1、3.1&3.2空间向量的标准正交分解与坐标表示 空间向量基本定理捆象问!1情境化.新知无帅自通 对应学生用书P22空间向量的标准正交分解与坐标表示学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东10 m,后向南15 m,然后乘5号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试.设&是向东的单位 向量，会是向南的单位向量，分是向上的单位向量.问题1：已，&有什么关系？提示：两两垂直.问题2:假定每层楼高为3 m,请把面试地点用向量P表示.提示：P=lOe,+15e2+1563.标准正交基与向量坐标(1)标准正交基：在给定的空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴正方向的单位向量i.J；4
2、叫作标)隹正 交基.(2)标准正交分解：设，j,左为标准正交基，对空间任意向量凡存在唯一一组三元有序实数(匕z),使得a=xi+yj+zk,叫作a的标)隹正交分解.(3)向量的坐标表示：在a的标准正交分解中三元有序实数(x,乂 z)叫作空间向量a的坐标,a=(x,y,z)叫作向量a的坐标表示.(4)向量坐标与投影：，J,k为标准正交基，a=Xi+yj+zk,那么a /=3a j=2,a 4=巨.把x,y,2分别称为向量a在x轴、y轴、z轴正方向上的投影.向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.一般地，若久为6的单位向量，则称a|a|cosa,b为向量a在向量b上的投影.空间向量基本定理空间中任
3、给三个向量a,b,c.问题1：什么情况下，向量a,b,c可以作为一个基底？提示：它们不共面时.问题2:若a,b,c是基底，则空间任一向量/都可以由a,b,。表示吗？提示：可以.如果向量62,是空间三个丕三面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组 头数/1,2-Z,A 3 使y(导(3=)13+2 22+A i&i-其中e,e2,e3叫作这个空间的一个基底一a=+/2改+九会表示向量a关于基底&2,%的分解.归纳升华领悟、空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量a,b,c可以表示出空间任一向 量；空间中的基底是不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底.高弥卜.改Ifl
4、化，名师一点就通 对应学生用书P23邈电豳窃圆空间向量的坐标表不例1如图，在空间直角坐标系中，有长方体/优9-B C D,AB=3,BC=4,AAr=6.(1)写出C的坐标，给出关于，j,A的分解式；(2)求的坐标.思路点拨(1)。的坐标(也是的坐标)，即为在x轴、y轴、z轴正方向上的投 影，0|OD,OBOAf.(2)写出关于，工衣的分解式，即可求得的坐标.精解详析.=3,BC=4,AAf=6,C的坐标为(4,3,6)./.=(4,3,6)=4，+3J+6A.；=+=4/+6k,.*.=-+=4!3J+Qk,=(4,-3,6).一点通1.建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐标的前提，
5、应充分利用已知图形 的特点，寻找三条两两垂直的直线，并分别为苍匕z轴进行建系.2.若表示向量的坐标，只要写出向量关于0j,4的标准正交分解式，即可得坐标.1.在如图所示的空间直角坐标系中，正方体/颂-的棱长为1,笈凡则的坐标为=”3易知 x=l,y=1,z=l,=(1，I，1)答案：(1,I，12.已知点4的坐标是(1,2,-1),且向量与向量关于坐标平面xOy对称，向量与向量 关于x轴对称，求向量和向量的坐标.解：如图，过4点作也L平面火。产于X贝U直线加过点C,且CM=AM,则点。的坐标 为(1,2,1),此时=(1,2,1),该向量与=(1,2,-1)关于平面x分对称.过4点作如L 轴于
6、此则直线4V过点瓦 且BN=AN,则4(1,-2,1),此时=(1,-2,1),该向量与关于x轴对称.7TABOABQ 中,AAOB=,A0=4,B0=2,M=4,为 44 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标.解：(1)丁=一=一(+)=-：+!(+)i i=-=-4k-2i-j.=(-2,1,4).(2)，.=-=一(+)=2j4i 4k.=(4,2,-4).向量a在。上的投影例2如图，已知单位正方体/比7?-B C D.(1)求向量在上的投影；(2)是单位向量，且垂直于平面力3，求向量在上的投影.思路点拨a在6上的投影为|a|cosa,b),只要求出|a/及a,b)即可.精解
7、详析(1)法一：向量在上的投影为H cos，又正方体棱长为1,L|WiP+iS,.|=应 乙DCA，即为与的夹角，在Rt/中，,1 3 cos/CD=j=-,在上的投影为I I COS ,=邓曰=1.法二：在正方体力B C D中，DC_AD,=)CA.在上的投影为：|cos =|cosDCA=|=1.(2)与的夹角为180 CD,在上的投影为|cos(180/切=|cos/CA=-1.一点通1.求向量a在向量。上的投影，可先求出/&/,再求出两个向量a与。的夹角，最后计 算/a/cosa,b,即为向量a在向量6上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利 用几何图形直观转化求解.2.在确定向量
8、的夹角时要注意向量的方向，如本题中，与，是不同的，其和为4.已知工j,为标准正交基，a=i+2j+3k,则a在/方向上的投影为()B.-1D.-V14解析：a i=/a/i|cosa,i),.a*i、；|a|cosa,i=(?+2j+34)?=1.答案：A5.如图，在长方体及卷中，四=4,=/4=2,则向量在向量上的投影为解析：在上的投影为IIcos,而|=4-+22+2-=26,|cos，=2y2.答案：2/空间向量基本定理及其简单应用例3如图所示，平行六面体力嗣-44G中，E,夕分别在笈夕和上，目比=：O2BB、,DF=DD.o(1)证明4 E,G,分四点共面；(2)若=x+y+z,求 x
9、+y+z.思路点拨要证明四点共面只需证明可用，表示即可；第问中求x+y+z只需先 把用，表示出来，求出X,匕Z,再求x+y+z.精解详析(1)证明：=+,*=+,.4 E,G,夕四点共面.(2)=-=+-(+)2 1=+一-3 31=-AB+-O1，才=-1,y=1,z=?o1.x+y+z=.o一点通1.空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量a,b,c构成的向量组a,b,c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的.2.利用空间的一个基底a,b,c可以表示出所有向量，注意结合图形，灵活应用三角 形法则、平行四边形法则，及向量的数乘运算，表示要彻底，结果只含有凡瓦c,不能再
10、有其他向量.6.0,A,B,。为空间四边形的四个顶点，点必N分别是边力，回的中点，且=凡=8,=c,且 a,b,c 表不为()1 z 1 zA.(c+8 a)B.(a+b-c)C.g(a-8+c)D.g(a+6+c)解析：=+=-+|(+)=|(+-)=|(/+c-a).答案：A7.已知e/,e2,e?是空间中不共面的三个向量，且a=a十会十名,b=el+e2-e c=ei-6+，d=e+2e2+3=a a+/b+y c,贝!a+2 jff+y=.解析：Va=6i+e2+es,b ex+e2 e3,c ex-e2+e3,d=e+2e2+3e3=a+y c,.ei+26+3伪=(c+/+少)劭+
11、(c+/少)史+(2 +7)63,2+4+7=1,a+S-7=2,、a 0+7=3.5=2,解得j=-1,1 l/=-2-；a+2/+7=0.答案：08.如图所示，已知平行六面体力阅9-43G，且=当=6,=c,用a,b,c表示如下向量:(1)；(2)(G在”上且=；).解：(1)=4-a+b+c.=+,=a b+-(?.方法.规律.小结-1.空间任一点的坐标的确定：过作面X。的垂线，垂足为.在平面X。中，过 P分别作X轴、牡轴的垂线，垂足分别为4 1则|x|=|P C,y=APf I,z=PPf|.2.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，基底中的三个向量加 a,e：3都不是0.
12、3.空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯一表示.4.点4(a,b,c)关于x轴、y轴、z轴对称点的坐标分别为(a,-b,一 c),(一 a,b,-c),(-a,-b,c);它关于xOy面、xOz面、yOz面、原点对称点的坐标分别为(a,b,-c),(a,b,c),(a,b,c),(a,b,c).E律下训疑经典化.贵在触类务通对应课时跟踪训练七1.在以下三个命题中，真命题的个数是(三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底，则a,6,c共面；若两个非零向量a,。与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a。共线；若a,6是两个不共线的向量，而。=/4+6（/,61且/4于0）,则a,b
13、,c 构成空间的一个基底.A.0个 B.1个C.2个 D.3个解析：中向量a,b,c共面，故a,6,c不能构成空间向量的一个基底，均正确.答案：C2.如图，已知正方体4夕C D中，/是平面 B C 的中心，a,b=,?=-,=xa+yb+zc,贝()乙。a 5,片5,I d.片，z=1 3解析：=+=+/（+4，D）=2a+6+c.答案：A3.如图，在正方体4颇-45G 中，棱长为1,则在上的投影为（）C.-也 D.3解析：正方体力颂-4笈G的棱长为1,|=3 H=S，I 1=/2.*.ABiC是等边三角形.,.在上的投影为 I I cos =yjixcos 60=f.答案：B4.如图，在三棱
14、柱4%46G中，是面阳”的中心，且=a=b,=c,则=（）1 1 1什+上屋D-2a W解析：=+=+(+)=,在/阳中，cosBACiAB_2_2_加MGl 22+12+12 乖 3，XI 1=6./.|cos=4*（坐）=-2.答案：-26.在三棱锥O-ABC,=a,=b,=c,为/的中点，少为弱的中点，则=（用 a,b,c 表不).解析：如图，=+=+g=+(+)=+；(-+-).1 1 1=_+_+-2 4 41 1 1=7 w-k.1 1 1答案：+a+不7.已知力及/-44G是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出4 B,G D,4,Q,各点的坐标，并写出，的坐标表
15、示.解：.正方体ABCD-6的棱长为1,.(1,0,0),用 1,1,0),7(0,1,0),“(0,0,0),4(1,0,1),5(1,1,1),G(0,1,1),(0,0,1).=(1,0,0),=(1,1,0),=(0,1,0),(0,1,1),=(0,0,1),=(1,0,1),=(1,1,1).8.如下图，已知必，平面/及双四边形力时为正方形，G为披的重心，=i,=J=k,试用基底，工在表示向量，.解：TG是勿。的重心,1,、=(+)1/、1 2 2=g(一左+/-4+/+力=铲+-J-=+1 2 2=-1+铲+,一2 2 1=+-j+-k.3.3空间向量运算的坐标表示於弱翎幼：,抽
16、象问H侬化.新知无师自通对应学生用书P25xx年2月，济青高速临沂段发生交通事故，一辆中型车严重变形，驾驶员被困车内，消防官兵紧急破拆施救.为防止救援造成的二次伤害，现从3个方向用力拉动驾驶室门，这 3个力两两垂直，其大小分别为|=300 N,向=200此|=20横耳问题1：若以E,久，凡的方向分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，驾驶室门受到的力的坐标是什么？提示：(300,200,200/).问题2:驾驶室门受到的合力有多大？提示：=500 N.空间向量的坐标运算若 a=(x,yi,Zi),6=(应，为，),则 a+=(沟+题，Zi+寸);(2)a-8=(次一二，修一二，Z,一
17、二)；(3)4 a=(/次，/也，2 列);a =Xi/+/加+;a II boa=7b=X=/4,yL=A y1,Zj_=/逊(/GR):(6)a _|_6=a b 0=次_迎+为理+列通=0;(7)a=7a a=d 4+，+zi;(8)cos a,6 a。b_+Z1Z2la i 出厂N-+/+zh+ji+z：若 4(xi,yi,Zi),Bxi,%，Z2),则=(龙一为，乃一必，幻一).归纳升华领悟1.空间向量的加、减、数乘的坐标运算仍是坐标，数量积的运算是实数.2.利用空间向量的坐标可以解决向量的模、夹角、向量的平行与垂直等问题.鲤电豳窗圆高频考点题ta化，名师一点就通 对应学生用书P25
18、例 1已知 a=(3,5,-4),6=牡2,8),求 2a+3b,3a-2b,ab.空间向量的坐标运算思路点拨空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似,向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.精解详析2a+3b=(6,10,-8)+(6,6,24)=(12,16,16),3a-2b=(9,15,-12)-(4,4,16)=(5,11,-28),a 6=3x2+5x2 4x8=-16.一点通空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向 量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积之和.1.已知
19、 a=(l,0,-1),b=(1,2,2),c=(2,3,-1),那么向量 a 6+2c=()A.(0,1,2)B.(4,-5,5)C.(-4,8,-5)D,(2,-5,4)解析：a 6+2c=(1 1 2x2,0+2+6,-1-2-2)=(-4,8,-5).答案：C2.已知4 B,C三点的坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求尸点坐标,=|(-)；=；(-).解：=(2,6,3),=(4,3,1).(1)=1(6,3,-4)=(3,|,一2),则尸点坐标为(3,|,2)；设尸为(x,匕 z),则=(x-2,y+1,z-2)(-)=(3,|,一2),所以 x=5,y
20、=1,z=0,即尸点坐标为(5,0).3,已知向量a=(l,-2,4),求同时满足以下三个条件的向量c:(l)a,c=0;(2)|c|=10;(3)c 与向量 8=(1,0,0)垂直.解：设 c=(x,y,z),x 2y+4z 0,由三个条件得(y+/+/=100,、x=0,解得x=0,片43,z=x=0,-4班,-23.。=(0,4或，23)或(0,-44，一2毡).用坐标运算解决向量的平行与垂直问题例2如图所示，在棱长为a的正方体及刀-4G中，以为坐标原点，DA,DC,分别为x轴、F轴、z轴建立空间直角坐标系.过作a/G于此求点的坐标.思路点拨写出4 B,G的坐标，设出的坐标，利用条件囱D
21、G及必在4G上建 立方程组，求解.精解详析法一：设欣x,y,z),由图可知：Aa,0,0),B1a,a,0),G(0,a,a),二(-a,a,a),-(x-a,y,z),=(x-a,y-a,z).V,A =0,/.ax a)+a(y a)+a z=0,即 x-y-z=0.又 丁/,:.x a=-2 a,y=A a,z=2 a,80 x=a-A a,y=A a,z=/a.由得才=彳，y=z,2a a a,Ar r 37法二：设=/=(-a/,a A,a),.*.=+=(0,a,0)+(a/,a 2,a 2)=(-a/,a A-a,a/).=0即才力+34一/+J4=o,解得/=-Oa a a?3
22、,=+=2a a a了?3/._,2 3 3 3.点坐标(彳，,).o o o一点通用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：(1)若 a=(x,yi,zj,6=(x2,口，Z2)(6 为非零向量)，贝Ua/6=xi=/血 目弘=/用 且=/z2(/eR).若6=0时，必有a九 必要时应对6是否为。进行讨论.(2)aJ_boxXz+k%+4=0.4.已知 a=(l,-5,6),6=(0,6,5),则&与 6()A.垂直 B,不垂直也不平行C.平行且同向 D,平行且反向解析：a,6=0 30+30=0,：.aj_b.答案：A5.在正方体4比7?46G中，尸是C的中点，求
23、证：ADA_aF.证明：建立空间直角坐标系如图，不妨设正方体的棱长为1,则有(0,0,0),4(1,0,0),(0,0,1),1,0).*.=(-1,0,0),=(0,1,-1J.=(-1,0,0)(),j,-1J=O.：.AD_DXF.6.已知a=(l,x,1-x),b=(1-a-2,一 3x,x+1),求满足下列条件时，实数x的值.a6;aj_b.解:(1)当 u=0 时,a=(1,0,1),b(1,0,1),a=b,.,.x=0,满足 a6;当 x=1 时，a=(1,1,0),8=(0,3,2),此时a不平行b,：.x=/=1.当件0且件1时，,1-2=-3,，1-x 3x x+1 6F
24、R a/r-x+rx 2.1 x x-=-3x综上所述，当x=0或2时，a/b.(2)，：aj_b0a=00(1,a,1 a)(1 3x,x+1)=0=1-V 3 V+1 /=0,斛倚 X=-T例3直三棱柱/比1中，CA=CB=1,ABCA=90,棱A4=2,朋N分别是 4几4/的中点.用空间向量的坐标运算解决夹角与距离问题(1)求的长；(2)求 cos 的值.思路点拨CA,CB,CG两两垂直，可由此建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解 向量的模及夹角.精解详析以。为原点，以,，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立 空间直角坐标系.依题意,得夙0,1,0),Mi,0,1),=(i,-1,1),|=
25、3.(2)依题意,得 4(1,0,2),尔0,1,0),C(0,0,0),5(0,1,2).=(1,-1,2),=(0,1,2),=3,11=*11=yi.一点通在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易 求.利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单.7.已知空间三点4(1,1,1),夕(1,0,4),7(2,-2,3),求与的夹角.解：=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),I I=14+1+9=五,|=4+9+4=,=2-3-6=-7,AB 一 CA-7 1二一|1一正*正二一丁r 2 7T,.,，e1,无,*.=.o8.在
26、棱长为1的正方体居-4G中，E,尸分别是劭的中点，G在棱 刃上,且。；=；勿，为GG的中点.(1)求证：EFA_BC,求斯与GG所成角的余弦值；(3)求方的长.如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz,D为坐标原点，则有证明：=&0)-(0,0,1=(?-j 二(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1),；=5X(-1)+；x 0+(一;)x(1)=0,J_(2).=(),|,0)一(0,1,1)=(0,-1J,近xv，=lx0+lxf-i)+(-1)x(-1)=i 11 洞*.COS =即异面直线环与GG所成角的余弦值为1 4),A/)1一、二.：,y)，,即此=心 2,|方法规律小结
27、1.空间向量加法、减法、数乘、数量积、平行、垂直、夹角的坐标表示都类似于平面 向量，要类比记忆与理解.2.空间向量的坐标运算，关键是要建立恰当的空间直角坐标系，然后利用有关公式求 解.要注意总结在长方体、直三棱柱、正三棱柱、正四棱锥等特殊几何体中建立空间直角坐 标系的规律.3.利用向量的坐标运算可证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公 式可求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.像下训标经典化.贵在触类旁通对应课时跟踪训练八1.下列各组向量中不平行的是()A.a=(l,2,-2),8=(2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,
28、0,0)D.g=(2,3,5),1=(16,-24,40)一 g 16-24 40,丁,_解析：对D中向堇g,h,-=-=f故g,力不平行.2 3 5答案：D2.已知 a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,一 x,2),若(a+b)J_c,则 x=()A.4 B.-41C.-D.-6解析：.a+=(-2,1,3+x)且(a+b)J_c,2 x+6+2x=0,x 4.答案：B3.若a=(l,A,-1),6=(2,1,2),且a与6的夹角的余弦为a 则|a|=()9 沂C.|D.乖解析：因为 ab=lx2+/x(1)+(1)x2=又因为 a b=laijb cosa,b)=也+/=
29、；,所以+人=4.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥尸-四皿底面四是边长为2的正方形，必J_平面4比且必=2,少为的中点，则|=()A.2 B.3C.a D.2也解析：由题意可得尔2,0,0),(0,1,1),则=(-2,1,1),|=乖答案：C5.已知向量a=(1,0,1),b=(1,2,3),左曰(,若布6与8垂直，则4=.解析：因为(检-6)_1_6,所以(公-8)6=0,所以 ka Z?-/Z|2=0,所以(lx 1+0 x2+lx 3)-(Vl7+?+?)2=0,解得左=7.答案：76.若空间三点4(1,5,-2),尔2,4,1),以夕,3,q+2)共线，贝U夕=,q=解析：由4 B,
30、。三点共线，则有与共线，即=).又=(1,一 1,3),=(2一 1,-2,7+4),1=才 P-1,/=,所以-1=-2人 所以夕=3,、3=才 7+4.lq=2.答案：3 27.已知4(1,0,0),6(0,7 0),C(0,0,2),问是否存在实数x,匕 使得=x+y成立？若存在，求x,y的值.解：.=(1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假设存在x,VCR满足条件，由已知得(1,。,2)=x(1,1,0)+y(0,1,2),即(一1,0,2)=(x,x,0)+(0,y,2y)=(-x,x-y,2y),.j0=x匕=即存在实数xi,y1使结论成立.8.如图，在长方体力比OM4G中，11=2,|=3,|=2,月为比的中点.求与所成角的余弦值；作于D,求。的长.解：建立如图所示的空间直角坐标系.(1)由已知得 4(2,0,0),a(0,0,2),4(2,3,2),(1,3,0),所以=(2,0,2),=(1,0,2),因为_L,II,而。(0,3,0),设(x,y,0),则=(x,y,-2),=(x-2,jsO),=(2,3,0),所以2x+3y=0,x-2 y-2-3
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