七年级数学整式和整式的加减华东师大版知识精讲.doc

七年级数学整式和整式的加减华东师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
整式和整式的加减

学习要求：
1. 了解单项式、多项式、整式的概念，弄清它们与代数式之间的联系和区别。
2. 掌握整式、单项式及其系数与次数，多项式的次数，项与项数的概念，明确它们之间的关系。并会把一个多项式按某个字母升幂排列或降幂排列。
3. 理解同类项的概念，会判断同类项，并能熟练地合并同类项。
4. 掌握去括号、添括号的法则，能准确地进行去括号与添括号。
5. 能熟练地进行整式的加减运算。

知识点介绍：
1. 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。如：等都是单项式。
2. 单项式的系数、次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数。如的系数分别是5，，单项式ab的系数是“1”，单项式的系数是。
单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数，如单项式叫5次单项式，叫做三次单项式。
3. 多项式及多项式的次数。
几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
如多项式是一个四次三项式。
多项式是一个七次二项式。
4. 多项式的升幂排列和降幂排列：
把一个多项式按某一字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做这个多项式按这个字母降幂排列。
把一个多项式按某一字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做这个多项式按这个字母升幂排列。
由于多项式的项包括它前面的性质符号，因此在排列时，需带符号一起移动，在含有两个或两个以上字母的多项式，按某一字母排列时，要特别注意按哪一个字母排列。
5. 整式的概念
单项式和多项式统称为整式
6. 同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。
判断几个单项式（或同一个多项式的项）是不是同类项有两个条件（1）所含有的字母相同（2）相同字母的指数分别相同。只有这两个条件同时具备了才能说它们是同类项。
同类项与其系数无关，与字母的顺序无关。
7. 合并同类项
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
合并同类项的具体步骤：
第一步：准确地找出同类项
第二步：利用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。
第三步：写出合并结果。
8. 去括号和添括号
去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号。
括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉。括号里各项都改变符号。
去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉。
添括号法则：所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号。
所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。
添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，不妨用去括号检验一下。
9. 整式的加减
整式的加减实际上就是合并同类项，在运算中如果遇到括号，要先运用去括号法则（或分配律），去掉括号后再合并同类项，只要算式中没有同类项了，就是运算的最后结果。

【典型例题】
例1. 把下列各式填在相应的集合里

（1）单项式集合{ ……}
（2）多项式集合{ ……}
（3）整式集合{ ……}
分析：此题是对单项式、多项式、整式概念的考察，单项式是指的数字与字母乘积的代数式，多项式是几个单项式的和，单项式和多项式统称为整式。
解：（1）单项式集合
（2）多项式集合
（3）整式集合

例2. 已知代数式是一个六次单项式，求的值。
分析：本题一方面考查了代数式的求值，另一方面又考察了单项式的次数，单项式的次数是指单项式中所有的字母的指数的和。
解：由题意可知：

故的值是15。

例3. （1）已知单项式是同类项，求的值。
（2）如果两个单项式的和是一个单项式，求m、n的值。
分析：（1）因为与是同类项，由同类项的定义可知，两个单项式中的x的指数相同并且y的指数也相同，所以，并且，从而可以得到m、n的值。
（2）中的两个单项式的和仍是一个单项式，说明这两个单项式应该是同类项，所以应满足a的指数相同，同时b的指数也相同，则，即。
解：（1）由题意可知：
则可得：

即的值是2。
（2）由题意可知：

例4. 把多项式分别按a的降幂和按b的升幂排列起来。
分析：对一个多项式作升幂（或降幂）排列应先确定是对哪个字母排列，每一种排列只能按这个字母的指数大小作为标准，如按字母a的降幂排列就是将含a的项按a的指数由大到小排列。当然，重新排列多项式，实质上是根据加法交换律进行的，因此在变更某一项的位置时，一定要带着这一项的符号一起移动。其中，带有“+”号的项移到第一项时“+”号可以省略；带有“－”号的项移到第一项时“－”号不能省略。
解：（1）按a的降幂排列：
（2）按b的升幂排列：

例5. 按要求把多项式添上括号。
（1）把后三项括到前面带有“－”号的括号里。
（2）把四次项括到前面带有“+”号的括号里，把二次项括到前面带有“－”号的括号里。
解：（1）原式=
（2）原式

例6. 化简：
分析：此题的实质是去括号化简，既有小括号，又有中括号；括号前既有“+”，又有“－”，一般先去小括号，再去中括号，所去括号前面是“+”号时，括号里各项都不变符号；所去括号前面是“－”号时，括号里各项都改变符号。
解：

例7. 合并下列多项式中的同类项
（1）
（2）
（3）
分析：合并同类项的法则是解题的关键：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。合并同类项实质上是依据了乘法分配律：，因此，具体合并的步骤是：先将同类项找出来；再将各同类项的系数相加，写在一个括号内，而字母和字母的指数保持不变，写在括号外边；最后将各项系数相加后所得的和作为结果的系数，字母和字母的指数仍保持不变。
解：（1）

（2）

（3）

小结：在合并同类项时除按照合并同类项的法则去合并外，还应注意：
（1）要先判断，再合并，是同类项的可以合并，不是同类项的绝不能合并。
（2）当两个同类项的系数互为相反数时，合并所得的结果为零。
（3）合并同类项需要移动相关的项时，相关项的符号要一起移；不移动的项，符号也不能动。

例8. 求下列多项式的值
（1），其中。
（2），其中。
分析：本题虽然是可以直接代入字母的具体值进行计算，但显然这不是最简单的方法，通过观察，在（1）题中，有同类项，我们可以先合并之后减少多项式的项数。从而简化计算过程。在（2）题中，我们可以把看作是一个整体，从而也可以先合并化简，再代值就能达到简化运算过程的目的。
解：（1）

（2）

例9. 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示
化简：

分析：本题的关键就是确定的正负性，然后再由绝对值定义去掉绝对值符号，再按整式化简即可。
解：由数轴可知：，
则

例10. 化简求值
，其中
解：

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择题
1. 在代数式：中，单项式的个数为_________。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列说法中，结论正确的是：___________。
A. 是单项式
B. 是二次单项式
C. a是单项式，它没有系数
D. 是四次单项式
3. 若是六次单项式，则n等于_______________。
A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定
4. 一个多项式含有的项分别是，则这个多项式为：___________。
A.
B.
C.
D. 以上都不对
5. 如果一个多项式的次数是5，那么这个多项式的每一项次数一定是_____________。
A. 都小于5 B. 都等于5
C. 都不大于5 D. 都不小于5
6. 下列多项式中是二次三项式的是________。
A. B.
C. D.
7. 关于代数式，下列结论正确的是__________。
A. 是系数为的单项式
B. 是系数为的四次单项式
C. 是系数为的四次单项式
D. 是系数为的六次单项式
8. 多项式按字母x的降幂排列为：____________
A.
B.
C.
D.
9. 下列各式是同类项的是_________。
A.
B.
C.
D.
10. 多项式化简后不含xy项，则k为：（ ）
A. 0 B. C. D. 3

二. 填空题
1. 多项式中二次项和常数项分别是_________和_________。
2. 把多项式按b的降幂排列为__________
3. 已知是同类项，则m=_________，n=_________。
4. 去括号：_______。
5. 单项式：的和是___________。
6.
7. 一个三角形的第一边长是，第二边比第一边短a，第三边比第一边大2b，那么这个三角形的周长是_______。
8.
9. 如果，则______。
10. 如果，那么______，____。

三. 解答题
1. 化简下列各题
（1）
（2）
（3）
（4）
2. 已知，求。
3. 已知，求：的值。
4. 化简：
5. 已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红的年龄的还多1岁，求这名同学的年龄的和。

【试题答案】
一. 选择题
1. C 2. B 3. A 4. C 5. C
6. A 7. C 8. C 9. A 10. C
二. 填空题
1.
2.
3. 1，2
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 5，2
三. 解答题
1. 化简下列各题
（1）

（2）原式

（3）原式

（4）原式

2.

3. 由可知

4. 原式

5. 解：由题意可知：
小红的年龄为岁
小华的年龄为岁
则这三名同学的年龄的和为：

答：这三名同学的年龄的和是岁。