空间向量在立体几何中的应用（一）.doc

空间向量在立体几何中的应用（一）
一、用向量法证明线线平行
向量法证明两条直线平行是通过证明两直线的方向向量平行而证得两直线平行，需注意的是，由两条直线的方向向量平行得出的结论是两直线平行或重合，只有说明一条直线上有一点不在另一条直线上，才能说明这两条直线平行．
例1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是AA1上靠近点A的三等分点，在线段DD1上是否存在一点G，使CG∥EF？若存在，求出点G的位置，若不存在，说明理由．

练习1．如图所示，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上且AP＝2PA1，点S在棱BB1上且SB1＝2BS，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.

总结：利用空间向量证明线线平行的方法步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标．
(2)求出直线的方向向量．
(3)证明两向量共线．
(4)证明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上，即表示方向向量的有向线段不共线，即可得证．
二、用向量的方法证明线面平行、面面平行
1．向量法证明直线l与平面α平行，需证明直线l的一个方向向量和与平面α的一个法向量垂直，同时还要说明直线l上有一点不在α内，这样才能说明l∥α．
2．根据两个平面平行的判定定理，把证明两个平面平行转化为证明线面平行或线线平行，再利用空间向量证明．
3．用法向量证明两个平面平行时可分别求出两个平面的法向量，再说明两个法向量平行，也可以求其中一个平面的法向量，再证明这个法向量垂直于另一个平面．
4．应用法向量证明面与面垂直问题的关键是：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出平面的一个法向量；(3)判断两个法向量的关系；(4)由法向量关系转化为平面关系．
例2．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点．求证：B1C∥平面ODC1.

练习2．如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．
证明：EF∥平面SAD.

例3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CD1B1.

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