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立体几何练习题与答案 篇一：立体几何练习题多套(含答案) 立几测001试 一、选择题： 1a、b是两条异面直线，以下结论正确的选项 2空间不共线的四点，能够确定平面的个数为 ( ) 0 1 1或4无法确定 A过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行 B过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交 C过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行 D过a能够且只能够作一个平面与b平行 （） M、N分别为棱AA1、BB1的中点，那么异面直线CM和D1N 所成角3在正方体ABCD?A1BC11D1中， 的正弦值为 ( ) 12 934已经明白平面?平面?，m是?内的不断线，n是?内的不断线，且m?n，那么：m?m? ?；n?； ?或n?；m?且n?。这四个结论中，不正确的三个是 ( ) 5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，那么这个简单多面体的面数是( ) A. 4B. 5 C. 6 D. 8 ( ) A. 6. 在北纬45的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90，那么甲、乙两地最短间隔为（设地球半径为R） ?2?R?RB. R C. R D. 2433 7. 直线l平面，直线m?平面，有以下四个命题 (1)?/?l?m (2)?l/m (3)l/m?(4)l?m?/? 其中正确的命题是 () A. (1)与(2) B. (2)与(4)C. (1)与(3)D. (3)与(4) 8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为，那么以下不等式成立的是( ) A. 0? ? 6 B. ? 6 ? ? 4 C. ? 4 ? ? 3 D. ? 3 ? ? 2 9?ABC中，AB?9，AC?15，?BAC?120?，?ABC所在平面?外一点P到点A、B、C的间隔都是14，那么P到平面?的间隔为( ) 79 11 13 10在一个45?的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45?，那么此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为( ) 30?45? 60? 90? 11. 如图,E, F分别是正方形SD1DD2的边D1D,DD2的中点,沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D1,D,D2重合,记作 D.给出以下位置关系:SD面DEF; SE面DEF;DFSE; EF面SED,其中成立的有: () . 与 B. 与 C. 与 D. 与 12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6?cm,那么地球仪的外表积为() A. 24?cm B. 48?cm C. 144?cm D. 288?cm 2 2 2 2 二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分） 13. 直二面角MN中，等腰直角三角形ABC的斜边BC?， AC?，BC与所成角的正弦值是_。 14. 如图在底面边长为2的正三棱锥VABC中,E是BC中点,假设VAE的面积 是 15如图，已经明白矩形ABCD中，AB?1，BC?a，PA?面ABCD。 假设在BC上只有一个点Q满足PQ?QD，那么a的值等于_. 16. 六棱锥PABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA底面 ABCDEF，给出以下四个命题 线段PC的长是点P到线段CD的间隔； 异面直线PB与EF所成角是PBC； 线段AD的长是直线CD与平面PAF的间隔； PEA是二面角PDEA平面角。 其中所有真命题的序号是_。 三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程） 17(本小题总分值10分) 如图，已经明白直棱柱ABC?A1B1C1中， 不断角边小为 6 ，那么AB与所成角大4 1 ,那么侧棱VA与底面所成角的大小为 4 D QC B M A ?ACB?90?，?BAC?30?，BC?1， AA1，M是 C1B1 A1 CC1 的中点。 求证：AB1 18（本小题总分值12分） 如图，在矩形ABCD中，AB?A1M BC?，沿对角线BD将?BCD折起，使点C移到P 点，且P 在平面ABD上的射影O恰好在AB上。(第2、3小题答案计算有误) （1）求证：PB?面PAD； （2）求点A到平面PBD的间隔； （3）求直线AB与平面PBD的成角的大小B AP(C) C D B 19（本小题总分值12分） 如图,已经明白PA?面ABC,AD?BC,垂足D在BC的延长线上,且BC?CD?DA?1 (1) 记PD?x,?BPC?,试把tan?表示成x的函数,并求其最大值. (2) 在直线PA上是否存在点Q,使得?BQC?BAC P 20. （本小题总分值12分） 正三棱锥V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60的二面角。 B A 求（1）棱锥的侧棱长； C （2）侧棱与底面所成的角的正切值。 D 21. （本小题总分值14分） 已经明白正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，面的对角线B1C=10，D为AC 的中点， （1） 求证：AB1/平面C1BD; （2） 求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值; （3） 求直线AB1到平面C1BD的间隔。 22. （本小题总分值14分） 已经明白A1B1C1-ABC为直三棱柱，D为AC中点，O为BC中点，E在CC1上， ACB=90，AC=BC=CE=2，AA1=6. （1）求二面角A-EB-D的大小； （2）求三棱锥O-AA1D体积.立测试001 答案 一选择题：(每题5分,共60分) 1 4 15. 2 16. 三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程） 17(10分)解：【法一】?ACB?90?BC11?AC11，又三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，因而B1C1 ?面AC1，连结AC1，那么AC1是AB1在面AC1上的射影 在四边形AAC1111C中，AA1AC?AC ?ACM?， 11 C?，且?AAC1111 1M2?AAC11?AC11M，?AC1?A1M ?AB1?A1M 【法二】以C1B1为x轴，C1A1为y轴，C1C为z轴建立空间直角坐标系 由BC?1，AA1?ACB?90?，?BAC?30?， 易得A1，A，M，B1(1,0,0) ?AB1?(1,，A1M?(0,2 ?AB1A1M?0?3?(2 ?0 ?AB1?AM1因而AB1?A1M 18解：（1） P在平面ABD上的射影O在AB上，?PO?面ABD。 故斜线BP在平面ABD上的射影为AB。 又DA?AB，?DA?BP，又BC?CD，?BP?PD ADPD?D ?BP?面PAD （2）过A作AE?PD，交PD于E。 BP?面PAD，?BP?AE，?AE?面BPD 故AE的长确实是点A到平面BPD的间隔AD?AB，DA?BC ?AD?面ABP ?AD?AP 在Rt?ABP中，AP? ? 在Rt?BPD中，PD?CD? APAD在Rt? PAD中，由面积关系，得AE? PD?（3）连结BE， AE?面BPD，?BE是AB在平面BPD的射影 ?ABE为直线AB与平面BPD所成的角 在Rt?AEB中，sin?ABE ? AEAB? 3， ?ABE?arcsin3 19(1) PA?面ABC,BD?AD,?BC?PD,即?PDB?90. 在Rt?PDB和Rt?PDC中,tan?BPD?2x,tan?CPD?1 x , 21?tan?tan?BPC?tan(?BPD?CPD)? ?x(x?1)1?21xx?2?2x 1? x?2?当且仅当x?,tan?取到最大值4 . x (2)在Rt?ADB和Rt?DC中,tan?BAD=2,tan?CAD?1 ?tan?BAC ?tan(?BAD?CAD)? 2?111?2?1?3? 4 故在PA存在点Q(如AQ?1)满足 13?tan?BQC? ,使?BQC?BAC20. (12分)解：（1）过V点作V0面ABC于点0，VEAB于点E 三棱锥VABC是正三棱锥O为ABC的中心 那么OA= 23?32a?3a，OE=13?32a?3 6 a 又侧面与底面成60角VEO=60 那么在RtVEO中；V0=OEtan60= 3a 6a?3?2 在RtVAO中，VA=2 ?AO2 ?a2 a2 7a221a 4?3?12? 6 即侧棱长为 21 6 a篇二：高一数学立体几何练习题及部分答案汇编 立体几何 一选择题（每题4分，共40分） 1.已经明白AB/PQ，BC/QR,那么PQP等于（） A300 B 300 C1500D以上结论都不对 2.在空间，以下命题正确的个数为（） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2C 3D 4 3.假设一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（） A 平行 B 相交C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已经明白直线m/平面?，直线n在?内，那么m与n的关系为（ ） A 平行 B 相交C 平行或异面D 相交或异面 5.通过平面?外一点，作与?平行的平面，那么如此的平面可作（） A 1个 或2个 B0个或1个 C 1个 D0个 6.如图,假设MC?菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是() A 平行B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.通过平面?外一点和平面?内一点与平面?垂直的平面有（ ） A 0个 B1个 C 无数个 D1个或无数个 8.以下条件中,能推断两个平面平行的是() A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.关于直线m,n和平面?,?,使?成立的一个条件是() Am/n,n?,m?B m/n,n?,m? Cm?n,?m,n? Dm?n,m/?,n/? 10 .已经明白四棱锥,那么中,直角三角形最多能够有() A1个 B2个C3个 D4个二填空题（每题4分，共16分） 11.已经明白?ABC的两边AC,BC分别交平面?于点M,N，设直线AB与平面?交于点O，那么点O与直线MN的位置关系为_ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有_个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _条 14.将边长是a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得折起后BD得长为a,那么三棱锥D-ABC的体积为_ 三、 解答题 15（10分）如图，已经明白E,F分别是正方形ABCD?A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点，且AE?C1F。求证：四边形EBFD1是平行四边形16（10分）如图，P为?ABC所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点， 证明：直线PC与平面ABD垂直 CB 17（12分）如图，正三棱锥A-BCD，底面边长为a，那么侧棱长为2a，E,F分别为AC,AD上的动点，求截面?BEF周长的最小值和这时E,F的位置. D C18（12分）如图，长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c，求长方体对角线AC?的长 Ab C1 CB 1.D 2.B3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D 9.A 10.D 1三点共线2无数 无数 3. 7 4 1证明:?AE?C1F AB?C1D1 ?EAB?FC1D1 ? ?EAB?FC1D1 ?EB?FD1 过A1作AG/D1F 1 又由A1EBG且A1E=BG 可知EB/AG 1 ?EB/D1F 四边形EBFD1是平行四边形 2 AP?AC D为PC的中点 AD?PC BP?BC D为PC的中点 BD?PC PC?平面ABD AB?PC 11a. 43a,那么周长最小值为43a AC?4解:?2?AC?CC? 222 2?AB?BC?(CC?)2篇三：立体几何习题(含答案) 在此处键入 高三立体几何习题 一、 填空题 1.已经明白AB是球O的一条直径，点O1是AB上一点，假设OO1?4，平面?过点O1且垂直AB，截得圆O1，当圆 O1的面积为9?时，那么球O的外表积是 【答案】100p 2.把一个大金属球外表涂漆，共需油漆2.4公斤假设把这个大金属球熔化制成64个大小都一样的小金属球， 不计损耗，将这些小金属球外表都涂漆，需要用漆 公斤 3.已经明白球的外表积为64?cm，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm，那么截面与球心的间隔是cm 【答案】2 4.一个圆锥与一个球体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，假设圆锥的高为1，那么球的外表积为 【答案】4p 【答案】4p 5.一个底面置于水平面上的圆锥，假设主视图是边长为2的正三角形，那么圆锥的侧面积为 1 6.如以下图：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BC，AB?BC?BB1，那么平面A1B二面角的大小为 【答案】 ? 4 二、选择题 AB的中点， 1.如图，已经明白圆锥的底面半径为r?10，点Q为半圆弧?点P为母线SA的中点假设PQ与SO所成角为全面积与体积分别为（ ）A, B100(1?, ? ，那么此圆锥的 4 C D100(1?, 【答案】B 2.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面?上用一平行于平面?的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（） AS圆S圆环 BS圆S圆环 CS圆=S圆环 D不确定 1 3.如以下图，?PAB所在平面?和四边形ABCD所在的平面?互相垂直，且AD?，BC?，AD?4，BC?8，AB?6，假设tan?ADP?2tan?BCP?1，那么动点P 在平面?内的轨迹是（ ） ? A.线段 B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分 【答案】D 4.在空间中，以下命题正确的选项（ ） A假设两直线a,b与直线l所成的角相等，那么a/b B空间不同的三点A、B、C确定一个平面 C. 假设直线l/平面?且l/平面?，那么?/? D假设直线a与平面M没有公共点，那么直线a/平面M l 【答案】D A 5.如图，已经明白直线l?平面?，垂足为O，在ABC中， ? 件作自由挪动：(1)A?l，(2)C?.那么OP?PB的最大值为( ) P B (A) 2. (B)1O 【答案】C C 6.平面?上存在不同的三点到平面?的间隔相等且不为零，那么平面?与平面?的位置关系为（ ） (A) 平行 (B) 相交 (C) 平行或重合(D) 平行或相交 【答案】D 7.a、b、c表示直线，?表示平面，以下命题正确的选项（） A假设a/b,a/?，那么b/? B 假设a?b,b?，那么a? C假设a?c,b?c，那么a/bD 假设a?,b?，那么a/b 【答案】D 8.以下命题中，正确的个数是【 】 直线上有两个点到平面的间隔相等，那么这条直线和这个平面平行； a、b为异面直线，那么过a且与b平行的平面有且仅有一个； 直四棱柱是直平行六面体； 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥 A、0 B、1 C、2 D、3 【答案】B 9.在四棱锥V?ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，那么四面体AB1CD1的体积与四棱锥 V?ABCD的体积之比为（ ） A1:6 B1:5 【答案】C C1:4 D1:3在此处键入 三、解答题 1.（此题总分值14分）此题共有2小题，第(1)小题总分值6分，第(2)小题总分值8分 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，点E在棱AB上挪动 （1）证明：D1E?A1D； （2）AE等于何值时，二面角D1?EC?D的大小为 ? 4 x 【答案】解：（1）在如以下图的空间直角坐标系中，A,0,1),D(0,0,0),D1(0,0,1) 1(1 ? 设E(1,y,0)(y?0,2) 那么D1E?(1,y,?1),DA1?(1,0,1)因而D1E?DA1?0因而D1E?A1D ? （2）方法一：设n?(u,v,w)为平面DCE的一个法向量 1 ?u?(2?y)v?2v?w?0?n?CD1?0由?，得?，因而? ? w?2vu?yv?w?0?n?D1E?0 ? 由于二面角D1?EC?D的大小为，因而cos?| ? 44又y?0,2，因而y?2AE?2D1?EC?D的大小为 ? 4 2.（此题总分值14分）此题共有2小题，第(1)小题总分值6分，第(2)小题总分值8分 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，点E在棱AB上挪动 （1）当E为AB的中点时，求四面体E?ACD1的体积； （2）证明：D1E?A1D 【答案】解：（1）S?ACE? D1 A1 A E 1 C1 11AE?BC? 22 11 S?ACE?D1D? 36 由于D1D?平面ACE，因而VE?ACD1?VD1?ACE?（2）正方形ADD1A1中，A1D?AD1 由于AB?平面ADD1A1D 1，因而AB?A1D因而A1D?平面AD1E因而D1E?A 3 3.三棱柱ABC?A1B1C1中，它的体积是3，底面?ABC中，?BAC?90，AB?4,AC?3,B1在底面的射影是D，且D为BC的中点 （1）求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小；(7分) （2）求异面直线B1D与CA1所成角的大小(6分) 【答案】解：（1）依题意，B1D?面ABC，?B1BD确实是侧棱BB1与底面 A1 ABC所成的角?2分 1 VABC?A1B1C1?S?ABC?B1D?4?3?B1D?2 4分 B1D? 5分 5?5 ，B1D?BDtan?tan?，tan?7分 232 （2）取B1C1的中点E，连EC,A1E， 那么?ECA1（或其补角）为所求的异面直线的角的大小 9分 B1D?面ABC，B1DCE，面ABC面A1B1C1?CE?面A1B1C1， ?CE?A1E 11分 计算BD? 5 AE12分 tan?A1CE? EC32 ? 所求异面直线B1D与CA1所成的角 13分 6 4.在如以下图的几何体中，四边形CDPQ为矩形，四边形ABCD为直角梯形， 1 且?BAD?ADC?90?，平面CDPQ?平面ABCD，AB?AD?CD?1，PD?2 （1）假设M为PA的中点，求证：AC/平面DMQ； （2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小. 【答案】解：（1）如图，设CP与M的交点为N，连接MN 易知点N是CP的中点，又M为PA的中点，故AC/MN4分 A 因而，由MN?平面DMQ，得AC/平面DMQ6分 （2）如图，以点D为原点，分别以DA、DB、DC为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，那么D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P Q C B ? 易知n1?(0,1,0)为平面PAD的一个法向量，设n2?(x,y,z)为平面PBC的一个法向量 ? ?x?y?n2?BC?x?y?0 那么?，令y?1，得n2?(1,110分 ? ?z?n2?PC?2y?0 ?n1?n2 1 设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角为?，那么cos?，12分 2n1n2在此处键入 故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为 ? 3 14分 5.(此题总分值14分) 此题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如以下图的直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的 菱形，且?BAD?60?,AA1?4. （1）求直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的体积； （2）求异面直线AD1与BA1所成角的大小 【答案】解：（1）因菱形ABCD的面积为AB2?sin60?2分 故直四棱柱ABCD? A1B1C1D1的体积为： （2）连接BC1、AC，易知，故?A等于异面直线AD1与BA1BC1BC1111/AD1所成角. 8分由已经明白，可得A1B?BC1?AC11?A1 B1 DC1 S底面ABCD?AA1?4?6分 A C 10(第20题图）分 222 AB?BC?AC71111 那么在?A1BC1中，由余弦定理，得 cos?A1BC1?12分 ?. 2A1B?BC1107 故异面直线AD1与BA1所成角的大小为arccos14分 . 10 6.（此题总分值12分）此题共2小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分. 在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，AA1?3，过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD?AC11D1. （1）假设A1C1的中点为O1，求求异面直线BO1与A1D1所成角的大小（用反三角函数值表示）； （2）求点D到平面A1BC1的间隔d 【答案】解：(1)按如以下图建立空间直角坐标系由题知， 可得点D(0,0,0)、B(2,2,0)、D1(0,0,3)、A1(2,0,3)、C1(0,2,3)由O1是AC11中点，可得O1(1,1,3). ? 因而，BO1?(?1,?1,3),A1D1?(?2,0,0)设异面直线BO1与A1D1所成的角为?， ? BO?A1D1 那么cos?1? |BO1|A1D1| 因而，异面直线BO1与A1D1所成的角为?n?BA1?0,(2)设n?(x,y,z)是平面ABD的法向量 ? ?n?BC1?0. ?2y?3z?0,又BA1?(0,?2,3),BC1?(?2,0,3)，? 取z?2， ? ?2x?3z?0. 5