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梯形中常见辅助线的添法
浅析梯形的辅助线

宣威市羊场镇初级中学 张荣芝

梯形的问题可通过添加辅助线化归成我们熟悉的平行四边形和三角形，添辅助线可达到集中已知条件或构造基本图形等目的。这种化归的思想是数学中研究问题的重要方法．下面我们来看看几种在梯形中常见的添辅助线的方法.
(一)与腰有关的辅助线
例1、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,AD=4，BC=12,∠C=60°,求AB的长.

（1）梯形内平移一腰（也就是我们常说的作腰的平行线）
解：方法一(平移腰)
过点D作DE∥AB交BC于E
∵AD∥BC
∴四边形ABED是平行四边形
∴AD=BE=4
∴EC=BC-BE=8
∵AB=CD
∴DE=DC ∴∠C=60° ∴EC=DE=DE=8 ∴AB=8
(2）梯形外平移一腰
解：方法二
过点C作CE∥AB交AD的延长线于E
∵AD∥BC
∴四边形ABCE是平行四边形
∴AB=CE
∵AB=CD
∴CD=CE
∵AD∥BC,∠C=60°
∴∠CDE=60°
△CDE是等边三角形
∵AD=4，BC=12
∴EC=DE=DE=8 ∴AB=8
(3)延长两腰
解：方法三（延腰)
延长BA、CD交于点E，
∵AD∥BC,AB=CD,∠C=60°，
∴∠B=∠C=60°
∠EAD=∠EDA=60°。
∴△EBC和△EAD都是等边三角形。
∵AD=4，BC=12∴EA=4，EB=12. ∴AB=EB—EA=12-4=8。

(4）平移两腰:
例2、 如图，在梯形ABCD中,AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF,求EF的长。
分析：由条件 ,我们通过平移AB 、 DC ;构造直角三角形EGH，使EF 恰好是RT△EGH 的中线．

解：过点E分别作AB、CD的平行线,交BC于点G、H，可得
∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°
则△EGH是直角三角形
因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点
所以

小结：平移梯形一腰或两腰，把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中，同时还得到平行四边形．

（二)与高有关的辅助线
例3、已知:在梯形ABCD中,AD∥BC，AB=CD，AD=4,BC=12，∠C=60°，求AB的长.
解：过点A作AE⊥BC于E,过点D作DF⊥BC于F∵AD∥BC
∴AE=DF，四边形AEFD是矩形
∴AD=EF=4
∵AB=DC
∴Rt△ABE≌Rt△DFC（HL）
∴BE=FC
∴2CF=BC-EF=12-4=8
∴CF=4
∵∠C=60°
∴∠CDF=30° 在Rt△DFC中，DC=2CF=8 ∴AB=8
例4、如图，已知在直角梯形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE

分析：这是一个直角梯形,对于直角梯形的题目通常我们会通过添加辅助线高来完成题目,作CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质,利用两次全等，从而达到证明CD=CE的目的.

证明：如图，连结AC，过C作CF⊥AB于F（这是直角梯形中常见的辅助线）
　　 在△CFB和△AEB中，　　

　　∴△CFB≌△AEB（AAS）（构造三角形证明三角形全等）
　　∴CF=AE．
　　∵∠D=90°，CF⊥AB且AB∥CD,
　　∴AD=CF，
　　∴AD=AE．
在Rt△ADC和Rt△AEC中，

　　∴Rt△ADC≌Rt△AEC(HL)
　　∴CD=CE．
说明:以上两题主要考查两种特殊梯形：等腰梯形和直角梯形的常见辅助线-—作高的运用，以及梯形和三角形全等的综合运用。在例4的直角梯形中，通过作梯形一底的垂线，将梯形分成特殊的四边形（矩形）和三角形．将题中已知条件AB=BC中的两条线段AB和BC分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的。

(三)与对角线有关的辅助线．
（1)连接对角线
例5、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，延长AB至E,使BE=DC．求证：AC=CE

分析：在等腰梯形中出现了对角线及有关的已知条件,让我们不由联想到它的性质定理2:等腰梯形的对角线相等。
解:如图，连结BD，
　 　∵DC∥BE,DC=BE，
　 　∴四边形DCEB是平行四边形,
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
　　 ∴DB=CE．
　 　又∵四边形ABCD是等腰梯形,
　　 ∴AC=BD，(等腰梯形对角线相等）
∴AC=CE．

(2）平移对角线
例6、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

分析:欲求梯形面积必须先求上下底，根据已知对角线，可以作辅助线构造平行四边形和三角形,从而利用平行四边形和三角形的知识来解决问题．
解:过点D作DE//AC,交BC的延长线于点E，
则四边形ACED是平行四边形，
即。
所以
由勾股定理得
(cm） （cm）
所以，即梯形ABCD的面积是150cm2。
说明:作对角线的平行线把梯形转化成平行四边形是常见的引辅助线方法．同时梯形的面积也等于△DBE的面积。

小结： 平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线，与另一底的延长线相交，得到一个平行四边形和三角形，把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．
（四）与梯形一腰中点有关的辅助线．
(1) 已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
例7、如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点,
∠AOD=90°,求证:AB＋CD=AD。

证明：取AD的中点E,连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=（AB＋CD）①
在△AOD中,∠AOD=90°，AE=DE
所以 ②
由①、②得AB＋CD=AD。
说明：利用梯形的中位线与直角三角形的斜边上的中线。

(2） 在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
例8、已知:如图，在梯形ABCD中,AD//BC，AB⊥BC,E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？
解：AE=BE，理由如下：
延长AE，BC交于点F．
∵DE=CE，∠AED=∠CEF,
A
B
D
C
E
F
∠DAE=∠F
∴△ADE≌△FCE
∴AE=EF
∵AB⊥BC， ∴BE=AE．
说明:在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的.

小结： 遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线，中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形"，连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题。

通过解决以上问题可以看出，添加辅助线有助于把复杂的梯形问题转化为简单的平行四边形或三角形的知识解决.虽然解决梯形问题时， 辅助线千变万化, 形状各异,使人眼花缭乱,不容易掌握,但正是这些形形色色的梯形辅助线给同学们解决梯形问题提供了快捷和方便。相信通过以上对梯形辅助线的介绍和归纳,你已经掌握了分析思考梯形辅助线的方法。