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空间向量在立体几何中的应用
重点难点
重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系和求空间的角、距离
难点：将立体几何问题转化为向量问题．
知识归纳
一、空间中的角
空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角．这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小．
1．异面直线所成的角：异面直线的夹角一般采用平移法，把它们化归到一个三角形中再通过解三角形求得．而利用向量法则可直接运用两直线的方向向量的夹角公式来求得．其取值范围是(0°,90°].
2．直线和平面所成的角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．直线与平面所成角θ的范围是[0°,90°]．
θ＝0°时，直线在平面内或与平面平行．
θ＝90°时，直线与平面垂直．
3．二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内以O为垂足作棱的垂线OA与OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的取值范围是[0°,180°). θ＝0°时两个半平面共面；0°<θ<90°时为锐二面角；θ＝90°时为直二面角；90°<θ<180°时为钝二面角．
作二面角的平面角的常用方法有：
(1)定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角．
(2)三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是∠PBA是二面角的平面角(或其补角)．
(3)垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角．
二、空间中的距离
1．(1)两点间的距离——连结两点的线段的长度．
(2)点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度．
(3)点到平面的距离——从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度．
连接平面α外一点与平面α内任一点的线段中，垂线段最短．
(4)平行直线间的距离——从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度．
(5)异面直线间的距离——两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度．
(6)直线与平面间的距离——如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度．
(7)两平行平面间的距离——两个平面的公垂线段的长度．
2．求距离的一般方法和步骤
求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤是：
①找出或作出有关距离的图形；
②证明它符合定义；
③在平面图形内计算．
空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法．
三、平面的法向量
1．如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．
2. 求平面法向量的方法
设n是平面M的一个法向量，AB、CD是M内的两条相交直线，则=0，=0. 由此可以求出一个法向量n（及已知）.
思想方法点拨
一、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤
①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量的坐标；④结合公式进行计算，论证；⑤转化为几何结论．
二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系
1．用向量方法研究两直线间的位置关系
设直线l1、l2的方向向量分别为a、b.
(1) l1∥l2或l1与l2重合⇔a∥b⇔存在实数t，使a＝tb.
(2) l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0.
2．用向量方法研究直线与平面的位置关系
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，v1、v2是与α平行的两个不共线向量．
(1)l∥α或l⊂α⇔存在两个实数λ、μ，使a＝λv1＋μv2⇔a·n＝0.
(2)l⊥α⇔a∥n⇔存在实数t，使a＝tn.

3．用向量方法研究两个平面的位置关系
设平面α、β的法向量分别为n1、n2.
(1)α∥β或α与β重合⇔ n1∥n2⇔存在实数t，使n1＝t n2.
(2)α⊥β⇔ n1⊥n2⇔ n1·n2＝0.
若v1、v2是与α平行的两个不共线向量，n是平面β的法向量．
则①α∥β或α与β重合⇔ v1∥β且v2∥β⇔存在实数λ、μ，对β内任一向量a，有a＝λv1＋μv2.
②
三、用向量法求空间的角
1．求异面直线所成的角
设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，则〈a，b〉与θ相等或互补，则.
2. 求直线与平面所成的角
如图，设l为平面的斜线，，a为的方向向量，n为平面的法向量，为l与平面所成的角，则
3、求二面角
平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，< n1，n2>= ，则二面角为或. 设二面角的大小为，则.
四、用向量法求空间距离
1、求点到平面的距离
如图所示，已知点，平面内一点，平面的一个法向量n，直线与平面所成的角为，，则. 由数量积的定义知，n=|n|||，所以点到平面的距离.
2、求异面直线间的距离
如右图，若CD是异面直线a，b上的公垂线，A、B分别是a，b上的任意两点，令向量n⊥a，n⊥b，则n//CD. 则由得，·n=·n+·n+·n，所以·n=·n，所以|·n|=|·n|，故，所以，异面直线a、b间的距离为.
3、求直线到平面的距离
设直线a//平面，，，n是平面的法向量，过A作，垂足为C，则//n. 因为·n= ·n=·n，
所以|·n|=||·|n|，故直线a到平面的距离为
4、求两平行平面间的距离
（1）用公式求，n为两平行平面的一个法向量，A、B分别为两平面上的任意点.
（2）转化为点面距或线面距求解.
课堂典例讲练
题型一 用向量证明平行
[例1]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明：方法1：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是＝，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·＝0，且n·＝0，∴，
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n，又∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
方法2：∵＝－＝－＝(－)＝，
∴∥，又∵MN⊄平面A1BD.
∴MN∥平面A1BD.
点评：(1)证明直线l1∥l2时，分别取l1、l2的一个方向向量a、b，则a∥b⇔存在实数k，使a＝kb或利用其坐标＝＝(其中a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．
(2)证明直线l∥平面α时，
①可取直线l的方向向量a与平面α的法向量n，证明a·n＝0；
②可在平面α内取基向量{e1，e2}，证明直线l的方向向量a＝λ1e1＋λ2e2，然后说明l不在平面α内即可；
③在平面α内找两点A、B，证明直线l的方向向量n∥.
(3)证明平面α∥平面β时，设α、β的法向量分别为a、b，则只须证明a∥b.
题型二 用向量证明线面垂直
[例2]　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.
证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，
则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，M(1,1，m)．∴＝(－1,1,0)，
又E、F分别为AB、BC的中点，
∴＝＝.
又∵＝，＝(1,1，m－1)，
∵D1M⊥平面FEB1，∴D1M⊥EF且D1M⊥B1E.
即·＝0，且·＝0.
∴，∴m＝.
故取B1B的中点M就能满足D1M⊥平面EFB1.
点评：①证明直线 l1与l2垂直时，取l1、l2的方向向量a、b，证明a·b＝0.
②证明直线l与平面α垂直时，取α的法向量n，l的方向向量a，证明a∥n.
或取平面α内的两相交直线的方向向量a、b与直线l的方向向量e，证明a·e＝0，b·e＝0.
③证明平面α与β垂直时，取α、β的法向量n1、n2，证明n1·n2＝0.或取一个平面α的法向量n，在另一个平面β内取基向量{e1，e2}，证明n＝λe1＋μe2.
题型三 用向量法证明面面垂直与面面平行
[例3]　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证：
(1)平面ADE∥平面B1C1F；
(2)平面ADE⊥平面A1D1G；
(3)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.
解析：以D为原点，、、为正交基底建立空间直角坐标系O－xyz，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，G(0,1,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则n1⊥，n1⊥.
∴，∴，
取y1＝1，z1＝－2，∴n1＝(0,1，－2)．
同理可求n2＝(0,1，－2)．
∵n1∥n2，∴平面ADE∥平面B1C1F.
(2)∵·＝(2,0,0)·(0,1，－2)＝0，∴⊥.
∵·＝(0,2,1)·(0,1，－2)＝0，∴⊥.
∵、不共线，∴D1G⊥平面ADE.
又∵D1G⊂平面A1D1G，∴平面ADE⊥平面A1D1G.
(3)由于点M在AE上，所以可设＝λ·＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，
∴M(2,2λ，λ)，＝(0,2λ，λ－2)．
要使A1M⊥平面DAE，只需A1M⊥AE，
∴·＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，
∴λ＝.故当AM＝AE时，A1M⊥平面DAE.
跟踪练习1
已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)证明：平面PAD⊥平面PAB.
证明：(1)取BC的中点O，
∵侧面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，
∴PO⊥底面ABCD.
以O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．
不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝.
∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)．
∴＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－)．
∵·＝0，∴⊥，∴PA⊥BD.
(2)取PA的中点M，连结DM，则M.
∵＝，＝(1,0，－)，
∴·＝0，∴⊥，即DM⊥PA.
又·＝0，∴⊥，即DM⊥PB.
∴DM⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB.
点评：线线垂直即直线的方向向量垂直；线面垂直即直线的方向向量与平面的法向量平行；面面垂直即二平面的法向量垂直.

题型四 用向量法求异面直线所成的角
[例4]　如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形
BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1
分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．
(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；
(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．
思维启迪：本题可方便地建立空间直角坐标系，通过点的坐标得到向量坐标，然后求解．
(1)证明　以D为原点，、、分别为z轴、y轴、x轴的正向，||为1个单位长度建立空间直角坐标系．
由题设知点E、F、G1、E1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，
∴＝(0,1，－1)，＝(0，－1，－1)，＝(－1,0,0)，
∴·＝0，·＝0⇒⊥，⊥，
又∵EE1∩FE1＝E1.∴FG1⊥平面FEE1.
(2)解　由题意知点A的坐标为(2,0,0)，
又由(1)可知＝(1，－2，－1)，＝(0，－2,0)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴sin〈，〉＝＝.
探究提高　用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cos θ＝|cos α|.

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值．
解　以A为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是＝(1,3,2)，＝(－4,2,2)，设EC1与FD1

所成的角为β，则：
cos β＝
＝＝，
∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.

题型五 线面角
例2　如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，
垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．
(1)证明：PE⊥BC；
(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
思维启迪：平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的法向量．
(1)证明　以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)．
设C(m,0,0)，P(0,0，n) (m<0，n>0)，则D(0，m,0)，E.
可得＝，＝(m，－1,0)．
因为·＝－＋0＝0，所以PE⊥BC.
(2)解　由已知条件可得m＝－，n＝1，
故C，D，E，
P(0,0,1)．
设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，
则即
因此可以取n＝(1，，0)．又＝(1,0，－1)，
所以|cos〈，n〉|＝.
所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.
探究提高　利用向量法求线面角的方法：
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，且AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．

(1)证明　设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，，0)．
所以＝(1，－1，)，＝(－，－，0)．
因为·＝－＋＋0＝0，
所以CM⊥SN.
(2)解　设平面CMN的法向量为n＝(x，y，z)，
则.
∴y＝x，z＝－x，取x＝2，
则n＝(2,1，－2)为平面CMN的一个法向量．
∴cos〈n·〉＝
＝＝－.
∴〈n·〉＝135°，
故SN与平面CMN所成角的大小为45°.

题型六　求二面角
例3　(2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩
形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．
思维启迪：利用图中的PA⊥平面ABCD、ABCD为矩形的条件建立空间直角坐标系，转化为向量问题．
(1)证明　∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD.
同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD.
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.
(2)解　如图，

分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系．
由(1)知BD⊥平面PAC，
又AC⊂平面PAC，
∴BD⊥AC.
故矩形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．
∴＝(2,0，－1)，＝(0,2,0)，＝(－2,2,0)．
设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则　即
∴取x＝1得n＝(1,0,2)．
∵BD⊥平面PAC，∴＝(－2,2,0)为平面PAC的一个法向量．
cos 〈n，〉＝＝－.
设二面角B－PC－A的平面角为α，由图知0<α<，
∴cos α＝，sin α＝＝.
∴tan α＝＝3，
即二面角B－PC－A的正切值为3.
探究提高　求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
(2011·辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角Q—BP—C的余弦值．
(1)证明　如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，以DA、DP、DC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，
＝(1，－1,0)．
所以·＝0，·＝0，
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
又DQ∩DC＝D，所以PQ⊥平面DCQ.
又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)解　依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．
设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，
则　即
因此可取n＝(0，－1，－2)．
同理，设m是平面PBQ的法向量，则
可取m＝(1,1,1)．所以cos〈m，n〉＝－.
故二面角Q—BP—C的余弦值为－.

题型七 异面直线间的距离
[例7]　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.求异面直线DA1与AC的距离．
解析：如图建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)、C(0,1,0)、B1(1,1,1)、A1(1,0,1)，向量＝(－1,1,0)，＝(1,0,1)，＝(1,0,0)．
设向量n＝(x，y,1)，且n⊥，n⊥，则
，解得，
所以n＝(－1，－1,1)．
∴异面直线DA1与AC的距离为d＝＝＝.
题型八 点、线、面到平面的距离
[例8]　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)，
设平面ABC1的法向量为n＝(x，y,1)，
则有，解得n＝，
则d＝＝＝.
答案：
跟踪练习3
如图所示，已知边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥平面ABC，且PA＝2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α间的距离．
解析：设、、的单位向量分别为e1、e2、e3，选取{e1，e2，e3}作为空间向量的一组基底，易知
e1·e2＝e2·e3＝e3·e1＝0，
＝2e1，＝2e2，＝2e3，
＝＋＝＋＝＋(＋)＝－2e1＋e2＋e3，
设n＝xe1＋ye2＋e3是平面α的一个法向量，则n⊥，n⊥，
∴⇒⇒
⇒，∴n＝e1＋e3
∴直线AE与平面α间的距离为d＝＝＝.
题型九 求线段长
[例9]　如图所示，在60°的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AB＝AC＝BD＝a，求线段CD的长．
分析：欲求线段CD的长，将|CD|看作是的模，将用已知长度及夹角关系的，，来表示，其中与所成的角等于二面角的大小.
解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
又因为二面角α－AB－β为60°的二面角，
∴<，>＝120°，
于是||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3a2＋2a2cos120°＝3a2－a2＝2a2，∴CD＝a
点评：|a|2＝a·a，将求线段长的问题转化为向量的数量积运算是求距离的主要方法．

跟踪练习4
(2010·河北邯郸市模考)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为a，D是棱A1C1的中点．
(1)求证：BC1∥平面AB1D；
(2)求二面角A1－AB1－D的大小；
(3)求点C1到平面AB1D的距离．
[解析]　(1)连结A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，∵D为A1C1的中点，∴DE为△A1BC1的中位线，
∴BC1∥DE.
又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，
∴BC1∥平面AB1D.
(2)解法1：过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面ABB1A1，连结EF，DE，在正△A1B1C1中，∴B1D＝A1B1＝a，
由直角三角形AA1D中，AD＝＝a，
∴AD＝B1D，∴DE⊥AB1，
由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1.
则∠DEF为二面角A1－AB1－D的平面角，
又DF＝a，∵△B1FE∽△B1AA1，
∴＝⇒EF＝a，∴∠DEF＝.
故所求二面角A1－AB1－D的大小为.
解法2：(向量法)
建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，－a,0)，B1(0，a，a)，
C1(－a,0，a)，A1(0，－a，a)，D(－a，－a，a)．
∴＝(0，a，a)，＝(－a，－a,0)．
设n＝(x，y，z)是平面AB1D的一个法向量，则可得
即，
取y＝1可得n＝(－，1，－)．
又平面ABB1A1的一个法向量n1＝＝(－a,0,0)，设n与n1的夹角是θ，则cosθ＝＝.
又知二面角A1－AB1－D是锐角，
所以二面角A1－AB1－D的大小是.
(3)解法1：设点C1到平面AB1D的距离为h，因AD2＋DB＝AB，所以AD⊥DB1，故S△ADB1＝2＝a2，而S△C1B1D＝S△A1B1C1＝a2，
由VC1－AB1D＝VA－C1B1D⇒S△AB1D·h
＝S△C1B1D·AA1⇒h＝a.
解法2：由(2)知平面AB1D的一个法向量n＝(－，1，－)，＝(－a，a，a)，
∴d＝＝＝a.
即C1到平面AB1D的距离为a.
练习题
1．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BA1和AC所成的角的大小为(　　)
A．45°　　 　 B．60°　　 　 C．90°　　 　 D．30°
[答案]　B
[分析]　先选取基向量，将与用基向量表示，然后依据两向量夹角公式求出〈，〉，再转化为异面直线所成的角，或建立空间直角坐标系，用坐标法求解．
[解析]　解法1：以，，为基向量，则·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝－||2＝－a2，||＝a，||＝a，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
∴〈，〉＝120°，
∴异面直线BA1与AC成60°角．
解法2：以B为原点，BC，BA，BB1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,1,0)，C(1,0,0)，A1(0,1,1)，
∴＝(0,1,1)，＝(1，－1,0)，∴cos〈，〉＝＝＝－，∴〈，〉＝120°，∴异面直线与所成角为60°，故选B.
解法3：在正方体中，AC∥A1C1，A1C1＝A1B＝BC1，
∴∠BA1C为异面直线BA1与AC所成的角，且∠BA1C＝60°.
2．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)
A．150° B．45° C．60° D．120°
[答案] C 由条件知，·＝0，·＝0，＝＋＋.
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉
＝116＋96cos〈，〉＝(2)2，∴cos〈，〉＝－，
∴〈，〉＝120°，所以二面角的大小为60°.
3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为 (　　)
A. B. C. D.
[答案]　B
[解析]　解法1：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AF⊥A1E，垂足为F.
∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC，
∵AB＝AC.∴AE⊥BC. ∴BC⊥平面AEA1. ∴BC⊥AF，又AF⊥A1E，
∴AF⊥平面A1BC. ∴AF的长即为所求点A到平面A1BC的距离．
∵AA1＝1，AE＝，∴AF＝.
解法2：VA1－ABC＝S△ABC·AA1＝××1＝.
又∵A1B＝A1C＝，在△A1BE中，A1E＝＝2.
∴S△A1BC＝×2×2＝2. ∴VA－A1BC＝×S△A1BC·h＝h.
∴h＝，∴h＝.∴点A到平面A1BC距离为.
4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
[解析]　分别取AB、A1B1的中点D、D1，连结DD1，以、、为正交基底建立空间直角坐标系，则A－，0,0，C1，＝，a，a，
平面ABB1A1的一个法向量为n＝(0,1,0)，
则cos〈，n〉＝＝.∴〈，n〉＝.
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.