函数的性质.doc

江苏省包场高级中学高一数学周末导学单必修一函数004
函数的性质（单调性、奇偶性）映射
一、重要概念、基础知识回顾（可以适度填空形式回顾知识点）
（一）函数的单调性
1．增函数：设函数的定义域为A，区间，若对于区间内的 ，当 时，都有 ，则称函数在 是单调增函数，为
图象示例：
2．减函数：设函数的定义域为A，区间，若对于区间内的 ，当 时， 都有 ，则称函数在 是单调减函数，为
图象示例：
3．单调性：函数在 上是 ，则称在 具有单调性
4. 单调区间：
（二）函数的奇偶性
1．偶函数：一般地，设函数的定义域为A，如果 ，都有 ，那么称函数是 。
2．奇函数：一般地，设函数的定义域为A，如果 ，都有 ，那么称函数是 。
思考1：判断下列函数的奇偶性：（1） (2)
3．函数的奇偶性：如果函数是 ，则函数具有奇偶性。
（三）映射：
（1）定义：一般地，设是两个_____集合，如果按某种对应法则，对于集合中的________元素，在集合中都有_______的元素与之对应，这样的单值对应叫做从集合到集合的的映射，记为 ______________________．
（2）象（输出值）与原象（输入值） _______________
二、思想方法归纳（老师给出本周典型例题类型，通过例题体现重要的思想方法）
例1、讨论函数在上的单调性.
解：
设，则，
∴∵，
当时，，此时函数在上是单调减函数；
当时，，此时函数在上是单调增函数．故在区间上是减函数．
例2、定义在（－2，2）上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0，
求实数m的取值范围．
解：因为f(m－1)+f(2m－1)>0，所以f(m－1)> －f(2m－1)；
因为f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数，
所以f(m－1)>f(1－2m)，
所以，所以<m<．
【解后反思】此类问题既要运用函数的奇偶性，又要运用函数的单调性，同时还要优先考虑函数定义域的制约作用．
例3、函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.
解：（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,
则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.
∴f（x2）＞f(x1).
即f(x)是R上的增函数.
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3，
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),
∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,
解得-1＜m＜,故解集为（-1,）.
例4已知函数是偶函数，求实数的值．
解：∵是偶函数，∴恒成立，
即恒成立，
∴恒成立，∴，即．
例5已知集合A=R，B={(x,y)|x,y∈R}，f:A→B是从A到B的映射，f:x→(x+1,x2+1)，求A中的元素在B中的象和B中元素(,)在A中的原象．
思路分析：将x=代入对应关系，可求出其在B中对应元素，(,)在A中对应的元素可通过列方程组解出．
解：将x=代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(+1，3). 可通过列方程组也可求出(,)在A中对应的元素为．
三、错题再现或变式训练
1、若函数是实数集R上的增函数，a是实数，则下面不等式中正确的是_________.
(1) (2) (3) (4)
2、设y=f（x）的定义域为[-a，a](a>0)，则g（x）=f（x）- f（-x）的奇偶性是
3、函数在上递减，在上递增，则实数的取值范围
4、已知是上的奇函数，且当时，，求的解析式．
5、已知函数在区间上有最大值3，最小值2，最的取值范围是 。
6、若函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是 。
7、求证：函数在是减函数.
8、已知为偶函数，求f（x）的值域。
9、若f：y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a }的一个映射，该映射满足B中任何一个元素均有原象，求自然数a，k及集合A，B.
10、定义在上的函数y=,当时，,且对任意，都有
成立.(1)证明：；(2)证明：对任意,恒有成立；
(3)证明：在上是增函数；(4)若，求的取值范围.

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