直线与圆的位置关系教学案.doc

直线与圆的位置关系教学案例设计
兆麟初级中学 李丹

学情分析
学生具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力，学习新知识速度快模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，但在某种程度上特别是平面几何问题上，学生还是依靠事物的具体直观形象．为了加强他们的自学能力，提高课堂效率，根据他们的特点，本节课以学生自主探究方式完成学习，选择联系生活中的实际问题，适合学生的习题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学能力，通过一定练习，激发学生的求知欲和自信心．

教学目标

知识与能力目标：

1.知道直线和圆相交，相切，相离的定义并会根据定义来判断直线和圆的位置关系；
2．能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来揭示直线和圆的位置关系；也能根据联立方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系。
3．掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题。

过程与方法目标：

让学生通过观察，看图，分析，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的位置关系。培养学生借助直观解决抽象问题的能力，也就是由数到形，有形到数；有直观到抽象、由抽象到直观的转化能力（数形结合的思想）。

情感态度与价值观目标：
通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养学生合作交流的科学态度。
教学重点与难点

教学重点
直线和圆位置关系的判断和应.
教学难点
通过解方程组来研究直线和圆的位置关系。
教学方法

情景教学法、问题探究法、小组合作讨论、体验学习法
教学准备

学生准备
圆规，直尺，圆形纸片3个
教师准备
制作多媒体课件，搜集生活中直线与圆的位置关系的图片.
教学方法及设计思路

在课堂教学中，必须以学生为主体，教师在教学中起主导作用。本节课主要是如何判断直线与圆的位置关系，学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流。
整体思路 创设情景→激发兴趣→自主探究,讨论归纳→得出新知→尝试练习→感知新知
典例分析→应用新知→归纳方法,知识升华→课堂练习
问题预设
教学过程设计

设计意图

问题1
通过何种方法可以确定点和圆的位置关系

2.图示与数值之间有何种关系

3.三条线段相比较你有和发现
（一）复习提问
问题1：前面我们学习了点和圆的位置关系？请大家回忆一下点和圆有几种位置关系．
生：点在圆上，点在圆外，点在圆内．
师：如何判断点与圆的位置关系的？
生：点到圆心的距离与圆的半径的比较．设点到圆心的距离为d，圆的半径为r
（1）当d>r时，点在圆外．
（2）当d=r时，点在圆上．
（3）当d<r时， 点在圆内．
问题2 动手画出这几种对应的位置关系图

师：（1）A点在 圆内 OA r；
（2）B点在 圆上 OB r；
（3）C点在 圆外 OC r．
问题3 如图，O是直线外一点，A、B、C、D是直线上的点，且OD⊥，线段 OD 的长度是点O到直线的距离．

生：OD的长度是O到直线的距离．
师：我们分别以OA、OB、OC、OD为半径画圆，会到的怎样的图形
小组之间欣赏：看看同学们画的图形

通过问题引导学生复习回顾旧知，以实现对点与圆位置关系的归纳总结，能及时反馈旧知识的掌握情况，为直线与圆的位置关系的学习作好铺垫

学生动手能可以使知识更加形象鲜明，形成知识能力

4.看着初升的太阳我们不仅看到了美丽。还能看到什么？

5.通过观察就可以解决的问题，为何要小组探究解决

6.学生如何把圆心、直线圆三者相联系？

7.数与形的结合在于抽象与形象的结合

8.知识的双向应用对学生的认知有一定的影响，怎样解决？

9.知识学习简单，应用不易，如何转换学生的双向思维

10.知识应用结合前知，有一定的困难要小组先讨论，解决问题的突破点在哪？
（二）探索新知
1.创设情境：

给出一段太阳东升西落的视频，让学生在美的境界中进入学习状态．观察在太阳升起的过程中，其周边与地平线有几个交点？

我们对刚才的景象进行数学的抽象不难发现，直线和圆在相对运动过程中会有三种不同的位置关系．请大家观察直线与圆处在不同位置关系时有哪些不同点（引导学生 观察图形，发现问题）

直线与圆处在不同位置关系时直线与圆的公共点个数不同．（将公共点个数确立为直线和圆位置关系分类的原则，对三种分类进行定义）
问题1 那大家想一想，直线与圆公共点有几种情况呢？
生：有三种，没有公共点，一个公共点，两个公共点．
师：在黑板上画出这三种情况．

2.揭示课题 ——直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系只有 、 和 三种（学生口述教师板书）
1．直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．
2．直线与圆有惟一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线．
3．直线与圆没有公共点时，叫直线与圆相离．

3.得出新知：
直线与圆的三种位置关系中r和d满足的关系：
直线与圆相离 ＜＝＞ d﹥r
直线（切线）与圆相切 ＜＝＞ d﹦r
直线（割线）与圆相交 ＜＝＞ d﹤
练习１．已知圆的半径是5.5cm，圆心到直线的距离为d，当d=7.5 cm时，直线与圆有 个公共点，当d=5 cm时，直线与圆有 个公共点，当d=5.5cm时直线与圆有 个公共点。
问题2. 如何结合圆心与直线的距离看待直线与圆的位置关系
师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程．可以展示下面的表格，使问题直观形象．
直线与圆的位置关系
公共点个数
与的关系
图形
相交
两个

相切
一个

相离
没有

练习2 ：如果⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d =5，若⊙O与直线l至少有一个公共点，则r需满足的条件是 。
问题3 如何利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判别直线与圆的位置关系

比较与的大小，确定直线与圆的位置关系．
教师巡视，督促自学和学法指导，引导学生解决自学过程中存在的问题．

直线和⊙O相交 d <r
直线和⊙O相切 d = r
直线和⊙O相离 d > r

4.例题讲解
例1.已知⊙O的直径为10．
（1）如果圆心O到直线 l 的距离为4，那么直线 l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
（2）如果圆心O到直线 l 的距离为 5，那么直线 l 与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
（3）如果圆心O到直线 l 的距离为 6，那么直线 l 与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
解析：判断直线与圆的位置关系要考虑那几个量，已知中有怎样的量?它们与你需要的量之间又怎样的关系？
学生小组讨论后，形成解题思路，老师指导，可独立写出过程
解：（1）⊙O的半径为5
即r=5
圆心O到直线 l 的距离为4
可以得出
d=4
4<5
符合d <r
所以直线和⊙O相交
学生独立完成（2）（3）

例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB
有怎样的位置关系？为什么？
(1)r=2cm； (2)r=2.4cm (3)r=3cm．

分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需
求出C到AB的距离d。

即圆心C到AB的距离d=2.4cm
所以 (1)当r=2cm时, 有d>r, 因此⊙C和AB相离。

借助媒体演示，形象地得到圆与直线的位置关系，激发学生学习的兴趣. 通过学生观察，“太阳”升起的过程中，太阳周边与地平线形成三中明显的位置关系画面

用直线与圆展现
交点情况： 
（1）没有交点 
（2）只有一个交点 
（3）有两个交点

体现数形结合思想
学生由想象过度到实物演示，让学生直观看到变化过程，由抽象到具体，形成知识

让学生体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有．

这样设计教学程序，能使学生在探究过程中产生认知冲突，激发他们探究新知的欲望

激发他们学习数学的兴趣，渗透数学结合思想

巩固已有知识

形成知识的双向应用

对已有知识系统理解应用

详细过程为了是学生思维形成有理有据，为了阐明数学逻辑的严密性

分类讨论思想．锻炼学生的思维的严谨性.

先作辅助线；然后求出圆心
到直线的距离；下面再作出比较，并下结论．

分层设计练习
（三）知识应用，解决问题
1．下列直线是圆的切线的是（ ）
A、与圆有公共点的直线． B、到圆心的距离等于半径的直线．
C、到圆心距离大于半径的直线． D、到圆心的距离小于半径的直线．
2．⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线的距离是d，则
d与R的大小关系是（ ）
A． d>R B． d<R C． dR D． dR
3．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：
① 以点C为圆心，1.3cm 长为半径的圆与AB相离；
② 以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；
③ 以点C为圆心，2.5cm 长为半径的圆与AB相交，上述结论中正确的个数是（ ）
A．0个 B 1个 C．2个 D．3个
4．△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：
（1）当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是_____．
（2）当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是_____
（3）当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是_____

知识归纳

图形

直线与圆的位置关系
相离

相切
相交
公共点个数
0

1
2

圆心到直线的距离d与半径r的关系
d>r

d=r
d<r
公共点的名称

切点

交点
直线名称

切线

割线

教学反思：

在讲解直线与圆的位置关系的判定的过程中，采用小组讨论的方法，培养学生互助、协作的精神。从现实生活中抽象出数学模型，体现了数学产生于生活的思想，并且将新旧知识进行了类比、转化，充分发挥了学生的主观能动性，体现了学生是学习的主体，真正成为学习的主人，转变了角色。
学生小结，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。然后老师在多媒体打出图表。本节课的设计，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。教学过程中，以问题为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间。让学生体验到数学活动充满了探索和创造。在教学过程中，注意到培养学生合作交流的意识和能力。