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函数的奇偶性与周期公式推导方法

一、奇函数、偶函数
对于函数，其定义域关于原点对称：
1、对于函数的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+ f（－x）=0〕，则称为奇函数.
2、对于函数的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称为偶函数.
二、判断函数的奇偶性
1、定义法
①判断有解析式的函数的奇偶性
例1、判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|； （2）f（x）=（1+x）·；
（3）； （4）
剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.
解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.
∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），
∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.
先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以既不是奇函数也不是偶函数。
解：：函数定义域 －1＜x＜1
∵＝
　　 ∴
　　 ∴是偶函数
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.
由得
故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有
f（x）= = ，这时有f（－x）==－=－f（x），故f（x）为奇函数.
（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，
∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.
当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.
故函数f（x）为奇函数.
评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.
②证明抽象函数的奇偶性
例2、已知f（x）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R 都满足：f（a·b）=af（b）+bf（a）． 求f（0），f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．
分析：应用公式f（a·b）=af（b）+bf（a），取a、b 的一些特殊的值进行计算．
解：（1）f（0）=f（0·0）=0·f（0）+0·f（0）=0；
由f（1）=f（1·1）=1·f（1）+1·f（1），
得f（1）=0．
（2）f（x）是奇函数．
证明：因为f（1）=f［（－1） 2 ］=－f（－1）－f（－1）=0，
所以f（－1）=0，
f（－x）=f（－1·x）=－f（x）+xf（－1）=－f（x）．
因此，f（x）为奇函数．
点评：研究抽象函数的奇偶性，应紧紧围绕题目所给的抽象函数的性质进行研究．如果觉得所给抽象函数的性质符合某些已知函数（如二次函数等）的性质，可以用已知函数替代抽象函数进行思考，探索求解思路。
例3、定义在区间上的函数满足：对任意的，都有.求证：为奇函数；
[思路点拨]欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理“赋值”
[解析]令x = y = 0，则
f (0) + f (0) = = f (0)
∴ f (0) = 0
令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)
∴ + f (－x) = f () = f (0) = 0
∴ f (－x) =－
∴ 在(－1，1)上为奇函数
点评：对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) －f (x2) = f (x1) + f (－x2)

奇偶函数的性质及其应用
1、奇偶函数图象的对称性
（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称。
（2）若是偶函数的图象关于直线对称；
若是奇函数的图象关于点中心对称；
例、若函数在上为减函数，且对任意的，有，则
A、 B、 C、 D、
2、（1）偶函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为偶函数。
（2）奇函数的和、差仍为奇函数，奇数（偶数）个奇函数的积、商（分母不为0）为奇（偶）函数。
（4）奇函数与偶函数的积为奇函数。
（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和。
（1）若是奇函数且在处有定义，则。（逆否命题可判断一个函数不是奇函数）
（2）奇函数的反函数也为奇函数。
（3）若，则既是奇函数又是偶函数，若,则是偶函数。
函数的周期性
1、定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：
2、抽象函数的周期
（1）若函数满足 ，则的周期是
（2）若函数满足 ，则的周期是
（3）若函数满足 ，则的周期是
（4）函数图象有，两条对称轴型，即=，=，则的周期是
（5）函数满足，则的周期是
证明：（1）
（2）对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是
（3）若，则得，所以函数的周期是；同理若，则的周期是
（4）函数图象有，两条对称轴，即，，从而得，故函数的周期是
（5）由得，进而得，由前面的结论得的周期是
例、已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则
[解析]由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而，又由已知等式得又由是上的偶函数得，又在已知等式中令得，即，所以
例、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为（ ）．
A．－1 B. 0 C. 1 D. 2

函数的周期公式推导步骤及习题
f(x+a)= -f(x) ,f(x+a)= ,f(x+a)=- , 这几个式子的周期为什么是2a?
1. f(x+a)= -f(x)
2. f(x+a)=
3. f(x+a)= -
4. f(x+a)=
5. f(x+a)= f(x+a)=
6. f(x+a)= f(x+a)=f(x-a)
这几个式子的周期为什么是2a?
推导步骤如下
1.f(x+a)= -f(x) ............(1)
两边x用x-a代
左边=f(x)= 右边= -f(x-a)................(2)
把(2)带入(1)
得f(x+a)= -f(x)= f(x-a)
即f(x+a)=f(x-a)
x用x+a代得
f(x)=f(x+2a)
所以周期是 2a
这类的题目都是x用另一个函数带
只要最后是f(x)=f(x+周期)
习题练习
1.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)= f(x)，当x∈（0.2）时，f(x)＝2x2 则， f(7) ＝（ ） A.-2 B. 2 C. -98 D. 98

2. 设定义在R上的函数f(x)满足f(x). f(x+2)＝13.若f(1)＝2 求f(99)＝
A.13 B. 2 C. 13/2 D. 2/13

3. 已知f(x)在R上是奇函数，且f(x)满足f(x+2)=-f(x)，f(6) ＝（ ）
A.－1 B. 0 C. 1 D. 2

4. 设f(x)在R上是任意函数，下列叙述是正确的是（ ）
A. f(x). f(-x)是奇函数 B. f(x).| f(-x)|是奇函数
C. f(x)-f(-x)是偶函数 D. f(x)+ f(-x)是偶函数

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