高考一轮课时训练(理)空间向量在立体几何中应用.doc

第三节 空间向量在立体几何中的应用一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D和AC的公垂线，则直线PQ与BD1的关系是()A异面直线B平行直线C垂直但不相交 D垂直相交答案：B2已知矩形ABCD，PA平面ABCD，则以下不等式中可能不成立的是()A.0 B.0C.0 D.0答案：B3将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积为() A. B.C.a3 D.a3答案：D4如下图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1,1,1) B.C. D.解析：M在EF上，设MEx，MA(，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，0)(，0，1)，(0，1)，设平面BDE的法向量n(a，b，c)由，得.故可取一个法向量n(1,1，)，有n0，x1，M，故选C.答案：C5如下图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若E、F分别是BC、DD1中点，则B1到平面ABF的距离为()A. B.C. D.解析：(1)建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B1(1,1,0)，F，E，B(1,1,1)(0,1,0)，0.，又.平面ABF.平面ABF的法向量为，(0,1，1)B1到平面ABF的距离为.答案：D二、填空题6如下图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC与BC1的夹角为_解析：以D为坐标原点，建立如题图空间坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0), C(0,1,0), B(1,1,0), C1(0,1,1)则(1,1,0)，(1,0,1)，cos ，60，即AC与BC1的夹角为60.答案：607如下图所示，已知矩形ABCD中，|AD|3，|AB|4.将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD面ABD.现以D为原点，DB作为y轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy坐标平面内则A，C两点的坐标分别是_，A，C两点的距离是_. 解析：由于面BCD面ABD，从面BCD引棱DB的垂线CF即为面ABD的垂线，同理可得AE即为面BCD的垂线，故只需求得AE，CF，DE，DF的长度即可答案：A，C8如下图所示，已知棱长为a的正四面体ABCD中，E、F在BC上，G在AD上，E是BC的中点，CFCB，AGAD，给出下列四个命题：ACBD；FGa；侧面与底面所成二面角的余弦值为；.其中真命题的序号是_ .答案：三、解答题9(2009年滨州模拟)如下图所示， 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD, 底面ABCD为正方形， 且PAAD2, E、F分别为棱AD、PC的中点(1)求异面直线EF和PB所成角的大小； (2)求证：平面PCE平面PBC；(3)求二面角EPCD的大小. 解析： 以直线AB为x轴， 直线AD为y轴， 直线AP为z轴建立空间直角坐标系， 如右图，则A(0,0,0), B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)(1)E为AD的中点， E(0,1,0), 又F为PC的中点， F(1,1,1)(1,0,1)又(2,0，2)，cos， 0，cos， 90，异面直线EF和PB所成角的大小为90.(2)证明：由(1)知EFPB，又(0,2,0)，(1,0,1)0, EFBC. 又EF平面PCE, 平面PCE平面PBC.(3)过点D作DHPC于H, 在RtPDC中， PD2， DC2, PC2， 则CH ， PHHC21, 又P(0,0,2)，C(2,2,0)，H ， 又(1,0,1)，cos， ， ， 30.二面角EPCD的大小为30.10(2009年北京卷)如右图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：平面AEC平面PDB；(2)当PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小解析：法一：如右图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设ABa，PDh，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1)(a，a,0)，(0,0，h)，(a，a,0)，0，0，ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面AEC平面PDB.(2)当PDAB且E为PB的中点时，P，E，设ACBDO，连接OE, 由(1)知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所成的角，cosAEO，AOE45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.法二：(1)四边形ABCD是正方形，ACBD，PD底面ABCD，PDAC，AC平面PDB，平面AEC平面PDB.(2)设ACBDO，连接OE，由(1)知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所成的角，O，E分别为DB、PB的中点，OEPD，OEPD，又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO，在RtAOE中，OEPDABAO，AOE45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.7 / 7