七年级数学轴对称小结与复习华东师大版知识精讲.doc

初一数学轴对称小结与复习华东师大版
【本讲教育信息】
一、教学内容：
轴对称小结与复习

二、知识要点
1. 知识点概要
（1）认识轴对称以及轴对称图形的概念，并能判断图形是否是轴对称图形.
（2）掌握轴对称的性质，能够应用它画对称轴，画轴对称图形.
（3）掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质及其应用.
（4）掌握等腰三角形的性质和判定以及运用.
2. 重点难点
（1）重点：判断图形是否是轴对称图形，线段垂直平分线、角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定及其应用.
（2）难点：灵活运用上述性质解决问题；轴对称图案的设计.

三、考点分析
1. 知识点梳理

2. 重要知识点回顾
（1）轴对称和轴对称图形既有区别又有联系：
区别：轴对称图形是针对一个图形而言,它是指某一个图形所具有的对称性质,而轴对称则针对两个图形而言,它描述的是两个图形的一种位置关系；轴对称图形沿对称轴对折后,其自身的一部分和另一部分重合,而轴对称的两个图形沿对称轴对折后,一个图形与另一个图形重合. 毛
联系：当我们把轴对称的两个图形看成一个整体时,它就成为一个轴对称图形.
轴对称图形与轴对称都具有的性质：对应线段相等,对应角相等.
说明：轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,变换后的图形和原图形在一起组成的新图案都具有对称性.
（2）轴对称或轴对称图形的性质：
①关于某直线对称的两个图形是全等图形.
②若两个图形关于某直线对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③若两个图形对应点连线被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称.
④两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上.
⑤两个对称点到对称轴的距离相等.
（3）熟悉常见的几个轴对称图形，会画出它们的对称轴，并掌握其性质
①线段：线段是轴对称图形，对称轴是线段中垂线和本身所在直线.
线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.
到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
②角：是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线.
角平分线上的点到角两边的距离相等.
到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
3. 等腰三角形
（1）等腰三角形是轴对称图形，常用的辅助线有三种：作等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线.
（2）若三角形的三线中有两线重合，则可得到此三角形是等腰三角形. 这可作为等腰三角形的一种识别方法.
（3）在有关三角形问题的条件中出现了高、中线或角平分线时，有时可以延长某些线段以构造等腰三角形，然后再用“三线合一”性质去解题.

【典型例题】
例1. 下列图案中是轴对称图形的有：

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
解析：本题考查轴对称图形的识别，判断一个图形是否是轴对称图形，根据其概念，看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合. 所以第2个、第3个、第4个都是轴对称图形，应选C.

例2. 如图，△ABC与△A＇B＇C＇关于直线l对称，∠A=30°，∠B＇=50°. 则∠C的度数为（ ）
A. 30° B. 50° C. 90° D. 100°

解析：根据条件和轴对称的性质知：∠B=∠B＇=50°.
因为∠A=30°，
所以∠C=180°-∠A-∠B=100°.
故选D.

例3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则其顶角为________度.
解析：三角形高可能在三角形的外部，也可能在内部，注意分类讨论. 画出如下两个图，即可求得其顶角为30°或150°.

例4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝20cm，BD∶CD＝3∶2，求点D到AB的距离．

分析：求点D到AB距离必须先作出垂线段．过点D作DE⊥AB，则DE长即为欲求距离．由于AD为角平分线，则有：DE＝CD. 而CD由已知条件可求.
解：过点D作DE⊥AB交AB于点E，
∵AD为角平分线且∠C＝90°，即DC⊥AC，
∴DE＝DC．
而，
∴DE＝8cm，即点D到AB的距离为8cm．

例5．如图，已知D、E两点在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE．你能判断线段BD与EC的大小关系吗？并简述理由.

（1） （2）
分析：由已知，两个等腰三角形的底在同一直线上，BD与EC都在其底边上，联想到等腰三角形的“三线合一”性质，通过画辅助线构造基本图形，如图（2），问题得解.
解：BD＝EC.
理由：如图（2），作AF⊥BC于F，
由等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合，
得BF＝CF，DF＝EF，
所以BF- DF＝CF- EF，
即：BD＝CE

例6. 如下图，在Rt△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，若BC＝10cm，求△DCE的周长.

分析：题目中出现角平分线与垂直条件，注意由角平分线的性质得线段相等. 本题要求△DCE的周长，具体的边长不能求解，要善于运用整体思想.
解：∵Rt△ABC，AB＝AC，∴∠C＝45°．
又BD平分∠B，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，
∴AB＝BE．
∴△DCE周长＝DE＋EC＋CD
＝AD＋CD＋EC
＝AC＋EC
＝AB＋EC
＝BE＋EC
＝BC
＝10cm.

例7. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3 cm，△ABD的周长为13 cm，求△ABC的周长．

分析：△ABC的周长等于线段AB＋BC＋AC，而线段BC＝BD＋CD，因为DE是AC的垂直平分线，则有CD＝AD，所以 BC＝BD＋AD，从而求出AB＋BC，于是求得△ABC的周长．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6 cm．
又∵△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝13cm，
∴AB＋BD＋CD＝13 cm
即AB＋BC＝13 cm．
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝13＋6＝19（cm）．

例8. 如图，在△ABC中，∠ACB、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作OE∥AB，OF∥AC分别交BC于点E、F，若BC＝8cm，试求△OEF的周长.

分析：已知条件中出现平行与角平分线即存在等腰三角形. 注意这一基本图形的运用.
解：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠EBO．
又∵OE∥AB，∴∠EOB＝∠ABO，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴EO＝EB.
同样道理可得：FO＝FC，
∴△OEF周长是OE＋FF＋OF＝BE＋EF＋FC＝BC＝8cm

例9. 如图，A、B、C三点不在同一条直线上，求作一点O，使OA＝OB＝OC．

分析：由于OA＝OB＝OC，则可得OA＝OB，OB＝OC，由垂直平分线的性质可知，点O应在AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点处．
解：（1）作出BC的垂直平分线l1；
（2）作出AB的垂直平分线l2；
l1与l2交于点O．则点O为所求的点．

例10. 世界上因为有了圆，万物才显得富有生机，以下来自现实生活中的图形都有圆，如图（1）、（2）、（3），它们看上去多么美丽和谐，这正是因为圆具有轴对称的性质，请你在图（4）、（5）的两个圆中，分别画出与图（1）、（2）、（3）不重复的轴对称图形，但要尽可能准确美观．

解析：按要求画出轴对称图形, 以下供参考.

例11. 两个完全一样的三角形，可以拼出各种不同的图形．如下图已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其一模一样的三角形，使每个图形分别构成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）．

解析：按要求画出与其一模一样的三角形，并与其构成轴对称图形, 以下供参考.

五、本讲数学思想方法的学习
1. 做好重要知识点的梳理. 通过复习，熟练掌握轴对称与轴对称图形的性质及轴对称知识在生活中的应用，进一步掌握等腰三角形的性质与识别.
2. 思想方法是数学的灵魂，在复习时要注意数学思想的体会与应用. 如运用转化思想线段或角进行位置的转移；运用方程思想设未知数列方程求解；在计算等腰三角形的角度或边长时是分类思想的运用等等.

【模拟试题】（答题时间：100分钟）
一、填空题（2分×15＝30分）
1、线段是轴对称图形，它的对称轴是________ ___；角是轴对称图形，它的对称轴是___________.
2、成轴对称的两个图形的对应___________相等，对应___________相等.
3、角平分线上的任意一点到这个角的两边的___________相等. 线段中垂线上的点到___________的距离相等.
4、若三角形三个内角之比为1∶1∶2，该三角形是___________三角形.
5、举一个有无数条对称轴的轴对称图形是___________.
6、计算器屏幕上显示0到9这十个数字中，其中成轴对称图形的有___________个.
7、有一个角是60°的等腰三角形，腰长为4，则它的周长是___________.
8、等腰△ABC中，AB＝2AC，周长是20，则腰长为___________.
9、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠AED是___________度.

10、如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠ABD＝___________.

*11、等腰三角形的顶角是x°，则一腰上的高与底边的夹角等于___________.
*12、如图，∠MAN＝15°，B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠MEF＝___________.

二、选择题（3分×10＝30分）
13、下列几何图形中：角，线段，等边三角形，长方形，直角三角形，梯形，其中一定是轴对称图形的有（　　）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
14、下图中的图形中是轴对称图形的是（　　）

15、下图的图形中不是轴对称图形的是（　　）

16、下列说法正确的有（　　）
①轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；
②成轴对称的两条线段必在对称轴的同侧；
③轴对称的对应点的连线被对称轴垂直平分；
④成轴对称的对应线段若相交，则交点必在对称轴上.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
*17、等腰三角形一边长是4，另一边长是9，则它的周长是（　　）
A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 24
*18、等腰三角形的周长是24，其中一边长是10，则腰长是（　　）
A. 10 B. 7 C. 10或7 D. 17
*19、等腰三角形一个角等于70°，则它的底角是（　　）
A. 70° B. 55° C. 70°或55° D. 60°
20、△ABC与△MNP关于直线l对称，且l垂直平分AN，那么有（　　）
A. ∠C＝∠M B. ∠B＝∠P
C. ∠A＝∠N D. ∠A＝∠P
21、到三角形三个顶点距离相等的点是（　　）
A. 三边高线的交点
B. 三条中线的交点
C. 三边中垂线的交点
D. 三条内角平分线的交点
*22、平面上有A、B两个点，以AB为一边作等腰直角三角形能作（　　）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

三、作图题（16分）
23、求作图中△ABC关于直线l的对称图形.

24、如图，点C、D在∠AOB内部，在∠AOB内部找一点P，使得P到OA、OB的距离相等，并且使得PC＝PD.

四、解答题（8分×3＝24分）
25、如图，BC＝20cm，DE是线段AB的中垂线，与BC交于点E，AC＝12cm，求△ACE的周长.

*26、如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，EF、GH分别是AB、AC两边的中垂线，与BC边交于点E、G，求∠EAG的度数.

*27、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠CAE∶∠EBA＝4∶1，求∠AEC的度数.

【试题答案】
一、填空题：
1、线段本身所在线段的中垂线，角平分线所在的直线
2、角，线段
3、距离，线段两个端点
4、等腰直角
5、圆
6、4
7、12
8、8
9、105
10、36°
11、
12、75°（提示：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠DEC，∠EDF＝∠EFD，∴∠CBD＝∠A＋∠BCA＝30°，∠DCE＝∠A＋∠CDB＝45°，∠EDF＝∠A＋∠CED＝15°＋45°＝60°，∠MEF＝∠A＋∠DFE＝75°）

二、选择题：
13、B 14、A 15、B 16、C 17、B 18、C 19、C 20、C 21、C 22、D

三、作图题：
23、如图.
分别作点A，点B，点C关于l的对称点A′、B′、C′，然后连接A′B′，A′C′，B′C′.

24、如答图.
分别作线段CD的中垂线，∠AOB的角平分线，交于P点。

四、解答题：
25、∵DE是AB的中垂线，∴AE＝BE，∴△ACE的周长是AC＋AE＋CE＝AC＋BE＋CE＝AC＋BC＝12＋20＝32（厘米）
26、∵EF，GH是AB、AC的中垂线，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAG，∴∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAG＝180°－135°＝45°，∴∠EAG＝135°－45°＝90°
27、∵∠CAE∶∠EBA＝4∶1，设∠EBA＝x°，则∠CAE＝4x°. 又DE是AB的中垂线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠EAB＝x°，∴x＋x＋4x＝90，6x＝90，x=15，∴∠AEC＝90°－∠CAE＝90°－60°＝30°