平行关系(教师版).doc

高一综合复习知识巩固点十一

第十一讲 平行关系
一、知识梳理：
1、直线和平面相互平行
（1）平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；
（2）一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；
2、两平面平行的判定与性质
1）判定方法：
（1）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β。
（2）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β。
（3）平行于同一个平面的两个平面平行。
2）两个平面平行的性质有五条：
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β。
（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b。
（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β。
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等
（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行

◆注意下面的转化关系：

二、基础检测：
1．垂直于同一条直线的两条直线 D
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
2．已知平面内有无数条直线都与平面平行，那么( D )
A． B．与相交　 C．与重合 D．或与相交
3．下列四个说法 ( C )
①，,则 ②，b，则与不平行
③，则// ④//， //，则
其中错误的说法的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列命题中正确的是( C )
A．经过两条异面直线中的一条且与另一条平行的平面至少有一个
B．若两条直线在同一平面内的射影平行，则这两条直线也平行
C．若, 是异面直线，则一定存在平面α与a, b所成的角相等
D．与两条异面直线都平行的平面只有一个
5．若直线m不平行于平面，且，则下列结论成立的是( B )
A．内所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线
C．内存在惟一的直线与平行 D．内的直线与都相交
6． 设直线,m,平面,下列条件能得出的是（　C　）
A．,且 　　 B． ,且
C． ,且 D． ,且
7． 设平面，A，C是AB的中点，当A、B分别在内运动时，那么所有的动点C （　D　）
A． 不共面 B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C． 当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D． 不论A、B如何移动，都共面
8.下列命题中正确的是（　B　）
①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行; ③若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行.
A． ① B． ③ C． ①③ D． ①②③
9．下列命题正确的个数是（　B　）
①若直线上有无数个点不在平面内, 则; ②若直线与平面平行, 则 与平面内有任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线与平面平行, 则与平面内的任意一条直线都没有公共点.
A．0个 B． 1个 C． 2个 D．3个
10.下列四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行;　④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行. 其中正确命题是（　B　）
A． ①、② B． ②、④ C． ①、③ D． ②、③
11．如图，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① 与平行；② 与是异面直线；③ 与成60°角；④ 与垂直。以上四个命题中，正确命题的序号是( C )
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
12．夹在两个平行平面间的两条线段AB、CD交于点O，已知AO=4，BO=2，CD=9，则线段CO、DO的长分别为______（ 6、3）
三、典例导悟：
13、 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
B
A
D
C
E
P
( 1 ) 证明：PA∥平面EDB；
( 2 ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值．
(1) 证明：提示，连结AC交BD于点O，连结EO．
(2) 解：作EF⊥DC交DC于F，连结BF．
设正方形ABCD的边长为a．∵ PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC．
∴ EF∥PD，F为DC的中点．∴EF⊥底面ABCD，
BF为BE在底面ABCD内的射影，
∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．
在Rt△BCF中，BF＝∵ EF＝PD＝，∴ 在Rt△EFB中，
tan∠EBF＝．所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为
14、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
C1
( 1 ) 求证：AC⊥BC1；
(2) 求证：AC1∥平面CDB1；D
B11
C

B1
(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
A1
解：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5．
∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；
A1
（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1
∴DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；
（3）∵DE∥AC1，∴CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED =
A1
A
B
C
B1
C1
E
F
M
N
D1
D
15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点．
(1) 求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值．
解：(1) 易证EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MN
AN∥BE 又MN∩AN＝N EF∩BE＝E
∴面AMN∥面EFDB
(2) 易证MN∥BD ∴∠AMN为AM与BD所成角
易求得 cos∠AMN＝

16. 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
（1） 证明：直线EE//平面FCC；
（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
F1
O
P
解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，
连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，
所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，
又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，
所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，
所以直线EE//平面FCC.
（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴,
在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
x
y
z
M
解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为
等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,
连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,
,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,
C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以,,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC.
（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,
,,
所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为.

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