空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题 详细答案.doc

【巩固练习】一、选择题1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( )A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1）2. 如图，是正方体，则与所成角的余弦值是（ ）A BCD3. 如图，是直三棱柱，点分别是的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）AB CD4. 若向量与的夹角的余弦值为，则( )A B C或D2或5. 在三棱锥中，点分别是的中点，底面，则直线与平面所成角的正弦值（ ）A B C D6.（2015秋 湛江校级期末）在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC的夹角是（ ）A30 B45 C60 D757. 在三棱锥中，点分别是的中点，底面，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A B C D二、填空题8若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的余弦值为 _9正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的大小是_.10. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为 . 11. 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，则平面和平面的夹角余弦值是_.三、解答题12. 如图，点在正方体的对角线上，.（）求与所成角的大小；（）求与平面所成角的大小.13. 如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，都与平面垂直，求平面与平面的夹角大小.14. 如图（1），在Rt中，90，3，6，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）(1)求证：平面；(2)若是的中点，求与平面所成角的大小；(3)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由15(2016 浙江理)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3()求证：EF平面ACFD；()求二面角B-AD-F的平面角的余弦值. 【答案与解析】1.【答案】B 【解析】排除法. 平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零. 排除A，C，D，选项为B.2.【答案】A 【解析】设正方体的棱长为1，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则所以，所以，因此，与所成的角的余弦值是3.【答案】A 【解析】如图所示，以为原点建立的空间直角坐标系， 则 由中点公式可知， ， .4.【答案】C 【解析】由可得，即， 即或.5.【答案】D【解析】 6.【答案】A【解析】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz。 设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（a，0，0），则，设平面PAC的一个法向量为，则，可取，直线BC与平面PAC的夹角为9060=30故选A。7.【答案】D 【解析】8.【答案】【解析】 由，知与所成角的余弦值为.9.【答案】 【解析】 以A为原点建立直角坐标系（如图所示），设B（2，0，0），则E（1，0，0），F（2，2，1），C1（2，2，2），A1（0，0，2）， .10.【答案】 【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，正三角形ABC， E为BC中点， BCAE，SABC， BC面SAE， BCAF，AFSE， AF面SBC，ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3， ，AS=3， SE=，AF=， .11.【答案】 【解析】因为ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEAB. 又因为平面ABEF平面ABCD，AE平面ABEF，平面ABEF平面ABCD=AB，所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此，AD，AB，AE两两垂直，以A为坐标原点，建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1，则B（0，1，0），D (1， 0， 0 ) ， E ( 0， 0， 1 )， C ( 1， 1， 0 ).因为FA=FE， AEF = 45，所以AFE= 90.从而，.所以，设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）.， 由 得 取y=1，则x=1，z=3.从而.由AE平面ABCD可知，平面ABD的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则.12.【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设为单位长，则=，=.连结，在平面BB1D1D内，延长DP，交于点H，设=( m 0 )， 由条件知 = 60.由=|cos ，可得2m =.解得m =.所以=.（）因为cos=，所以=，即与所成的角的大小是45.（）因为平面的一个法向量是，又cos=，所以=. 即与平面所成角的大小为60. 注意：由于点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线D1B上且PDA=60，直接设点P的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与DP相关的角度问题，因此根据点P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，因此出现上面解法. 显然尽管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，体现了对学生全面的几何方法的考查.13.【解析】如图，以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系.设平面的法向量为，则由得令，得.同理，可求得平面的法向量.因为，所以平面与平面垂直.所以平面与平面的夹角.14.【解析】15.【解析】()延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以BFAC又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK所以BF平面ACFD()方法一：过点F作FQAK，连结BQ因为BF平面ACK，所以BFAK，则AK平面BQF，所以BQAK所以，BQF是二面角B-AD-F的平面角在RtACK中，AC3，CK2，得在RtBQF中，得所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形取BC的中点O，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以，KO平面ABC以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz由题意得，因此，设平面ACK的法向量为，平面ABK的法向量为，由，得，取；由，得，取于是，所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为