2022年必修四平面向量共线的坐标表示.pdf

平面对量共线的坐标表示学习目标1.懂得用坐标表示的平面对量共线的条件.2.能依据平面对量的坐标，判定向量是否共线3把握三点共线的判定方法.知识梳理 自主学习学问点-平面对量共线的坐标表示1.设a=（xi,yi，b=（X2,y2）,其中bWO,a、b共线，当且仅当存在实数 入，使a=Ab.2.假如用坐标表示可写为（xi,y“=A（X2,y2）,当且仅当 xiy2X2yi=0时，向量 a、b（b关0）共线.摸索 1 向量 a=（xi,yi）,b=（X2,y2）,如 xiyi x2y2=0或 x1X2yiy2=0 能判定 a b吗？答不能.摸索2假如两个非零向量共线，你能通过其坐标判定它们是同向仍是反向吗？答 能.将b写成入a形式，A0时b与a同向，入0时，b与a反向.学问点二 共线向量与线段分点坐标.充在平面直角坐标系中，我们可以利用共线向量坐标之间的关系，求解坐标.如PiP图所示，设P点是直线P1P2上的一点，且摸索2设Pi(X1,yi),P2(X2,y2),试用人及Pi,P2点的坐标表示P(x,y)点的坐标.答案：f=f f f fOP OPi+pf=OPi+入 PB=OPi+入(OP2-OP)=OPi+A OP-A OPOP1+A OE,1 AA0P=1+A=1+俨 yi)+入(X2,y2)十11 1,A A=_xi,_yi+_X2,_y21+入 1+A 1+A 1+A_ Xi+A 2 yi+A 2/I1+A，+A,._ X1+A 2 yi+入豺 I-，-1+A+A,整型探究 重点突破题型-平面对量共线的判定例1已知a=(1,2),b=-3,2),当k为何值时，ka+b与a3b平行？平行时它们是同向仍是反向？解 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=10,-4),.ka+b 与 a3b 平行，_1k3X(-4)-10(2k+2)=0,解得 k=-_ 31 2 1此时 ka+b=-33,3+2=(a 3b),.当1=一加，ka+b与a3b平行，并且反向.3跟号训纷列走 已知A 2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,f与f是否共线？假如共线,AB CD它们的方向相同仍是相反？解 AB=0,4)-2,1)=(-2,3),CD=-3)-(1,3)=(4,-6).方法一,/(一2)X(-6)3X4=0,且(-2)X40),即x,y)=入(2,3),|AB|=WT3,求点B的坐标.x=2人,y=3人,X|AB|=213,Ax2+y2=52.4A2+9A2=52,A=2(A0).即AB=4,6).点 B 的坐标为(5,4).题型三平面对量共线的综合运用 例3如下列图，已知点A 4,0),B 4,4),C(2,6),求AC和OB交点解 方法一 设OP=tOB=t4,4)=(4t,4t),机AP=OPOA=(4t,4t)-(4,0)=(4t4,4t),AC=(2,6)-(4,0)=(-2,6).山AP,AC共线的条件知(4t-4)X 6-4tX(-2)=0,3解得t=4.，OP=(4t,4t=(3,3),，P点坐标为(3,3.赢法二设 PX,y，=(x,y)，OP OB4,4),OP,OB共线，4x4y=0,又CP=(x2,y6),CA=2,6),且向量 CP、CA共线,-6(x2)+2(6y)0,解组成的方程组，得 x=3,y=3,.点P的坐标为(3,3).跟踪训练3 如下列图，在四边形 1,0),求直线ABCD 中，已知 A 2,6)、B(6,4)、C(5,0)、DAC与BD交点P的坐标.解设 Px,y),DP=(x1,y),就=(5,4),=(3,6),=4,0).DB CA DC由B,P,D三点共线可得 f f=(5入，4A).DP=A DB又 0,卜是 AC=(1,1),BE=(x 1,y.AC/BE,/.1 X y(x 1)X 1=0.y=x-1.VAC=OC=CE已知)，.,.CE2=OC 2.(x-1)2+(y 1)2=2.x-3+/2 由y0,联立0X2)解得y=3 2即E呼竽.AE=OE=yj 2+豌 f u,o)r=(i-t,D,fFC CE2=+1.1+=P T+,2 2；F、C、E 三点共线,二 FC/CE.1+V521+3X 1=0,解得 t=-1-3.,.AF=OF=，AF=AE.当堂检测自查自纠1.已知 a=一1,2),b=)A.1D.-4是A.ai=(2,3),bi=4,6)B.a2=1,-2)b2=(7,14)C.a32,3),b3=3,2)D.a4=(-3,2),b4=(6,(2,y),如a/b,就y的值是B.-1 C.42.以下各组的两个向量共线的()4)3已知向量OA=，一=，-=(10，k)，假如A、B、C三点共线，就实数k=.(k,12)g)OC4.已知四边形 ABCD的四个顶点 A,B,C,D的坐标依次是(3,-1),(1,2),(-1,1，(3,-5).求证：四边形ABCD是梯形.5.已知点A-1,-3),B(1,1),直线AB与直线x+y5=0交于点C,求点C的坐标.课时精练一、挑选题1.向量 a=(1,2),|b|=4|a|,ab,就A.14,8)B.8,4)C.1 4,8)D.-4,8)b可能是12.已知三点 A(-1,1),B 0,2),C(2,-0)坐标是)和姐ABCD是相反向量，就 D点A.1,0)B.-1,0)C.1,一 13.已知平面对量a=(x,1),b=(x,a+b(x2),就向量D.1,1)AST7夕二T.、，力小B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于V轴D.平行于其次、四象限的角平分线4.如 a=2cos a,1),b=(sin a,1),且 a b,就tan a等于()A.2B.12C.-2D.J25.已知向量a=(1,2),b=)0,1),设u=a+kb,v=2a b,如uv,就实数k的值为1A.-16.就已知A、CB、B.-2C三点在条直线上,1C-2且 AD.13,-6),B(5,2),如C点的横坐标为6,点的纵坐标为1)A.-13 B.9C.-9 D.13:、填空题7.已知向量 a(2x+1,4),b=(2x,3),如 a/b,就实数x的值等于8.如三点P(1,1),A 12,4),B(x,-9)共线，就x的值为9.设向量a=1,2),b=2,3).如向量 入a+b与向量c=一4,一7共线，就 入=.10.已知点 A,B的坐标分别为(2,-2),(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且，就kp AB的值为.三、解答题 _11.已知两点 A3,4),B(-9,2)在直线AB,求-点 f P便=|AP|3|AB|.12.已知 ABC的三个顶点坐标依次为 A(xi,yi),B(X2,y2),C(X3,y3).试确定ABC的重心G的坐标.13.如下列图，已知 AOB 中，A(0,5),O 0,0),B 1oc 4oa相交于点M,求点M的坐标.当堂检测答案1.答案 D解析 V b,-1)Xy2X2=0,A y=-4.2.答案 D解析：-3=2,a/b,应选 D.b 4 43.答案 一2或11密析 f=(k,12),f=4,5),-=(10,k),OA OB OCAB-(4-k,-7),BC=(6,k-5),:A、B、C三点共线，4 一k)1 k5)(7X 6=0,解得 k=2 或 k=11.4.证明 V A(3,-1),B1,2),C(-1,1),D(3,-5).-，AB=(-2,3),CD=4,-6).一 f-1 CD=-2AB,A|AB|=2|CD|,AAB CD,且 ABr CD,四边形ABCD是梯形.5.解 设点C(x,y).:A、B、C三点共线，；,AC=A AB=A(2,4)=(2入，4A).，(x+1,y+3)=(2入，4人)，x=2A 1.,C(2A-1,4A-3).y=4 入-3把点C(2人一 1,4人一3代入x+y5=0得-3(2A-1)+(4A-3)-5=0,解得入=.A C 2,3).2课时精练答案一、挑选题1.答案 D2.答案 C3.答案 C解析 V a+b=0,1+x2),平行于 y 轴.4.答案 A解析：a b,2cos aX 1=sin a./.tan a=2.应选 A.5.答案 B解析 V u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k),v=(2,4)-(0,1)=(2,3),1又 u v,1 X 3=2(2+k),得 k=一应选 B.26.答案 C觥析设 C 点坐标(6,y),f=(8,8)，=3,y+6).AB AC,:A、B、C 三点共线，/.3_=y+6,.*.y=-9.口 8-二、填空题17.答案 1解析 由 ab 得 3(2x+1)=4(2x),解得 x=2-8.答案 3解析 人=(1,-5),PB=(x-1,-10),TP、A、B三点共线，一与f 共线.PA PB.-.1 X(-10)-(-5)X(x-1)=0,解得x=3.9.答案2解析 人a+b=(A+2,2A+3),c=(一 4,一 7),A+2 2A+31910.答案而解析 由 A 2,2),B(4,知知 f=2,5)又 p=(2k 1,7)且 pA6，19(2k-1)X52X7=0,Z.k=TO三、解答题11.解设点P的坐标为x,y),如点P在线段AB上，就一_ 1 一AP-PB1，x3,y+-9 x,2y).2解得 x=-1,y=-2,A P(-1,-2).-1-如点P在线段BA的延长线上，就AP=-PB,1(x3,y+4)_(一9x,2y).4解得 x=7,y=-6,：.P(7,-6).综上可得点P的坐标为(-1,-2)或(7,-6).12.解延长AG交BC于点D,VG为4ABC的重心，AD为BC的中点，-2-*.,.AG=-AD2 1f I=AB+1AC)r-一3 2 2一 4一3AC 工一 工.,.0G=0A+AG=0A+3AB+3AC_ 1-*f f0A+(OB-OAO*4一 =omt2B+_ xi+X2+X3 yi+yz+y33 3 即aABC的重心G的坐标为Xl+X2+X3 yi+y2+ys3-3-13.解；f 1 f 1(0,5)=05,oc=OA=-4UA 4 45AC(0,).4 .f 1 f 1 3 3OD=2OB=2(4,3)=2,2，D 2,2.设 M(x,yL am=(X,y5),就-3 7AD=20,2-5=2,2.7AM AD,7西卷,y-5)=0,即 7x+4y=-5 f 7又CM=x,y4,CB=4,彳，.f f 7 5CM/CB,x-4 y-=0,4 4即 7x16y=-20.12 12联立解得x=_-y=2，故点M的坐标为 2.7 7