踪训练2 已知a=1,-1),b=(入，1),如a与b的夹角a为钝角，求 人的取值范畴.解 Va=(1,-1),b=(A,1),.*.|a|=J，lb尸Va,b的夹角a为钝角.人一10,A1,即/入，*+2 入+iwo.人0,由 a b=|a|b|cos 6 知，只需 a 汕，即 1X2+30,即2错因分析 此题误以为两非零向量 a与b的夹角为锐角等价于 a抄，事实上，两向量的夹角ee 0,TT 口当9=0时，有cos e=10,对于非零向量 a与b有a 油.两非零向量a与b 的夹角为锐角的等价条件是 a 4G且a不平行于b.正解 由6为锐角，得cos 90且9W0,由ab=|a|ls|dose,而|a|、|b|恒大于0,所以a 2，2即 1X2+340,即人一；如 a/b,就 1 XA-2X 3=0,即入=6,但如 a/b,就 9=0 或 9 3=tt,这与e为锐角相冲突，所以 入W6.2综上，人3且入W6.：当堂检测 自查自纠1.已知a=3,1),b=(1,-2),就a与b的夹角为()tt it tt nA.762.已知向量B4a=(1,n)b=(1,n),D,2如2ab与b垂直，就|a|等于)A.1-B.2C.2 D.43.已知向量m=(A+1,1)n=(A+2,2),如(m+n)_L(mn),就人等于()A.-4B.-3C.-2 D.-14.已知平面对量 a=(2,4)b=(1,2),如 c=a(a b)b,就|c|=_.5.已知I a=(4,3),b=-1,2).1)求a与b的夹角的余弦；(2)如(a-Ab)(2a+b),求实数人的值.二课时精练-、挑选题1.已知向量 a=(5,6),b=(6,5),就 2与 b()A.垂直 B.不垂直也不平行C.平行且同向 D.平行且反向2.已知a=(-3,2),b=-1,0),向量入a+b与a 2b垂直，就实数 4-4 4 4A.-B.C.-D.7 7 6 63.平面对量a与b的夹角为60,a=(2,0),|b|=1,就|a+2bl等于1)A.g B.23 C.4 D.12人的值为4.已知=(-2,1),=(0,2),且，_L，就点C的坐标是OA OB AC OB BC ABA.(2,6)B.-2,-6)C.2,6)D.-2,6)5.已知向量 a=(2,1),ab=10,|a+b|2 2r5 jlallbl(2)Va-Ab=也+入，3-2A),2a+b=7,8),又(aAb)1(2a+b),(a-Abj 斟 b)=7(4+入)+8(32入)=0,.入=529课时精练答案一、挑选题1.答案 A解析 a 至5X 6+6X 5=0,Aa b.2.答案 A解析 由 a=(3,2),b=(1,0),知 Aa+b=(3A1,2A),a2b=一 1,2).又(Aa+b)-a 92b)=0,1.3入+1+4入=0,=3.答案 B解析 a=(2,0),|b|=1,|a|=2,a b=2X 1 X cos 60 1.|a+2b|=,o2Ma b+db2=2j.4.答案 D解析设 C(x,y),AC=(x+2,y 1),就=(x,y2),=(2,1).BC AB由AC OB,BCAB,得-2x+2=0,x=-2,解得2x+y-2=0,y=6.点C的坐标为(-2,6).5.答案 C解析.忸+=好，/.|a+bF=a2+2a b+b2=5+2X 10+b2=毕)2,.|b|=5.6.答案 D解析 设 c=(x,y),就 c+a=(x+1,y+2),又(c+a)/b,2y+2)+3x+1)=0.又 c_L(a+b),/.(x,y)3 1=3xy=0._ 7 7解得得x=_，y=-9 3,二、填空题7.答案 1解析 a 2b=(a2b)b=1 X 1+3X0=1.8.答案(-4,8)解析 由题意可设b=Aa=（入，-2人），A0,就|b=*+4入2=5入2=80,.,Qu%b=4a=(4,8).9.答案解析设a、b的夹角为0,就 ccsg 2X 4+3X7=-4 2+72 5故a在b方向上的投影为|a|cos0=43X/65、a b或直接依据 运算a在b方向上的投影.同10.答案 X-且xW55 2a b 解析,:6为钝角，cos 0三同树0,即 a t)=8+5x0,x*.55.a b 时有一 4x10=0,即 x=一，2,5 5、1当 x=-o时，a=(2,)=-,2-2?a与b反向，即0=tt.故a与b的夹角为钝角时,8且xW x0，一 20 5|AC|BD|解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45