空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题 详细答案.doc

【巩固练习】
一、选择题
1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( )
A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1）
2. 如图，是正方体，，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
3. 如图，是直三棱柱，，点分别是的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
4. 若向量与的夹角的余弦值为，则( )
A． B． C．或 D．2或
5. 在三棱锥中，，，点分别是的中点，⊥底面，则直线与平面所成角的正弦值（ ）
A． B．
C． D．
6.（2015秋 湛江校级期末）在正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC的夹角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7. 在三棱锥中，，，点分别是的中点，⊥底面，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的余弦值为 _．
9．正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的大小是______.
10. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为 .
11. 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，，则平面和平面的夹角余弦值是_______.

三、解答题
12. 如图，点在正方体的对角线上，∠.
（Ⅰ）求与所成角的大小；
（Ⅱ）求与平面所成角的大小.
13. 如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，，，都与平面垂直，，，求平面与平面的夹角大小.

14. 如图（1），在Rt△中，∠＝90°，＝3，＝6，分别是，上的点，且∥，，将△沿折起到△的位置，使，如图（2）．
(1)求证：⊥平面；
(2)若是的中点，求与平面所成角的大小；
(3)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．

15．(2016 浙江理)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3．
(Ⅰ)求证：EF⊥平面ACFD；
(Ⅱ)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】排除法.
平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零.
排除A，C，D，选项为B.
2.【答案】A
【解析】设正方体的棱长为1，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
．
所以，，
，
，，
．
所以，

因此，与所成的角的余弦值是．
3.【答案】A
【解析】如图所示，以为原点建立的空间直角坐标系，
则
由中点公式可知，，
，
.
4.【答案】C
【解析】由可得，，即，
即或.
5.【答案】D
【解析】

6.【答案】A
【解析】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz。

设OD=SO=OA=OB=OC=a，
则A（a，0，0），B（0，a，0），C（－a，0，0），，
则，
设平面PAC的一个法向量为，
则，
∴，可取，
∴，
∴，
∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°=30°
故选A。
7.【答案】D
【解析】

8.【答案】
【解析】 由，知与所成角的余弦值为.

9.【答案】
【解析】 以A为原点建立直角坐标系（如图所示），设B（2，0，0），
则E（1，0，0），F（2，2，1），C1（2，2，2），A1（0，0，2），
∴，，
∴，
∴.

10.【答案】
【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.
过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，
∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，
∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，
∴ ，AS=3，∴ SE=，AF=，
∴ .

11.【答案】
【解析】
因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD，AE平面ABEF，
平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此，AD，AB，AE两两垂直，以A为坐标原点，建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1，则B（0，1，0），D (1， 0， 0 ) ， E ( 0， 0， 1 )， C ( 1， 1， 0 ).
因为FA=FE， ∠AEF = 45°，所以∠AFE= 90°.
从而，.
所以，
设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）.
，
， 由 得
取y=1，则x=1，z=3.从而.
由AE⊥平面ABCD可知，平面ABD的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，则
.

12.【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设为单位长，则
=，=.
连结，，在平面BB1D1D内，延长DP，交于点H，
设=( m > 0 )，
由条件知 <，> = 60°.
由·=||||cos<，> ，
可得2m =.
解得m =.所以=.
（Ⅰ）因为cos<， >=，
所以<， >=，即与所成的角的大小是45°.
（Ⅱ）因为平面的一个法向量是，
又cos<，>=，
所以<，>=. 即与平面所成角的大小为60°.
注意：由于点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线D1B上且∠PDA=60°，直接设点P的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与DP相关的角度问题，因此根据点P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，因此出现上面解法. 显然尽管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，体现了对学生全面的几何方法的考查.
13.【解析】如图，以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系.
设平面的法向量为，
则由得
令，得.
同理，可求得平面的法向量.
因为，所以平面与平面垂直.
所以平面与平面的夹角.
14.【解析】

15.【解析】
(Ⅰ)延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．

因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以BF⊥AC．
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK．
所以BF⊥平面ACFD．
(Ⅱ)方法一：
过点F作FQ⊥AK，连结BQ．
因为BF⊥平面ACK，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK．
所以，∠BQF是二面角B-AD-F的平面角．
在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得．
在Rt△BQF中，，得．
所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为．
方法二：
如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则△BCK为等边三角形．
取BC的中点O，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以，KO⊥平面ABC．
以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．
由题意得
，
．
因此，．
设平面ACK的法向量为，平面ABK的法向量为，
由，得，取；
由，得，取．
于是，．
所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为．