[教学设计]等腰三角形.doc

初中几何 第二册 第三章

第四单元 等腰三角形

一、教法建议

【抛砖引玉】
本单元将研究等腰三角形.在教学时，应从小学已有的知识引出等腰三角形两底角相等性质，然后给出证明，由证明过程得出两个重要推论，为了使学生牢固地掌握等腰三角形的性质，并能灵活地运用它们，应通过例，习题的练习，非常熟练地进行下面的推理：如图，在△ABC中，

(1)AB = ACÞ∠B = ∠C；(2) AB = AC，∠1 = ∠2Þ AD⊥BC，BD = DC；(3) AB = AC，BD = DCÞAD⊥BC，∠1 = ∠2；(4)AB = AC，AD⊥BCÞ BD = DC，∠1 = ∠2.在例，习题教学中，鼓励学生自己试添辅助线，从实践中取得经验，掌握添辅助线的规律.寻求最简捷的思路.在教学等腰三角形的判定定理时，可让学生先叙述等腰三角形性质定理的逆命题，然后引导学生探索其逆命题是否是真命题，使学生积极参与，从实践中学习，对其判定理更加信服.再进一步得出推论.通过例、习题教学，巩固等腰三角形判定定理及推论.例4，例5是等腰三角形性质和判定的综合应用，通过这两个例题，使学生进一步理解性质与判定的区别，并能根据条件正确地选择性质定理或判定定理，能综合运用这些定理证明问题.教学证明题，由于题目复杂程度提高，可以教学生画思路图，从未知入手进行分析，然后再用相反的方向写出证明.本单元文字题较多，学生对已知，求证写不好，最常见的毛病是条件写得不全或不明确，教学中要注意帮他们纠正.课堂上，例题的已知，求证最好先让学生写，然后进行证明.在证明过程中，他们自己会发现已知，求证中写得不对或不好的地方，这时再纠正，效果会更好些.
通过复习线段垂直平分线定义引入新课，进而研究它们性质.着重在教学中指出定理及逆定理的关系，并结合图形说明线段的垂直平分线可以看作一些点的集合，这些点都满足“和线段两个端点的距离相等”，同时说明，这条线上包含了满足条件的所有点，这样就可以为后面的学习打下一些基础.
轴对称和轴对称图形在教学中要结合实例把它们概念讲清楚，要求学生理解这些概念，弄清它们的区别与联系，能识别轴对称图形，会画一些简单图形关于某直线的对称图形.为调动学生学习积极性，加深对概念的理解，教学中多画图，课后也要求学生多练习点对称图形，通过画（剪）的实践，增加趣味及美的感受.

【指点迷津】
等腰三角形的性质与判定.它们是证明线段相等和角相等的重要依据，是本单元也是本章重点之一.要揭示等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理，题设与结论正好相反，以进一步认识判定与区别，才能根据条件正确地选择性质定理或判定定理，才能综合运用这些定理解决问题，使思路畅通，学过等腰三角形以后，推理的依据多了，题目的复杂程度也增加了，证明思路不那么明显，简单，因此会给学生带来困难，证明题无处入手，为此，要加强证明题前分析教学，帮助学生学会分析证明思路，找出证明途径，因为学过的定理多了，从已知出发有多种途径可供选择，这时最好结合所要求证的结论一起考虑，这就是通常说的“两头凑“的分析法.教会学生分析法，转化法，数形结合法，方程（组）法等.使他（她）们多种思维方法都能掌握，寻觅思路的渠道便多了，证（解）几何题的难点便会突破，上升一个档次.

二、学海导航

【思维基础】
回答下列问题
1.等腰三角形的两个底角 ，简称：等边对 .
2.等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的 ，底边上的 互相重合，只要知道等腰三角形三条中的一条就能得出另外两条.
3.等边三角形的各角相等且每一个角都等于 ，等腰直角三角形每一个锐角都等于 .
4.如果一个三角形有两个角 ，那么这两个角所对的边也相等.简称：等角对 .
5.三个角都相等的三角形为等边三角形，有一个角为 的等腰三角形为等边三角形.
6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的 .
7.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离 .
逆定理：和一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线定义：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离
的所有点的集合.
8.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫 ，两个图形关于直线对称也称轴对称.
9.定理1：关于某条直线对称的两个图形是 .定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么 是对应点连线的垂直平分线.定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在 上.逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线 ，那么这两个图形关于这条直线对称.
10.如果一个图形沿着一条直线折叠，那么直线两旁的部分能够互相 ，那么这两个图形叫轴对称图形，这条直线就是它的 .

【学法指要】

例1、如图，上午8时，一条船从A处出发以15海里／时的速度向正北航行，9时45分到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26°，从B处测得灯塔C在北偏西52°，求B处到灯塔C的距离.
思路分析：观察图形可发现∠NBC为△ABC的一个外角，可联想三角形内角和定理推论2，进而知道：
∠C = ∠NBC－∠A = 52°－26°=26°
则有∠A = ∠C = 26°Þ BC = AB
由此可知求B处到灯塔C的距离便转化求AB的距离.根据题设，则有
AB = 15×(1 + ) = 26.25（海里）
∴BC = 26.25（海里）
例2、如图，求作一点P，使PC = PD，并且使P点到∠AOB的两边OA，OB的距离相等.

思路分析：欲使PC = PD，即是点P和线段CD两个端点距离相等，线段的垂直平分线的逆这理告诉我们：“和一条线段的两个端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”.那么，只要作线段CD的垂直平分线即可.同时点P又要到∠AOB的两边OA，OB的距离相等.“到角两边距离相等的点，在这个角平分线上.”点P在∠AOB平分线上，作出∠AOB平分线与CD中垂线的交点即P点.于是便找到作法：
(1)作∠AOB的平分OM；
(2)连CD，作CD的中垂线EF与OM交于点P.则点P即为所求.

原题不变，下列图形你能求出点P吗？（请画出图形，保留作图痕迹，不写作法.）

注：仿例2的思路分析与作法即可，请同学们自己练习.
例3、已知P是等边三角形ABC的BC边上任一点，过P点分别作AB，AC的垂线PE和PD，垂足为E，D.求证：△AED的周长与四边形EBCD的周长相等.

思路分析：欲证△AED周长 = 四边形EBCD周长，即证AE + AD + DE = BC + CD + DE + BE，即证AE + AD = BC + CD + BE结合图形，题设知：AE = AB－BE，AD = AC－CD.此时转化为可证：AB－BE + AC－CD = BC + CD + BE，又AB = BC = CA.上式又转化为：BC = 2BE + 2CD
在Rt△PBE和Rt△PDC中，∠B =∠C = 60°
∴∠BPE =∠DBC = 30°，∴BE = PB，CD = PC
∴上式又转化为：BC = 2·PB + 2·PC
即BC = PB + PC此式当然成立.思路畅通.
如上思路分析可作如下画图分析：
△AED周长 = 四边形BECD周长
­
AE + AD + DE = BC + CD + DE + BE
­
AE + AD = BC + CD + BE
­
AB－BE + AC－CD = BC + CD + BE
­
AB = BC = CA
­
BC = 2BE + CD
­ ­
Rt△PBE中，B = 60°，BE = PB 同理CD = PC
­
BC = PB + PC
按照思路分析图，便可写出证明过程，请同学们完成.
我们学会思路分析或画思路图的方法，今后再遇到较难的几何题我们便可执果索因，一步一步分析，结合题设及图形提供的信息源，便可达到目的，或者画思路分析图，要什么，找什么，结合题设和图形提供的条件，就能找到目的地.这两种探寻思路的方法，都应学习，它们可相辅相成，帮你找到思路.
Þ AE = DG
Þ BC = GE
BC = AC
例4、如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE = BD，连结CE，DE.求证：EC = ED.

思路分析：由∠B = 60°，使我们想构造等边三角形，延长BD至点F，使DF = BC，又AE = BD，AB = BC，则BE = BF，△BEF为等边三角形Þ ∠F= 60°，BE = EF，BC = DF，△EBC≌△EFD.
故EC = ED.
由∠B = 60°也可这样构造等边三角形.过D作DG∥AC

交BE于点G，则△BDG为等边△Þ DG = BD
AE = BD
AG = CD
AE = BD Þ GE =AC

又AC∥DGÞ ∠EAC = ∠DGE
Þ △ACE≌△EGD Þ EC = ED.
抓住60°这一信息，联想等腰三角形判定定理推论2，便萌生构造等边三角形，从而打开新局面，找到思路.要想找到思路，必须善于捕捉信息，创造出有利因素，便可达到目的.

【思维体操】
例1、在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 米.（精确到0.1米）

思路分析：根据客观实际知：△ABC是直角三角形，且∠C = 90°又∠B = 30°，∴AB = 2AC = 4（米）
因有八个楼梯，每个楼梯斜面长为：4÷8 = （米），我们把楼梯放大，即为下图，Rt△BDE为一个楼梯.（BD + DE）之长即为一个楼梯应铺地毯的长.

∵DE与BC边是平行的.∴∠E = 30°
又BE = （米）∴DB = BE = （米）
由勾股定理，得：DE = （米）
∴DE + BD =
∵八个楼梯是一样的.
∴楼梯总长为：（）×8
= 2 + 2≈ 2×1.732 +2 = 3.464 + 2
= 5.464 ≈5.5（米）
故地毯总长约为5.5米.
将生活中的实际问题转化为直角三角形问题，应用等腰三角形判定定理推论3等知识，解决这一问题，解决生产，生活中的实际问题，必须将实际问题抽象，转化为数学问题，便容易找到思路.
例2、如图，△ABC是等腰三角形（AB = AC≠BC）
(1)求作点P，使△ABP，△BCP，△CAP都是等腰三角形（要写作法，并保留作图痕迹）；
(2)如果△ABC是正三角形，那么符合条件的点只有几个？

思路分析：(1)由课本P87例题启发我们，只要作AB，BC边的垂直平分线交于点即为所求P点.（例题已证PA = PB = PC）.另一方面，△ABC是等腰△，且AB = AC，所以BC边的垂直平分线定过A点（等腰三角形的三线合一性）.以A为圆心，AB为半径画圆与L1交于P1，P2两点也符合要求.（如图及画图知：AP1 = AB = AP2 = AC）于是可找到作法：
(i)分别作BC，AB的垂直平分线L1，L2交于点P，则点P即为所求；
(ii)引BC的垂直平分线必过A点，以点为圆心，AB为半径画弧与L1交于P1，P2二点，则P1，P2二点亦为所求.
由(i)，(ii)知符合条件的点为P，P1，P2三点.

(2)由(1)思路分析，因AB = AC，AC = BC，BC = AB分别作AB，BC，CA垂直平分线L1，L2，L3.再分别以A，B，C为圆心，都以AB为半径画圆，三条垂直平分线和⊙A，⊙B，⊙C分别交P5，P7，P9三点，⊙A，⊙B，⊙C又两两相交于P4，P6，P8三点，L1，L2，L3交于点P，又分别与三圆交于P1，P2，P3三点.由上作图可知，共有10个点符合条件.它们是：P，P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8，P9.
本例在求作画图中容易失解，尤其由等腰三角形扩广到等边三角形，出现10个符合条件点，为此，必须抓住轴对称图形的性质，中垂线性质才能不重不漏把符合条件的点都求出来.当我们把这道题完成后，应“宜将剩勇追穷寇，不可沽名学霸王”.应继续研究，分别以P，P1，……，P10，为三角形一个顶点，以B，C为三角形两个顶点，你能分别写出这些三角形吗？（共30个）.你能找出多少个轴对称图形？你又能找出哪两个三角形分别关于直线L1，L2，L3成轴对称？这样穷追不放，追根朔源.将对垂直平分线性质，等腰三角形的判定，轴对称，轴对称图形概念将进步理解，达到入神造化地步.为进一步学习打下坚实基础.
例3、(1)已知：等腰三角形的一个内角为62°，则它的底角的度数为（ ）
(A)62°或59° (B)63°或58°
(C)62° (D)59°
(2)已知：等腰三角形的一腰上的高线等于腰长的一半，则它的底角为（ ）
(A)15°或75° (B)30°或60°
(C)15° (D)75°
思路分析：(1)等腰三角形的一个内角为62°，这个内角是等腰三角形的底角呢，还是顶角呢？当题设告知不清楚时，应分类讨论，来不得半点的含糊，不然要失解.对本例要分两种情况：
(i)当这个内角为顶角，且为62°时，这个等腰三角形的底角为：
（180°－62°）÷2 = 59°
(ii)当这个内角为底角，且为62°时，这个等腰三角形的另一个底角亦为62°.
由(i)，(ii)知，这个等腰三角形底角的底数为62°或59°，故应选(A)

(2)等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，同学们知道，三角形高线可在形内，可在形外，对本例，高线在三角形内，还是在形外？是不了解的，应分两种情况求解.
(i)当等腰三角形的高线在形内时，如左图.
∵BD⊥AC于D，BD = AB
∴∠A = 30°，∵AB = AC，∴∠B = ∠C
∴∠B = ∠C = （180°－∠A）÷2 =75°
(ii)当等腰三角形的高线在外时，如左图.

∵BD⊥AC于D，BD = AB
∴∠DAB = 30°，∴∠BAC = 150°
∴∠ABC = ∠C = （180°－150°）÷2 = 15°
由(i)，(ii)知等腰三角形的底角为75°或15°，就选(A)
对于等腰三角形问题容易出现二解，三解，甚至多解的可能，从例1，例3已向同学们作出示范与警示.今后在遇到具体问题时，一定要缜密考虑，全面考察，分类求解，才能解答完整.在解题时，千万不能想当然，这是解数字题的一大忌韪.

三、智能显示

【心中有数】
本单元应掌握等腰三角形的性质和判定，掌握等边三角形的性质和判定，并能灵活地运用它们进行论证和计算.对等腰三角形和等边三角形之间关系，它们的性质和判定定理之间关系应了解；线段垂直平分线的性质定理及其逆定理应熟练掌握，能够利用它们进行论证.理解轴对称，轴对称图形的概念，了解轴对称的性质，会画已知图形关于某直线的轴对称图形.通过例习题的学习，学会分析问题的方法，会画图分析找思路，并能把学得的书本知识应用于实践，服务于社会.

【动脑动手】

1.已知：△ABC的AB = AC，D是△ABC内一点E和D在AC的两旁，并且AD = AE，∠AED = ∠ACB.求证：BD = CE
2.已知：△ABC的AB = AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O，∠B的平分线交AD于I.求证：(1) OA = OB = OC；(2) I到BC，CA，AB的距离相等.
3.求证：如果把等腰三角形的底边向两方向分别延长相等线段，那么延长线段的两个外端与等腰三角形的顶点距离相等.
揭示思路：
1.证明：∵△ABC和△ADE中，AB = AC，∴∠ABC = ∠ACB.
AD = AE，∴∠ADE = ∠AED.∵∠AED = ∠ACB.∴∠ABC = ∠ADE
∴∠BAC = ∠DAE.
∵∠BAC－∠DAC = ∠BAD
∠DAE－∠DAC = ∠CAE
∴∠BAD = ∠CAE
∵AB = AC，AD =AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD = CE
2.(1)∵AB = AC，AD是BC边的中线

∴AD⊥BC.AD为∠A平分线.
∴AD为BC边中垂线
又O为AB，BC两边中垂线的交点.
∴OA = OB，OB = OC
∴OA = OB = OC
(2)由(1)证知：AD为∠BAC平分线.
又I在AD上，IE⊥AB，IF⊥AC
∴IE = IF
又I在∠B的平分线上 IE⊥AB，ID⊥BC.
∴IE = ID
∴IE = ID = IF
3.已知：如图，△ABC中，AB = AC，CE，BD分别是BC，CB的延长线，且CE = BD.

求证：AD = AE
证明：∵AB = AC ∴∠ABC = ∠ACB
∴∠ABD = ∠ACE
∵CE = BD
∴△ADB≌△AEC
∴AD = AE

【创新园地】
题：已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形.
求证：AN = BM
扩散一：原题设不变，求证：CE = CF；

扩散二：原题设不变，求证：EF∥AB；
扩散三：已知：如图，△ABD，△AEC都是等边三角形.求证：BE = DC；
扩散四：已知：如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE = 90°.求证：BD = CE；

扩散五：已知：如图，△ABD和△ACE中∠BAD = ∠CAE，AB = AD，AC = AE.
求证：CD = BE；

扩散六：已知：如图，四边形ABDE，ACFG都是正方形.求证：BG = CE.

揭示思路：
题：∵△ACE，△CBN都是等边△.
∴∠ACM = ∠MCN = ∠BCN = 60°Þ ∠ACN = ∠BCE = 120°
AC = CM，CN = CB
∴△ACN≌△MCB
∴AN = BM
扩散一：
由原题证△ACN≌△MCB
∴∠CNE = ∠CBF，又∠ECN = ∠FCB = 60°，NC = BC
∴△CNE≌△CBF
∴CE = CF
注：亦可证△ACE≌△MCFÞ CE = CF
扩散二：
用扩散一证得CE = CF，又∠ECF = 60°
∴△CEF为等边△
∴∠EFC = 60°，又∠BCF = 60°
∴∠EFC = ∠BCF
∴EF∥AB
扩散三：
∵△ABD，△AEC都是等边三角形
∴∠DAB = ∠EAC = 60°
∴∠DAB + ∠BAC = ∠EAC + ∠BAC
∴∠DAC = ∠EAB
又AD = AB，AE = AC
∴△DAC≌△EAB
∴BE = DC
扩散四：
∵△ABC，△ADE均为等腰直角三角形
且∠BAC = ∠EAD = 90°，AB = AC，AE =AD
∴∠BAC + ∠CAD = ∠EAD + ∠CAD
∴∠BAD = ∠EAC
∴△BAD≌△EAC
∴BD = CE
扩散五：
∵∠BAD = ∠CAE
∴∠BAD + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC
∴∠DAC = ∠EAB
∵AB = AD，AC = AE
∴△DAC≌△EAB
∴CD = BE
扩散六：
证法可仿扩散四.

四、同 步 题 库

一、填空题
1.一个等腰三角形可以是 三角形， 三角形， 角三角形.
2.一个等腰三角形底边上的 、 和顶角的 互相重合.
3.如图1-4-15，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC .
图1-4-15 图1-4-16

4.如图1-4-16，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm，那么BC= .
5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 .
6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是 .
7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为 .
8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是 .
9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是 ，底边
长是 .
10.如图1-4-17，已知AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，
那么图中的等腰三角形有 个，它们是 .
图1-4-17
11.如图1-4-18，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么 AB，如
果D是AB的中点，那么 是等腰三角形， 是等边三角形.
12.如图1-4-19，已知△ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA=
= ，如果OH⊥AC，H为垂足，那么直线OH是AC的 .
13.如图1-4-20，已知AB=BC=CD=CE，∠CAE=25°，那么∠CEN= ，∠MCE=
.

图1-4-18 图1-4-19 图1-4-20

14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为
.
15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是 .
二、选择题
1. 如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有
（ ）.
（A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）4个
图1-4-21 图1-4-22

2. 如图1-4-22，已知△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB于D，那么下列两角关系正确的是
（ ）.
（A）∠A=∠B
（B）∠A=∠ACD
（C）∠A=∠DCB
（D）∠A=2∠BCD
3.等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为（ ）.
（A）20cm （B）22cm （C）20cm或22cm （D）都不对
4.如图1-4-23，已知AB=AC，DE分别为AB、AC的中点，BE、CD交于G，AG的延长线交BC于F，那么图中全等三角形对数有（ ）.
（A）4对 （B）5对 （C）6对 （D）7对
5.如图1-4-24，AC=BC，∠1=∠2，那么AM是等腰三角形△ABC的（ ）.
（A）顶角平分线 （B）底角平分线 （C）一腰的中线 （D）底边上的中线
6.如图1-4-25，已知在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，AD、AE分别是BA、CA的延长线，
∠D=20°，那么△DEA是（ ）.
（A）等腰三角形 （B）等边三角形 （C）等腰直角三角形 （D）以上结论都不对
图1-4-23 图1-4-24 图1-4-25

7.如图1-4-26，已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长是13cm，
那么△ABC的周长是（ ）.
（A）11.5cm (B)13cm (C)16cm (D)19cm
图1-4-26

8.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）.
（A）等边三角形 （B）等腰直角三角形
（C）线段 （D）三角形的内角平分线
9.等腰三角形一底角的余角等于（ ）.
（A）顶角 （B）顶角的2倍
（C）底边高与一腰所成的角 （D）一腰上的高与另一腰所成的角
10.如果三角形的三边a、b、c满足（a-b）(b-c)(c-a)=0，那么这个三角形是（ ）.
（A）等腰三角形 （B）直角三角形
（C）等边三角形 （D）锐角三角形
11.一个等腰三角形，但不是等边三角形，它的角平分线、高、中线总数共有（ ）.
（A）9条 （B）7条 （C）6条 （D）5条
12.等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）.
（A）25° （B）40° （C）25°或40° （D）以上都不对
13.等腰三角形一边长为，周长为，那么，这个等腰三角形腰长为（ ）.
（A） （B）
（C）3.52 （D）以上都不对
14.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（ ）.
（A）110° （B）55°
（C）35° （D）以上都不对
15.满足下列条件的图形是轴对称图形的是（ ）.
（A） 全等的两个图形
（B） 能互相重合的两个图形
（C） 沿一条直线对折，能互相重合的两图形
（D） 绕某点旋转180°后，能互相重合的两图形.
三、计算、证明题
1. 如图1-4-27，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于D.
求：∠ADB和∠CDB的度数.
图1-4-27

2. 如图1-4-28，已知AD⊥BC，垂足为D，△BDE和△ADC都是等腰直角三角形，CE=5cm，
求AB的长.
图1-4-28

3. 如图1-4-29，已知CE平分∠ACB，CE⊥DB.∠DAB=∠DBA，AC=18cm，△CDB的周长是
28cm.
求DB的长.
4. 如图1-4-30，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE.
求：∠EDC的度数.
图1-4-29 图1-4-30

5. 如图1-4-31，已知△ABC是等边三角形，在AC、BC上各取一点D、E，使AD=CE，AE，
BD相交于O.
求∠BOE的度数.
6. 如图1-4-32，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,DE垂直平分AC，DE=2cm.
求BC的长.
7. 如图1-4-33，已知在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2.
求证：AD⊥BC.
图1-4-31 图1-4-32 图1-4-33

8. 如图1-4-34，已知△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，△ADE是等边三角
形.
求证：BD=BE.
9.如图1-4-35，已知在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，E是BC上一点.
求证：∠5=∠6.
10.如图1-4-36，已知AB=AC，∠ABD=∠ACD.
图1-4-34 图1-4-35 图1-4-36

求证：AD垂直平分BC.
11.如图1-4-37，已知在三角形ABC中，AB=AC，以AB，AC向上作等边三角形△ABD和
△ACE.
求证：DE∥BC.
图1-4-37 图1-4-38

12.如图1-4-38,已知在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE,DE
交BC于F.
求证：DF=EF.

参 考 答 案

同步题库

一、 填空题
1. 锐角 钝角 直角 2.高 中线 平分线 3.10cm 4.12cm 5.如果一个三角形有
两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 6.等腰三角形 7.120° 8.30°和75°或52.5°和52.5° 9.14cm、7cm 10.5、△ABC、△ADE、△DBF、△EFC、△FBC 11.AC、△DBC、△ADC 12.OB、OC、垂直平分线 13.105°、100° 14.5cm 15.线段、角、等腰三角形
二、 选择题
1.C 2.D 3.C 4.D 5.B 6.A 7.D 8.D 9.C 10.A 11.B 12.C 13.A 14.C
15.C
三、 计算、证明题
1.105°，75°
2.5cm，证△ABD≌△CEB得AB=CE.
3.8cm 证△CED≌△CEB得CD=CB，由已知可得BC=10cm.
4.∵ ∠B=∠C，∠ADE=∠AED
∴ ∠BAC=180°-2∠C，∠DAC=180°-2∠AED
∴ 180°-2∠C=180°-2∠AED+30°
即∠AED-∠C=15°
得：∠EDC=∠AED-∠C=15°.
5.证△ADB≌△CEA得∠ABD=∠CAE
又∵ ∠BAE+∠CAE=60°
∴ ∠BAE+∠ABD=60°
即∠BOE=∠BAE+∠ABD=60°.
6.【解】连结AD，∵ ∠B=∠C=30°
又∵ AD=CD
∴ ∠C=∠DAC=30°
∴ CD=4cm.在△BAD中，∠BAD=90°
∴ BD=8cm
∴ BC=BD+CD=12cm.
7.证△ABD≌△ACD，得AD是∠BAC的平分线即可.
8.证△ABD≌△ABE可得.
9.证△ABC≌△DBC，得BA=BD，CA=CD
∴BC是AD的垂直平分线.
由EA=ED 得∠5=∠6.
10.【证明】∵ AB=AC
∴ ∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB
得DB=DC
点A、D都在BC的垂直平分线上
∴ AD垂直平分BC.
11.【证明】△ADF≌△AEG 得AF=AG
∴ ∠AFG=∠AGF
∵ ∠BAC+2∠AFG=180°
∠BAC+2∠ABC=180°
∴ ∠AFG=∠ABC
即得DE∥BC.
12.【略证】过E点作BA的平行线EG交BC的延长线于G.先证△EGC是等腰三角形得
CE=EG
再证△BFD≌△GFE
得DF=EF.

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