立体几何练习题与答案.doc

立体几何练习题与答案

篇一：立体几何练习题多套(含答案)

立几测001试

一、选择题：

1．a、b是两条异面直线，以下结论正确的选项

2．空间不共线的四点，能够确定平面的个数为 ( )

Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4Ｄ．无法确定 A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行 B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交 C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行 D．过a能够且只能够作一个平面与b平行

（）

M、N分别为棱AA1、BB1的中点，那么异面直线CM和D1N 所成角3．在正方体ABCD?A1BC11D1中，

的正弦值为 ( ) Ａ．

12 Ｂ．

Ｃ．

934．已经明白平面??平面?，m是?内的不断线，n是?内的不断线，且m?n，那么：①m?③m?

?；②n??；

?或n??；④m??且n??。这四个结论中，不正确的三个是．．．

( )

Ａ．①②③ Ｂ．①②④Ｃ．①③④Ｄ．②③④

5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，那么这个简单多面体的面数是( ) A. 4B. 5 C. 6 D. 8 ( ) A.

6. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，那么甲、乙两地最短间隔为（设地球半径为R）

?2?R?RB. R C. R D.

2433

7. 直线l⊥平面α，直线m?平面β，有以下四个命题

(1)?//??l?m (2)????l//m (3)l//m????(4)l?m??//? 其中正确的命题是

()

A. (1)与(2) B. (2)与(4)C. (1)与(3)D. (3)与(4)

8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，那么以下不等式成立的是( ) A. 0???

?

6

B.

?

6

???

?

4

C.

?

4

???

?

3

D.

?

3

???

?

2

9．?ABC中，AB?9，AC?15，?BAC?120?，?ABC所在平面?外一点P到点A、B、C的间隔都是14，那么P到平面?的间隔为( )

Ａ．7Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．13

10．在一个45?的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45?，那么此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为( )

Ａ．30?Ｂ．45? Ｃ．60? Ｄ．90?

11. 如图,E, F分别是正方形SD1DD2的边D1D,DD2的中点,沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D1,D,D2重合,记作 D.给出以下位置关系:①SD⊥面DEF; ②SE⊥面DEF;

③DF⊥SE; ④EF⊥面SED,其中成立的有: ()

Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④

12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6?cm,那么地球仪的外表积为()

A. 24?cm B. 48?cm C. 144?cm D. 288?cm

2

2

2

2

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分） 13. 直二面角α—MN—β中，等腰直角三角形ABC的斜边BC?α，

AC?β，BC与β所成角的正弦值是__________。

14. 如图在底面边长为2的正三棱锥V—ABC中,E是BC中点,假设△VAE的面积

是

15．如图，已经明白矩形ABCD中，AB?1，BC?a，PA?面ABCD。 假设在BC上只有一个点Q满足PQ?QD，那么a的值等于______.

16. 六棱锥P—ABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA⊥底面

ABCDEF，给出以下四个命题

①线段PC的长是点P到线段CD的间隔； ②异面直线PB与EF所成角是∠PBC； ③线段AD的长是直线CD与平面PAF的间隔； ④∠PEA是二面角P—DE—A平面角。 其中所有真命题的序号是_______________。

三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程）

17．(本小题总分值10分)

如图，已经明白直棱柱ABC?A1B1C1中，

不断角边小为

6

，那么AB与β所成角大4

1

,那么侧棱VA与底面所成角的大小为 4

D

QC

B

M

A

?ACB?90?，?BAC?30?，BC?1，

AA1，M是

C

1B1

A1

CC1 的中点。

求证：AB1

18．（本小题总分值12分） 如图，在矩形ABCD

中，AB?

?A1M

BC?，沿对角线BD将?BCD折起，使点C移到P 点，且P

在平面ABD上的射影O恰好在AB上。(第2、3小题答案计算有误) （1）求证：PB?面PAD； （2）求点A到平面PBD的间隔； （3）求直线AB与平面PBD的成角的大小

B

AP(C)

C

D

B

19．（本小题总分值12分）

如图,已经明白PA?面ABC,AD?BC,垂足D在BC的延长线上,且BC?CD?DA?1

(1) 记PD?x,?BPC??,试把tan?表示成x的函数,并求其最大值. (2) 在直线PA上是否存在点Q,使得?BQC??BAC P

20. （本小题总分值12分）

正三棱锥V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。 B

A

求（1）棱锥的侧棱长；

C

（2）侧棱与底面所成的角的正切值。 D

21. （本小题总分值14分）

已经明白正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，面的对角线B1C=10，D为AC 的中点，

（1） 求证：AB1//平面C1BD;

（2） 求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值; （3） 求直线AB1到平面C1BD的间隔。

22. （本小题总分值14分）

已经明白A1B1C1-ABC为直三棱柱，D为AC中点，O为BC中点，E在CC1上， ∠ACB=90°，AC=BC=CE=2，AA1=6. （1）求二面角A-EB-D的大小； （2）求三棱锥O-AA1D体积.

立测试001

答案

一．选择题：(每题5分,共60分)

1

4

15. 2 16. ①④ 三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程） 17．(10分)解：【法一】?ACB?90??BC

11?AC11，又三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，因而B1C1

?面AC1，连结

AC1，那么AC1是AB1在面AC1

上的射影

在四边形AAC111

1C中，

AA1AC?AC

??ACM??， 11

C?，且

?AAC1111

1M2

??AAC11?AC11M

，

?AC1?A1M ?AB1?A1M

【法二】以C1

B1为x

轴，C1A1为y轴，C1C为z轴建立空间直角坐标系

由BC?1，AA1??ACB?90?，?BAC?30?，

易得A1，A，M，B1(1,0,0) ?AB1?(1,，A1M?(0,2

?AB1A1M?0?3?(2

?0 ?

AB1?AM1因而AB1?A1

M 18．解：（1）

P在平面ABD上的射影O在AB上，?PO?

面ABD。

故斜线BP在平面ABD上的射影为AB。

又DA?AB，?DA?BP，又BC?CD，?BP?PD ADPD?D ?BP?面PAD

（2）过A作AE?PD，交PD于E。

BP?面PAD，?BP?AE，?AE?面BPD 故AE的长确实是点A到平面BPD的间隔AD?AB，DA?BC ?AD?面ABP ?AD?AP

在Rt?ABP中，AP?

?

在Rt?BPD中，PD?CD?

APAD在Rt?

PAD中，由面积关系，得AE?

PD??（3）连结BE，

AE?面BPD，?BE是AB在平面BPD的射影

??ABE为直线AB

与平面BPD所成的角

在Rt?AEB中，sin?ABE

?

AE

AB?

3， ??ABE?arcsin3

19．(1)

PA?面ABC,BD?AD,?BC?PD,即?PDB?90.

在Rt?PDB和Rt?PDC中,tan?BPD?2x,tan?CPD?1

x

, 21?tan??tan?BPC?tan(?BPD??CPD)?

??x(x?1)

1?

21xx?2?2x

1?

x?2

?

当且仅当x?,tan?取到最大值4

. x

(2)在Rt?ADB和Rt?DC中,tan?

BAD=2,tan?CAD?1 ?tan?BAC

?tan(?BAD??CAD)?

2?111?2?1?3?

4

故在PA存在点

Q(如AQ?1)满足

13?tan?BQC?

,使?BQC??BAC20. (12分)解：（1）过V点作V0⊥面ABC于点0，VE⊥AB于点E ∵三棱锥V—ABC是正三棱锥∴O为△ABC的中心 那么OA=

23?32a?3a，OE=13?32a?3

6

a 又∵侧面与底面成60°角∴∠VEO=60° 那么在Rt△VEO中；V0=OE·tan60°=

3a

6a?3?2

在Rt△VAO中，VA=2

?AO2

?a2

a2

7a221a

4?3?12?

6

即侧棱长为

21

6

a

篇二：高一数学立体几何练习题及部分答案汇编

立体几何

一．选择题（每题4分，共40分）

1.已经明白AB//PQ，BC//QR,那么∠PQP等于（）

A300 B 300 C1500D以上结论都不对

2.在空间，以下命题正确的个数为（）

（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形

（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等

A 1 B 2C 3D 4

3.假设一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）

A 平行 B 相交C 在平面内 D 平行或在平面内

4.已经明白直线m//平面?，直线n在?内，那么m与n的关系为（ ）

A 平行 B 相交C 平行或异面D 相交或异面

5.通过平面?外一点，作与?平行的平面，那么如此的平面可作（）

A 1个 或2个 B0个或1个 C 1个 D0个

6.如图,假设MC?菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是()

A 平行B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直

7.通过平面?外一点和平面?内一点与平面?垂直的平面有（ ）

A 0个 B1个 C 无数个 D1个或无数个

8.以下条件中,能推断两个平面平行的是()

A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;

B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

9.关于直线m,n和平面?,?,使???成立的一个条件是()

Am//n,n??,m??B m//n,n??,m??

Cm?n,????m,n?? Dm?n,m//?,n//?

10 .已经明白四棱锥,那么中,直角三角形最多能够有()

A1个 B2个C3个 D4个

二．填空题（每题4分，共16分）

11.已经明白?ABC的两边AC,BC分别交平面?于点M,N，设直线AB与平面?交于点O，那么点O与直线MN的位置关系为_________

12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有

_____________条

14.将边长是a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得折起后BD得长为a,那么三棱锥D-ABC的体积为___________

三、 解答题

15（10分）如图，已经明白E,F分别是正方形ABCD?A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点，且AE?C1F。求证：四边形EBFD1是平行四边形

16（10分）如图，P为?ABC所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点， 证明：直线PC与平面ABD垂直

C

B

17（12分）如图，正三棱锥A-BCD，底面边长为a，那么侧棱长为2a，E,F分别为AC,AD上的动点，求截面?BEF周长的最小值和这时E,F的位置.

D

C

18（12分）如图，长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c，求长方体对角线AC?的长

Ab

C1 CB

1.D 2.B3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D 9.A 10.D 1三点共线2无数 无数 3. 7 4

1证明:?AE?C1F

AB?C1D1

?EAB??FC1D1

? ?EAB??FC1D1

?EB?FD1

过A1作AG//D1F 1

又由A1E∥BG且A1E=BG

可知EB//AG 1

?EB//D1F

∴四边形EBFD1是平行四边形

2 ∵AP?AC

D为PC的中点

∴AD?PC

∵BP?BC

D为PC的中点

∴BD?PC

∴PC?平面ABD

∴AB?PC

11a. 43a,那么周长最小值为43a AC??4解:?2??AC???CC??

222 2??AB???BC??(CC?)2

篇三：立体几何习题(含答案)

[在此处键入]

高三立体几何习题

一、 填空题

1.已经明白AB是球O的一条直径，点O1是AB上一点，假设OO1?4，平面?过点O1且垂直AB，截得圆O1，当圆

O1的面积为9?时，那么球O的外表积是

【答案】100p

2.把一个大金属球外表涂漆，共需油漆2.4公斤．假设把这个大金属球熔化制成64个大小都一样的小金属球， 不计损耗，将这些小金属球外表都涂漆，需要用漆 公斤．

3.已经明白球的外表积为64?cm，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm，那么截面与球心的间隔是cm

【答案】2

4.一个圆锥与一个球体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，假设圆锥的高为1，那么球的外表积为．

【答案】4p 【答案】4p

5.一个底面置于水平面上的圆锥，假设主视图是边长为2的正三角形，那么圆锥的侧面积为．

1

6.如以下图：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BC，AB?BC?BB1，那么平面A1B二面角的大小为 ． 【答案】

?

4

二、选择题

AB的中点， 1.如图，已经明白圆锥的底面半径为r?10，点Q为半圆弧?点P为母线SA的中点．假设PQ与SO所成角为全面积与体积分别为（ ）A．,

B．100(1??,

?

，那么此圆锥的 4

C． D．100(1??,

【答案】B

2.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面?上．用一平行于平面?的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（） A．S圆＞S圆环 B．S圆＜S圆环 C．S圆=S圆环 D．不确定

1

3.如以下图，?PAB所在平面?和四边形ABCD所在的平面?互相垂直，且AD??，BC??，AD?4，BC?8，AB?6，假设tan?ADP?2tan?BCP?1，那么动点P 在平面?内的轨迹是（ ） ? A.线段 B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分 【答案】D

4.在空间中，以下命题正确的选项（ ）

A．假设两直线a,b与直线l所成的角相等，那么a//b B．空间不同的三点A、B、C确定一个平面

C. 假设直线l//平面?且l//平面?，那么?//? D．假设直线a与平面M没有公共点，那么直线a//平面M

l 【答案】D

A 5.如图，已经明白直线l?平面?，垂足为O，在△

ABC中，

????????

件作自由挪动：(1)A?l，(2)C??.那么OP?PB的最大值为( )

P

B

(A) 2

. (B)

1

O 【答案】C

C

6.平面?上存在不同的三点到平面?的间隔相等且不为零，那么平面?与平面?的位置关系为（ ）

(A) 平行 (B) 相交 (C) 平行或重合(D) 平行或相交

【答案】D

7.a、b、c表示直线，?表示平面，以下命题正确的选项（）

A．假设a//b,a//?，那么b//? B． 假设a?b,b??，那么a??

C．假设a?c,b?c，那么a//bD ．假设a??,b??，那么a//b 【答案】D

8.以下命题中，正确的个数是【 】

① 直线上有两个点到平面的间隔相等，那么这条直线和这个平面平行； ② a、b为异面直线，那么过a且与b平行的平面有且仅有一个； ③ 直四棱柱是直平行六面体；

④ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥．

A、0 B、1 C、2 D、3 【答案】B

9.在四棱锥V?ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，那么四面体AB1CD1的体积与四棱锥 V?ABCD的体积之比为（ ） A．1:6 B．1:5 【答案】C

C．1:4

D．1:3

[在此处键入]

三、解答题

1.（此题总分值14分）此题共有2小题，第(1)小题总分值6分，第(2)小题总分值8分． 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，点E在棱AB上挪动． （1）证明：D1E?A1D；

（2）AE等于何值时，二面角D1?EC?D的大小为

?． 4

x

【答案】解：（1）在如以下图的空间直角坐标系中，A,0,1),D(0,0,0),D1(0,0,1) 1(1

????????????????????

设E(1,y,0)(y?[0,2]) 那么D1E?(1,y,?1),DA1?(1,0,1)…因而D1E?DA1?0……因而D1E?A1D……

?

（2）方法一：设n?(u,v,w)为平面DCE的一个法向量 1

????????u?(2?y)v??2v?w?0?n?CD1?0由??????，得?，因而?… ?

w?2vu?yv?w?0????n?D1E?0

??

由于二面角D1?EC?D的大小为，因而cos?| ??

44又y?

[0,2]，因而y?2

AE?2D1?EC?D的大小为

?

4

2.（此题总分值14分）此题共有2小题，第(1)小题总分值6分，第(2)小题总分值8分． 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，点E在棱AB上挪动． （1）当E为AB的中点时，求四面体E?ACD1的体积； （2）证明：D1E?A1D．

【答案】解：（1）S?ACE?

D1

A1

A

E

1

C1

11AE?BC?… 22

11

S?ACE?D1D?… 36

由于D1D?平面ACE，因而VE?ACD1?VD1?ACE?（2）正方形ADD1A1中，A1D?AD1……

由于AB?平面ADD1A1D…… 1，因而AB?A1D…因而A1D?平面AD1E…因而D1E?A

3

3.三棱柱ABC?A1B1C1中，它的体积是3，底面?ABC中，?BAC?90，AB?4,AC?3,B1在底面的射影是D，且D为BC的中点．

（1）求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小；(7分)

（2）求异面直线B1D与CA1所成角的大小．(6分)

【答案】解：（1）依题意，B1D?面ABC，?B1BD确实是侧棱BB1与底面

A1

ABC所成的角?2分

1

VABC?A1B1C1?S?ABC?B1D??4?3?B1D?2

4分

B1D?

5分

5?5

，B1D?BDtan??tan?，

tan?????7分 232

（2）取B1C1的中点E，连EC,A1E，

那么?ECA1（或其补角）为所求的异面直线的角的大小 9分 B1D?面ABC，B1D‖CE，面ABC‖面A1B1C1?CE?面A1B1C1，

?CE?A1E 11分

计算BD?

5

AE12分 tan?A1CE???

EC32

?

所求异面直线B1D与CA1所成的角 13分

6

4.在如以下图的几何体中，四边形CDPQ为矩形，四边形ABCD为直角梯形，

1

且?BAD??ADC?90?，平面CDPQ?平面ABCD，AB?AD?CD?

1，PD?

2

（1）假设M为PA的中点，求证：AC//平面DMQ；

（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.

【答案】解：（1）如图，设CP与M的交点为N，连接MN．

易知点N是CP的中点，又M为PA的中点，故AC//MN．…4分

A

因而，由MN?平面DMQ，得AC//平面DMQ．……………6分 （2）如图，以点D为原点，分别以DA、DB、DC为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，那么D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P．

Q

C

B

?????

易知n1?(0,1,0)为平面PAD的一个法向量，设n2?(x,y,z)为平面PBC的一个法向量．

???????

??????x?y?n2?BC??x?y?0

那么???，令y?1，得n2?(1,1．…………………10分 ???????

???z??n2?PC?2y?0

?????n1?n2

1

设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角为?，那么cos???，…………………12分

2n1n2

[在此处键入]

故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为

?

3

．………………………………………14分

5.(此题总分值14分) 此题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如以下图的直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的 菱形，且?BAD?60?,AA1?4.

（1）求直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的体积； （2）求异面直线AD1与BA1所成角的大小．

【答案】解：（1）因菱形ABCD

的面积为AB2?sin60??……2分

故直四棱柱ABCD?

A1B1C1D1的体积为：

（2）连接BC1、AC，易知，故?A等于异面直线AD1与BA1BC1BC1111//AD1所成角. ……8分

由已经明白，可得A1B?BC1?AC11?A1

B1

DC1

S底面ABCD?AA1?4?……6分

A

C

……10(第20题图）分

222

AB?BC?AC71111 那么在?A1BC1中，由余弦定理，得 cos?A1BC1?……12分 ?.

2A1B?BC1107

故异面直线AD1与BA1所成角的大小为arccos……14分 .

10

6.（此题总分值12分）此题共2小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分.

在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，AA1?3，过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD?AC11D1.

（1）假设A1C1的中点为O1，求求异面直线BO1与A1D

1所成角的大小（用反三角函数值表示）；

（2）求点D到平面A1BC1的间隔d．

【答案】解：(1)按如以下图建立空间直角坐标系．由题知，

可得点D(0,0,0)、B(2,2,0)、D1(0,0,3)、A1(2,0,3)、C1(0,2,3)．由O1是AC11中点，可得O1(1,1,3).

??????????

因而，BO1?(?1,?1,3),A1D1?(?2,0,0)．设异面直线BO1与A1D1所成的角为?，

??????????

BO?A1D1 那么cos??1??

|BO1||A1D1| 因而，异面直线BO1与A1D1所成的角为???????n?BA1?0,(2)设n?(x,y,z)是平面ABD的法向量． ∴????????

??n?BC1?0.

??????????2y?3z?0,又BA1?(0,?2,3),BC1?(?2,0,3)，∴? 取z?2， ?

??2x?3z?0.

5

．