空间向量在立体几何中的运用.doc

<<空间向量在立体几何中的运用>>导学案
一:平面向量的坐标运算
1.设 . 则
=
2.非零向量，

二:空间向量坐标运算
1设
=
2非零向量，

=

三:具体运用
1.直线与直线关系
⑴求异面直线AB，CD所成的角，则
⑵

例1:在正方体ABCD-中， ①求证
② 求证 ③求异面直线所成的角的余弦值。（其中,点E在线段上

练习：在上图中G,H,F分别是AD,的中点，①求证
②求证EF③求所成的角的余弦值
2.直线与平面的关系
①平面法向量的概念
②求平面法向量的方法
设平面的法向量，在平面中任意找三个不共线的点，如A,B,C,的坐标，任意求出两个向量的坐标如,利用
求出的坐标

③设平面的法向量，则
（1）
（2）
（3）直线AB与平面所成的二面角为
=
例2:在正方体ABCD-中，⑴求直线与平面所成的角⑵设E,F分别是与的中点，G在线段上，，，求与平面EFG所成角的余弦值

3.平面与平面的关系
⑴设平面，的法向量，
则

⑵二面角平面角为，设平面ABC的法向量，平面BCD的法向量则 或
例3:在正方体ABCD-中.（1）求二面角,的二面角的平面角（1）求二面角的平面角的余弦值

例4.如图，在正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面）中，，D是的中点，点E在上，且。
（I） 证明平面平面
（II） 求直线和平面所成角的正弦值。

例5.如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

作业
1. 正方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：
（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

2. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。
（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

3. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点．
（1） 求证：；
（2） 求证：平面；
（3） 求与平面成角的余弦值．

4．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，，且，、分别为、的中点．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的余弦值．

5、如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD
(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(II) 求平面AMD与平面CDE所成角的大小；
（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

6三棱柱中，侧棱底面.，为中点，，，.
（I）求证：平面；
（II）求三棱锥的体积.

7、 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，
使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；
若不存在，试说明理由。

8.四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
C
D
E
A
B
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．

9 四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。
(Ⅰ)证明：SA⊥BC；
(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；

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