空间向量在立体几何中的应用.doc

空间向量在立体几何中的应用重点难点重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系和求空间的角、距离难点：将立体几何问题转化为向量问题知识归纳一、空间中的角空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小1异面直线所成的角：异面直线的夹角一般采用平移法，把它们化归到一个三角形中再通过解三角形求得而利用向量法则可直接运用两直线的方向向量的夹角公式来求得其取值范围是(0,90.2直线和平面所成的角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角直线与平面所成角的范围是0,900时，直线在平面内或与平面平行90时，直线与平面垂直3二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内以O为垂足作棱的垂线OA与OB，则AOB叫做二面角的平面角二面角的取值范围是0,180). 0时两个半平面共面；090时为锐二面角；90时为直二面角；90180时为钝二面角作二面角的平面角的常用方法有：(1)定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角(2)三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是PBA是二面角的平面角(或其补角)(3)垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角二、空间中的距离1(1)两点间的距离连结两点的线段的长度(2)点到直线的距离从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度(3)点到平面的距离从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度连接平面外一点与平面内任一点的线段中，垂线段最短(4)平行直线间的距离从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度(5)异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度 (6)直线与平面间的距离如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度(7)两平行平面间的距离两个平面的公垂线段的长度2求距离的一般方法和步骤求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤是：找出或作出有关距离的图形；证明它符合定义；在平面图形内计算空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法三、平面的法向量1如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a，那么向量a叫做平面的法向量2. 求平面法向量的方法设n是平面M的一个法向量，AB、CD是M内的两条相交直线，则=0，=0. 由此可以求出一个法向量n（及已知）.思想方法点拨一、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量的坐标；结合公式进行计算，论证；转化为几何结论二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系1用向量方法研究两直线间的位置关系设直线l1、l2的方向向量分别为a、b.(1) l1l2或l1与l2重合ab存在实数t，使atb.(2) l1l2abab0.2用向量方法研究直线与平面的位置关系设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，v1、v2是与平行的两个不共线向量(1)l或l存在两个实数、，使av1v2an0.(2)lan存在实数t，使atn.3用向量方法研究两个平面的位置关系设平面、的法向量分别为n1、n2.(1)或与重合 n1n2存在实数t，使n1t n2.(2) n1n2 n1n20.若v1、v2是与平行的两个不共线向量，n是平面的法向量则或与重合 v1且v2存在实数、，对内任一向量a，有av1v2.三、用向量法求空间的角1求异面直线所成的角设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为，则a，b与相等或互补，则.2. 求直线与平面所成的角如图，设l为平面的斜线，a为的方向向量，n为平面的法向量，为l与平面所成的角，则3、求二面角平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，= ，则二面角为或. 设二面角的大小为，则.四、用向量法求空间距离1、求点到平面的距离如图所示，已知点，平面内一点，平面的一个法向量n，直线与平面所成的角为，则. 由数量积的定义知，n=|n|，所以点到平面的距离.2、求异面直线间的距离如右图，若CD是异面直线a，b上的公垂线，A、B分别是a，b上的任意两点，令向量na，nb，则n/CD. 则由得，n=n+n+n，所以n=n，所以|n|=|n|，故，所以，异面直线a、b间的距离为.3、求直线到平面的距离设直线a/平面，n是平面的法向量，过A作，垂足为C，则/n. 因为n= n=n，所以|n|=|n|，故直线a到平面的距离为 4、求两平行平面间的距离（1）用公式求，n为两平行平面的一个法向量，A、B分别为两平面上的任意点.（2）转化为点面距或线面距求解.课堂典例讲练 题型一 用向量证明平行例1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD.证明：方法1：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是，设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)则n0，且n0，取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n，又MN平面A1BD，MN平面A1BD.方法2：()，又MN平面A1BD.MN平面A1BD.点评：(1)证明直线l1l2时，分别取l1、l2的一个方向向量a、b，则ab存在实数k，使akb或利用其坐标(其中a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(2)证明直线l平面时，可取直线l的方向向量a与平面的法向量n，证明an0；可在平面内取基向量e1，e2，证明直线l的方向向量a1e12e2，然后说明l不在平面内即可；在平面内找两点A、B，证明直线l的方向向量n.(3)证明平面平面时，设、的法向量分别为a、b，则只须证明ab. 题型二 用向量证明线面垂直例2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M平面EFB1.证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，M(1,1，m)(1,1,0)，又E、F分别为AB、BC的中点，.又，(1,1，m1)，D1M平面FEB1，D1MEF且D1MB1E.即0，且0.，m.故取B1B的中点M就能满足D1M平面EFB1.点评：证明直线 l1与l2垂直时，取l1、l2的方向向量a、b，证明ab0.证明直线l与平面垂直时，取的法向量n，l的方向向量a，证明an.或取平面内的两相交直线的方向向量a、b与直线l的方向向量e，证明ae0，be0.证明平面与垂直时，取、的法向量n1、n2，证明n1n20.或取一个平面的法向量n，在另一个平面内取基向量e1，e2，证明ne1e2.题型三 用向量法证明面面垂直与面面平行例3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证：(1)平面ADE平面B1C1F；(2)平面ADE平面A1D1G；(3)在AE上求一点M，使得A1M平面DAE.解析：以D为原点，、为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，G(0,1,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)(1)设n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则n1，n1.，取y11，z12，n1(0,1，2)同理可求n2(0,1，2)n1n2，平面ADE平面B1C1F.(2)(2,0,0)(0,1，2)0，.(0,2,1)(0,1，2)0，.、不共线，D1G平面ADE.又D1G平面A1D1G，平面ADE平面A1D1G.(3)由于点M在AE上，所以可设(0,2,1)(0,2，)，M(2,2，)，(0,2，2)要使A1M平面DAE，只需A1MAE，(0,2，2)(0,2,1)520，.故当AMAE时，A1M平面DAE.跟踪练习1已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)证明：平面PAD平面PAB.证明：(1)取BC的中点O，侧面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，PO底面ABCD.以O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系不妨设CD1，则ABBC2，PO.A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)(2，1,0)，(1，2，)0，PABD.(2)取PA的中点M，连结DM，则M.，(1,0，)，0，即DMPA.又0，即DMPB.DM平面PAB，平面PAD平面PAB.点评：线线垂直即直线的方向向量垂直；线面垂直即直线的方向向量与平面的法向量平行；面面垂直即二平面的法向量垂直.题型四 用向量法求异面直线所成的角例4如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影(1)证明：直线FG1平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值思维启迪：本题可方便地建立空间直角坐标系，通过点的坐标得到向量坐标，然后求解(1)证明以D为原点，、分别为z轴、y轴、x轴的正向，|为1个单位长度建立空间直角坐标系由题设知点E、F、G1、E1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，(0,1，1)，(0，1，1)，(1,0,0)，0，0，又EE1FE1E1.FG1平面FEE1.(2)解由题意知点A的坐标为(2,0,0)，又由(1)可知(1，2，1)，(0，2,0)，cos，sin，.探究提高用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，所以要注意二者的区别与联系，应有cos |cos |. 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EBBF1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值解以A为原点，、分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是(1,3,2)，(4,2,2)，设EC1与FD1所成的角为，则：cos ，直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.题型五 线面角例2如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值思维启迪：平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的法向量(1)证明以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，则A(1,0,0)，B(0,1,0)设C(m,0,0)，P(0,0，n) (m0)，则D(0，m,0)，E.可得，(m，1,0)因为00，所以PEBC.(2)解由已知条件可得m，n1，故C，D，E，P(0,0,1)设n(x，y，z)为平面PEH的法向量，则即因此可以取n(1，0)又(1,0，1)，所以|cos，n|.所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.探究提高利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角 已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，且AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小(1)证明设PA1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，0)所以(1，1，)，(，0)因为00，所以CMSN.(2)解设平面CMN的法向量为n(x，y，z)，则.yx，zx，取x2，则n(2,1，2)为平面CMN的一个法向量cosn.n135，故SN与平面CMN所成角的大小为45.题型六求二面角例3(2012广东)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.(1)证明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值思维启迪：利用图中的PA平面ABCD、ABCD为矩形的条件建立空间直角坐标系，转化为向量问题(1)证明PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.同理由PC平面BDE可证得PCBD.又PAPCP，BD平面PAC.(2)解如图，分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系由(1)知BD平面PAC，又AC平面PAC，BDAC.故矩形ABCD为正方形，ABBCCDAD2.A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(2,0，1)，(0,2,0)，(2,2,0)设平面PBC的一个法向量为n(x，y，z)，则即取x1得n(1,0,2)BD平面PAC，(2,2,0)为平面PAC的一个法向量cos n，.设二面角BPCA的平面角为，由图知0，cos ，sin .tan 3，即二面角BPCA的正切值为3.探究提高求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 (2011辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值(1)证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，以DA、DP、DC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以0，0，即PQDQ，PQDC.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)解依题意有B(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)设n(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即因此可取n(0，1，2)同理，设m是平面PBQ的法向量，则可取m(1,1,1)所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值为.题型七 异面直线间的距离例7已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.求异面直线DA1与AC的距离解析：如图建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)、C(0,1,0)、B1(1,1,1)、A1(1,0,1)，向量(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)设向量n(x，y,1)，且n，n，则，解得，所以n(1，1,1)异面直线DA1与AC的距离为d.题型八 点、线、面到平面的距离例8如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则，(0,1,0)，(0,1，1)，设平面ABC1的法向量为n(x，y,1)，则有，解得n，则d.答案：跟踪练习3如图所示，已知边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA平面ABC，且PA2，设平面过PF且与AE平行，求AE与平面间的距离解析：设、的单位向量分别为e1、e2、e3，选取e1，e2，e3作为空间向量的一组基底，易知e1e2e2e3e3e10，2e1，2e2，2e3，()2e1e2e3，设nxe1ye2e3是平面的一个法向量，则n，n，ne1e3 直线AE与平面间的距离为d.题型九 求线段长例9如图所示，在60的二面角AB中，AC，BD，且ACAB，BDAB，垂足分别为A、B，已知ABACBDa，求线段CD的长 分析：欲求线段CD的长，将|CD|看作是的模，将用已知长度及夹角关系的，来表示，其中与所成的角等于二面角的大小.解析：ACAB，BDAB，0，0，又因为二面角AB为60的二面角，120，于是|22()22222223a22a2cos1203a2a22a2，CDa点评：|a|2aa，将求线段长的问题转化为向量的数量积运算是求距离的主要方法跟踪练习4(2010河北邯郸市模考)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为a，D是棱A1C1的中点(1)求证：BC1平面AB1D；(2)求二面角A1AB1D的大小；(3)求点C1到平面AB1D的距离解析(1)连结A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，D为A1C1的中点，DE为A1BC1的中位线，BC1DE.又DE平面AB1D，BC1平面AB1D，BC1平面AB1D.(2)解法1：过D作DFA1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF平面ABB1A1，连结EF，DE，在正A1B1C1中，B1DA1B1a，由直角三角形AA1D中，ADa，ADB1D，DEAB1，由三垂线定理的逆定理可得EFAB1.则DEF为二面角A1AB1D的平面角，又DFa，B1FEB1AA1，EFa，DEF.故所求二面角A1AB1D的大小为.解法2：(向量法)建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，a,0)，B1(0，a，a)，C1(a,0，a)，A1(0，a，a)，D(a，a，a)(0，a，a)，(a，a,0)设n(x，y，z)是平面AB1D的一个法向量，则可得即，取y1可得n(，1，)又平面ABB1A1的一个法向量n1(a,0,0)，设n与n1的夹角是，则cos.又知二面角A1AB1D是锐角，所以二面角A1AB1D的大小是.(3)解法1：设点C1到平面AB1D的距离为h，因AD2DBAB，所以ADDB1，故SADB12a2，而SC1B1DSA1B1C1a2，由VC1AB1DVAC1B1DSAB1DhSC1B1DAA1ha.解法2：由(2)知平面AB1D的一个法向量n(，1，)，(a，a，a)，da.即C1到平面AB1D的距离为a.练习题1在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1和AC所成的角的大小为()A45 B60 C90 D30答案B分析先选取基向量，将与用基向量表示，然后依据两向量夹角公式求出，再转化为异面直线所成的角，或建立空间直角坐标系，用坐标法求解解析解法1：以，为基向量，则()()|2a2，|a，|a，cos，120，异面直线BA1与AC成60角解法2：以B为原点，BC，BA，BB1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,1,0)，C(1,0,0)，A1(0,1,1)，(0,1,1)，(1，1,0)，cos，120，异面直线与所成角为60，故选B.解法3：在正方体中，ACA1C1，A1C1A1BBC1，BA1C为异面直线BA1与AC所成的角，且BA1C60.2二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45 C60 D120答案 C 由条件知，0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，11696cos，(2)2，cos，120，所以二面角的大小为60.3在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2，AA11，则点A到平面A1BC的距离为()A. B. C. D.答案B解析解法1：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AFA1E，垂足为F.A1A平面ABC，A1ABC，ABAC.AEBC. BC平面AEA1. BCAF，又AFA1E，AF平面A1BC. AF的长即为所求点A到平面A1BC的距离 AA11，AE，AF.解法2：VA1ABCSABCAA11.又A1BA1C，在A1BE中，A1E2.SA1BC222. VAA1BCSA1BChh.h，h.点A到平面A1BC距离为.4已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角解析分别取AB、A1B1的中点D、D1，连结DD1，以、为正交基底建立空间直角坐标系，则A，0,0，C1，a，a，平面ABB1A1的一个法向量为n(0,1,0)，则cos，n.，n.AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.