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12级劳动与社会保障
第一章 行列式
1.1 行列式定义
一、排列
定义1.1 由自然数1 ，2 ，… ，n组成的全排列称为n级排列．记作
i1 i2 … in
n级排列共有n!个.
n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.一个n级排列i1 i2 … in的逆序总数称为此排列的逆序数，记作 t（i1 i2 … in） ．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．因 t（1 2 … n）= 0，所以排列1 2 … n是偶排列。我们称此排列为自然排列.
在计算排列的逆序数时，为了不重复和漏掉，可从排列的第一个数开始计算它与后面的数构成的逆序数，然后再将这些数的逆序数相加即可得排列的逆序数.
n级排列中互换两数的位置称为一次对换.若互换的是相邻两数，则称作相邻对换.
定理1.1 一次对换改变排列的奇偶性.
推论 在全部（n！）个n级排列中（n ≥ 2） ，奇排列、偶排列各占一半.
任意n级排列都可经有限次对换变成自然排列.
三、n阶行列式定义
定义1.2 将 个数排成n行n列，记
D== （1.1）
其中，符号“ ”表示对全部n级排列求和， n阶行列式的展开式共有n！个项.
当n=1时，1阶行列式 = a11 ．为了不与绝对值混淆，今后直接用数表示.
当n=2时，2阶行列式
= =
称行列式从左上角至右下角的对角线为主对角线，从右上角至左下角的对角线为副对角线或次对角线.
2阶行列式的展开式等于主对角线上两个元素的乘积减去副对角线上两个元素的乘积.
当n=3时，3阶行列式
=

=
特殊行列式：
1. 三角行列式.
（1）上三角行列式D = = a11 a22 … ann
（2）下三角行列式D== a1n a2，n-1 … an1
定义1.4
D= = （1.2）
可以证明行列式的两个定义等价.
§1.2 行列式的性质（常用于计算行列式）
1. 转置行列式
设n阶行列式D = ，将D中的行、列依次互换后所成的行列式称为D的转置行列式。记作 ．即
=
性质1 = D ．
性质2 互换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。
推论 有两行(列)相同的行列式等于零 .
性质3 行列式中某行(列)的公因子可以提到行列式外面来.即
= k
推论1 有一行（列）全为零的行列式等于零 .
推论2 有两行（列）成比例的行列式等于零.
性质4 若行列式D中某行的每个元素都是两数之和，则D可拆分成两个行列式：
D =
= ＋ = D1 ＋ D2
其中
D1=，D2=
性质5 将行列式中某行(列)元素的k倍加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变。即

§1. 3 行列式按行（列）展开定理（将高阶行列式转化为低阶行列式计算.）
一、行列式按一行（列）展开定理
例1 定义1.5 划去n阶行列式中元素aij 所在的行和列，其余（n-1）2个元素按原来的顺序组成的n － 1阶行列式称为元素aij 的余子式，记作 Mij ；记 Aij = Mij ，称Aij为元素aij 的代数余子式.

引理 若n阶行列式D的第i行元素中除aij 外全为零，则此行列式等于元素aij与它的代数余子式Aij的乘积. 即
D = = aij Aij
定理1.2 n阶行列式D等于它的任意一行（列）的元素与其代数余子式的乘积之和.即
D = （i= 1 ，2 ，… ，n ）
或
D = （j = 1 ，2 ，… ，n ）
推论 n阶行列式D中任意一行（列）元素与其它行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零.即
= 0 （ s ≠ i ）
= 0 （ s ≠ j ）
二、行列式按k行（列）展开定理——拉普拉斯（ Laplace ）定理
定义1.6 在n阶行列式D中任取k行、k列（1 ≤ k ≤ n） ，由这k行、k列的交叉点处的 个元素按原来的顺序组成的k阶行列式N称为D的一个k阶子式；在D中划去这k行、k列后余下的元素按原来的顺序组成的n － k阶行列式M称为N的余子式； 设这k行、k列的行标与列标分别为i1 ，i2 ，… ，ik 及 j1 ，j2 ，… ，jk ，称
M
为N的代数余子式，记作A ．
定理1.3 （Laplace） n阶行列式D等于其取定的k行（列）的所有k阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和.
设取定D的k行所得的所有k阶子式为N1 ，N2 ，… ，Nt，其对应的代数余子式为A1 ，A2 ，… ，At，则
D = （1.9）
其中t =
§1.4 行列式的计算
1．定义法
按行列式的定义计算行列式的方法称为定义法.
n阶行列式按定义的展开式中共有n！个项，其中每一项都是取自不同行及不同列的n个元素的乘积，求和时只须找出非零项即可，因此，如果行列式中有很多零元素，则展开式中非零项就很少，这种类型的行列式适合用定义计算.
例1 计算行列式

解 该行列式中的非零元素只有n个，它们恰来自不同的行与列，因此该行列式只有一个非零项，故
=
2．降阶法
利用行列式按行（列）展开定理计算行列式的方法称为展开降阶法简称降阶法.
例2 计算n阶行列式

解

3．三角形法
将行列式化为三角形行列式计算的方法称为三角形法
例2 计算n阶行列式
D =
解 这个行列式的特点是各列元素之和相同, 因此将第2,3, …,n列加到第一列, 然后提取公因子,再化为三角形：
D
=

=
例4

解 这种行列式称为爪形行列式，它的算法是化为三角形行列式.

例5 计算n阶行列式

解 该行列式的各列只有对角线上的元不同.这种行列式可先化为爪形，然后再化为三角形：

4．递推法
利用行列式按行（列）展开定理将行列式展开降阶后，得到n阶行列式与具有和它相同结构的较低阶行列式的线性关系式，即递推公式，然后反复利用递推公式将n阶行列式降至二阶，再将二阶行
列式算出代入从而最终将行列式计算出来，这种方法称为递推法
例6 计算n阶行列式

解

这里Dn－1 ，Dn－2，…，D2是与Dn 具有相同结构的n － 1，n － 2，…，2阶行列式.
例7计算2 n阶行列式

行列式中空白位置的元素皆为零.
解 按第1 、2 n行展开，因位于这两行的全部2阶子式中只有一个（即位于第1 、2 n列的 ）
可能非零，它的余子式为 ，故得
D2n =·
= D2(n-1)
即得递推公式
D2n=D2(n-1)
从而
D2n = D2(n-1) =
= … = …
= …
=
5. 数学归纳法
例8 证明范德蒙(Vandermonde)行列式
Vn = = （1.10）
证 对行列式的阶数n使用数学归纳法．
1º 当 n = 2 时
V2 = = =
结论成立.
2º 假设结论对n － 1阶范德蒙行列式成立.
3º n阶时

按第1列展开并提取公因子，得
Vn =（）（）…（）
上式右端的行列式是n － 1阶范德蒙行列式，故由归纳法假设，得
Vn =（）（）…（） =
于是，对任意n阶范德蒙行列式，结论成立.
数学归纳法一般适用于行列式的结论给出时使用.
6．化为范德蒙行列式计算
有的行列式可利用范德蒙行列式的结论计算，因此记住范德蒙行列式的结论是必要的.
例9 计算行列式

解

7. 升阶（加边）法
给行列式加上一行和一列从而阶数升高, 然后再对行列式进行化简计算的方法称为升阶法.
升阶法一般适合各列中只有对角线元不同的行列式.
例10 用升阶法计算例5的行列式

解

=
§1.5 克莱姆法则
行列式应用于含有n个未知数n个方程的线性方程组的唯一解的判定与求解
定理1．4 （克莱姆（ Cramer） 法则 ）若线性方程组
（1.10）
的系数行列式
D = ≠ 0
则它有唯一解
， ，… ， （1.11）
其中Dj（ j = 1 ，2 ，… ，n ）是将D中的第j列元素依次换成（1．10）的常数项所得到的行列式．即Dj = （ j= 1 ，2 ，… ，n ）
定义1.7 若方程组（1．10）右边的常数全为零：
（1.13）
则称它为齐次线性方程组.
推论1 若n元齐次线性方程组（1.13）的系数行列式D ≠ 0 ，则（1.13）只有零解.
例3 推论2 若n元齐次线性方程组（1.13）有非零解，则其系数行列式D = 0 ．

习题
1. 计算行列式
D =
2. 计算行列式

3. 设

其中，Mij为D中元素aij的余子式，Aij为D中元素aij的代数余子式.（ i ，j = 1 ，2 ，3 ，4 ）

4. 设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是平面上的三个点（如图），求三角形ABC的面积.

5. 计算行列式
D =
6. 计算行列式
D =

7. a，b，c满足什么条件时，线性方程组

只有零解？

8. 试讨论当取何值时线性方程组

有唯一解.

答案：
1.解 分析：在计算行列式时要注意观察其元素的特点，如果行列式每行元素之和相等，则可先将行列式的各列加在一起再提取公因子.这个行列式每行元素之和都是x+n-1，于是可按此法进行.

2. 解

3. 解（1）此式等于将原行列式的第一行元素换成系数1，1，-1，2以后的行列式.

（2）是D中第四行元素与D中第二行元素的代数余子式的乘积之和， 由定理1.2的推论知，此和等于零.即
= 0
（3）
=
4. 解 如图有

由题可知三角形的面积可由行列式计算，由此还可得到A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点共线的充要条件是

5. 解 因D中第2 、4行的 = 6 个2阶子式中只有一个是非零的.故按第2 、4行展开得
D = · = 35
6. 解 （同行列式按一行（列）展开计算时一样，我们只须找出展开公式中的非零项或可能的非零项即可.如果取定前 m 列，则它的所有m阶子式中只有取第1，2，…，m行的子式所对应的余子式可能非零，于是乘积中只有一个可能的非零项.）
按前 m 列展开，得
D =
=
类似可得：
=
这两个结论今后可直接用于计算相应形式的行列式.
7. 解 该方程组是齐次线性方程组，其系数行列式是3阶范德蒙行列式：

当D ≠ 0时即a，b，c互不相同时原方程组只有零解.
应当指出，用克莱姆法则讨论线性方程组的解时，必须具备方程个数等于未知数个数这个条件.
8. 解 系数行列式

故当 时方程组有唯一解.
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