高考一轮课时训练(理)空间向量在立体几何中应用.doc

第三节 空间向量在立体几何中的应用
一、选择题
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D和AC的公垂线，则直线PQ与BD1的关系是(　　)
A．异面直线　　　　　　　　B．平行直线
C．垂直但不相交 D．垂直相交
答案：B
2．已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，则以下不等式中可能不成立的是(　　)
A.·＝0 B.·＝0
C.·＝0 D.·＝0
答案：B
3．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D—ABC的体积为(　　)
A. B.
C.a3 D.a3
答案：D
4．如下图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)

A．(1,1,1) B.
C. D.
解析：∵M在EF上，设ME＝x，∴M
∵A(，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，，0)
∴＝(，0，－1)，＝(0，，－1)，
＝，
设平面BDE的法向量n＝(a，b，c)
由，得.
故可取一个法向量n＝(1,1，)，
有n·＝0，∴x＝1，∴M，故选C.
答案：C
5．如下图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若E、F分别是BC、DD1中点，则B1到平面ABF的距离为(　　)

A. B.
C. D.
解析：(1)建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B1(1,1,0)，
F，E，B(1,1,1)．
＝(0,1,0)，＝，
＝，
∵·＝·
＝0.
∴⊥，又⊥.∴⊥平面ABF.
平面ABF的法向量为＝，
＝(0,1，－1)．
B1到平面ABF的距离为＝.
答案：D
二、填空题
6．如下图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线AC与BC1的夹角为____________．

解析：以D为坐标原点，建立如题图空间坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0), C(0,1,0), B(1,1,0), C1(0,1,1)
则＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，
∴cos θ＝＝＝，
∴θ＝60°，即AC与BC1的夹角为60°.
答案：60°
7．如下图所示，已知矩形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4.将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD.现以D为原点，DB作为y轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy坐标平面内．则A，C两点的坐标分别是________，A，C两点的距离是______.

解析：由于面BCD⊥面ABD，从面BCD引棱DB的垂线CF即为面ABD的垂线，同理可得AE即为面BCD的垂线，故只需求得AE，CF，DE，DF的长度即可．
答案：A，C　
8．如下图所示，已知棱长为a的正四面体ABCD中，E、F在BC上，G在AD上，E是BC的中点，CF＝CB，AG＝AD，给出下列四个命题：①AC⊥BD；②FG＝a；③侧面与底面所成二面角的余弦值为；④·＜·.其中真命题的序号是______________ .

答案：①②③
三、解答题
9．(2009年滨州模拟)如下图所示， 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD, 底面ABCD为正方形， 且PA＝AD＝2, E、F分别为棱AD、PC的中点．

(1)求异面直线EF和PB所成角的大小；
(2)求证：平面PCE⊥平面PBC；
(3)求二面角E－PC－D的大小.
解析： 以直线AB为x轴， 直线AD为y轴， 直线AP为z

轴建立空间直角坐标系， 如右图，则A(0,0,0), B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．
(1)∵E为AD的中点，
∴E(0,1,0), 又F为PC的中点，
∴ F(1,1,1)．∴＝(1,0,1)．
又＝(2,0，－2)，
∴cos〈，〉＝ ＝0，
∴cos〈，〉 ＝ 90°，
异面直线EF和PB所成角的大小为90°.
(2)证明：由(1)知EF⊥PB，
又∵＝(0,2,0)，＝(1,0,1)
∴·＝0, ∴EF⊥BC.
∴ 又EF⊂平面PCE, ∴平面PCE⊥平面PBC.
(3)过点D作DH⊥PC于H, 在Rt△PDC中， PD＝2， DC＝2, PC＝2， 则CH＝ ， PH∶HC＝2∶1,
又P(0,0,2)，C(2,2,0)，∴H
∴＝， 又＝(1,0,1)，
cos〈，〉＝ ＝ ，∴ 〈，〉＝ 30°.
∴二面角E－PC－D的大小为30°.
10．(2009年北京卷)如右

图所示，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
解析：法一：如右图，以D为原

点建立空间直角坐标系D－xyz，
设AB＝a，PD＝h，
则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，
(1)∵＝(－a，a,0)，＝(0,0，h)，＝(a，a,0)，
∴·＝0，·＝0，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，P，
E，
设AC∩BD＝O，连接OE,
由(1)知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵＝，＝，
∴cos∠AEO＝＝，
∴∠AOE＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.
法二：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)设AC∩BD＝O，连接OE，
由(1)知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，OE＝PD，又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，OE＝PD＝AB＝AO，
∴∠AOE＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.

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