“直线与圆的位置关系”错解剖析.docx

“直线与圆的位置关係”错解剖析
例1　如图（1），⊙o的半径是1，p为⊙o外一点，pa切⊙o于点a，pa=1．若ab是⊙o的弦，且，则pb的长为（　　）
错解选a．
剖析错解只考虑到一种情况．事实上，ab可分别在oa的两侧，如图（2）．连结oa、ob、，则oa⊥ap．
∴∠aob＝90°．同理可得∠aob′=90°．
∴　b、o、b′三点共线．
∴　ap∥ob．连结 bp．
∵ap=1，∴　四边形oapb为正方形，
例2　以等腰△abc的底边bc的中点o为圆心，作一圆与腰ab相切于点d．求证：此圆与另一腰ac也相切．
错证连结od、oe（如图）．
∵　ab＝ac，∴∠b＝∠c．
又∵　ob＝oc，od＝oe，
∴　△bod≌△coe．∴∠odb＝∠oec．
∵　ab是⊙o的切线，∴∠odb＝90°．
∴　∠oec=90°．∴⊙o与ac相切．
剖析这种证法仅凭直观认为⊙o与ac是相交的，且交点为e，则oe即为⊙o的半径，因此就错误地应用判定定理来论证．实际上，在证得⊙o和ac相切之前，不能确定⊙o与ac的位置关係，亦即不能确定⊙o和ac有无交点，有几个交点，更不知交点在何处．所以断定e为交点、oe为半径是毫无根据的．
正确的证法是：连结od，作oe⊥ac于e，证oe＝od（即用若圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线来证），这只要证rt△obd≌rt△oce即可．请读者写出证明过程．
例3　已知半径为9的⊙o内的一内接等腰三角形abc，它底边上的高ad与一腰的和是20，试求ad的长．
错解如图（l），延长ad交⊙o于e，连结be．则ae=2ao＝18．
设od=x，则ad＝ao＋od=9＋x，de=9-x．于是ab=20-ad=11-x，
∴　ad＝9十x=50．
剖析由于ad=50＞直径18，显然答案是错误的．致错缘由是没有对圆心位置进行讨论．我们不难发现，⊙o的半径为9，而内接于圆的等腰三角形底边上的高与一腰的和为20，显然，ad只能是比10小的正数．因此，正确的图形应为图（2）（外心在△abc外）．由此不难求出正确答案．
在这里，能避开由于所画的图形不準确而导致的错误吗？答复是确定的．我们可以避开对点d位置的讨论，直接设ad=x，则ab=20-x．易证△abd∽△aeb．∴．即．于是，．解得．故ad的长为8．
例4　从不在⊙o上的一点a，作⊙o的割线，交⊙o于b、c，且ab·ac=64，oa＝10，则⊙o的半径等于
错解如图（1），作直线oa交⊙o于点d、e．设⊙o的半径为r，则ad=r-10，ae=r十10．由相交弦定理得 ab·ac=ad·ae，即64=（r－10）（r＋10），解得r=2（负值捨去）．
剖析错解思维不全面，只考虑到点a在圆内的情况，未考虑到点a在⊙o外的情况．如图（2），由切割线定理的推论得ab·ac=ad·ae．即 64=（10-r）（10＋r），解得 r＝6（负值捨去）。
例5　如图，设c为线段ab的中点，bcde是以bc为底边的正方形．以b为圆心，bd为半径的圆与ab及其延长线相交于 f及 g．求证：．
错证连结ad，则．连结db，则∠adb＝90°．
剖析连结ad后，就凭直观判定ad是⊙b的切线，这是不正确的．ad是⊙b的切线应该进行证明．
正确证法连结ad、bd．
∵　ac＝cb=cd，∴　△adb是直角三角形．
∴　∠adb=90°，∴　ad是⊙b的切线．
例6　如图，已知弦ab等于半径．连结ob并延长使bc＝ob．
①求证：ac是⊙o的切线；
②请你在⊙o上选取一点d，使得ad=ac．（自己完成作图，并给出证明过程）
①略．②错解延长bo交⊙o于d，连结ad，则rt△oac≌rt△bad．
∴　ac=ad．∴　d点为所求．
剖析错解忽视了圆的对称性而导致漏解．事实上，以a为圆心，ad为半径作弧交⊙o于d′．连结od′，则△aod≌△aod′．
∴ad＇=ad=ac．故点d和点d’即为所求．