七年级数学新课预习华东师大版知识精讲.doc

初一数学新课预习华东师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
新课预习
从实践问题到方程，解一元一次方程

学习目标：
1. 经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2. 了解方程。一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形及其在解方程中的作用。
3. 会解一元一次方程，并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想，了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确、灵活应用。

知识要点：
一. 从实践问题到方程
问题1：
某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？
小学里已经学过列方程的解法，我们不妨回顾一下。
设需租用客车x辆，共可乘坐44x人，加上乘坐校车的64人，就是全体328人，可得：
44x＋64＝328
解这个方程，就能得到所求的结果。
问题2：
在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁，就问同学：我今年45岁，经过几年你们的年龄正好是我年龄的三分之一？
“三年！”小敏很快发现了答案，他是这样计算的：
1年后，老师的年龄是46岁，同学的年龄是14岁，不是老师年龄的；2年后，老师的年龄是47岁，同学的年龄是15岁，也不是老师年龄的；3年后，老师的年龄是48岁，同学的年龄是16岁，恰好是老师年龄的。
也有的同学说，我们可以列出方程来解
设经过x年同学的年龄是老师年龄的
则
这个方程不像问题1中的方程那样容易求出它的解，但小敏同学的方法启发我们，可以用尝试、检验的方法求出方程的解。即只要将x＝1，2，3……代入方程的左右两边，看哪个数能使两边的值相等，这样得到x＝3是方程的解。
但如果未知数可能取到的数值较多，或者不一定是整数，该从何试起？如果试验根本无法入手又该怎么办？这就需要用到解方程的有关知识。

二. 解一元一次方程
1. 方程的简单变形
用天平测量物体的质量时，常将物体放在天平的左盘内，在右盘内放上砝码，使天平处于平衡状态，这时两边的质量相等，就可测得该物体的质量。
如果我们在两边盘内同时添上（或取下）相同质量的物体，可以发现天平依然平衡；如果我们将两边盘内的质量同时扩大到原来相同的倍数（或同时缩小到原来的几分之一），也会看到天平依然平衡。
由天平联想到方程的几种变形。
（1）方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；
（2）方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变；
（3）将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项。
对方程进行适当的变形，可求得方程的解。
2. 解一元一次方程
（1）一元一次方程
只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程。
（2）方程的解
使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。
（3）解一元一次方程的方法
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1

【典型例题】
例1. 检验下列各数是不是方程的解
（1）；（2）
分析：本题要求检验所给未知数的值是不是一个方程的解，可以利用方程解的意义，只要将这个未知数的值分别代入方程的左边、右边。计算左、右两边的值，然后根据求出值的情况作出判断。若代入后，能使方程左、右两边的值相等，则所给未知数的值是原方程的解；若代入后，使方程左、右两边的值不等，则所给未知数的值就不是方程的解。
解：（1）把分别代入方程的左边和右边，得
左边
右边
左边≠右边
不是方程的解
（2）把分别代入方程左边和右边，得
左边
右边
左边＝右边
是方程的解
说明：本题主要是使学生了解方程的解的含义。会判断未知数的值是否是方程的解，为学习解方程后，检验值是否为方程的解打好基础。

例2. 解下列方程
（1）；（2）
解：（1）由
两边都加上5，得
即x＝12
（2）由
两边都减去3x，得
即
说明：像这样，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项。

例3. 解下列方程
（1）；（2）
解：（1）由
方程两边都除以，得

（2）由
方程两边都除以（或乘以），得

这里的变形通常称作“将未知数的系数化为1”
以上两题的解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到的形式

例4. 解下列方程
（1）
（2）
（3）
解：（1）

（2）

（3）

说明：解方程的方法可以是多样的，如小题（2）可以先在方程两边同以除以2或直接移项，小题（3）可以先“去分母”，将方程两边同时乘以2等。这三道题实际上已经包含了解一元一次方程的基本方法。

例5. 解方程
（1）
（2）
解：（1）方程的两边分别去括号，得

即
移项，得
即
两边都除以4，得
（2）由原方程，得

在本小题解方程的过程中，第一步是方程的两边都乘以同一个数6，使方程中的系数不出现分数，这样的变形通常称为“去分母”。
综合以上各例方程的解题过程，可以总结出解一元一次方程的步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类、系数化为1
同学们可根据方程的具体特点，灵活合理地应用。

例6. 指出下列方程求解过程中的错误，并给予纠正。
（1）解方程
解：

（2）解方程
解：

解：第（1）题解方程的过程有两处错误，第一处是去分母时，方程的右边－1乘以10，应得－10，第二处是系数化为1时，方程两边都除以7，应得。
正确的解法是：

第（2）题方程的解答过程错了两步，第一处是去分母时，方程左边第四项应为－2；第二处错误是移项时，方程右边末项应为－2，正确的解法是：

例7. 根据下列条件列出方程
（1）x与2的和的3倍是5
（2）y的2倍与－1的差是3
（3）x与它的的差的一半等于1
分析：本题要求根据给定的条件列出方程，主要是根据题中条件，搞清有关的数量之间的运算关系及运算顺序，在列式时正确的使用括号而体现运算顺序，进而找出等量关系，根据等量关系列出方程。如（1）题中“x与2的和的3倍”，先应把x与2相加，再把所得的和乘以3，所以“x与2的和的3倍”应表示为3(x＋2)；（2）题中“y的2倍与－1的差”是先将y乘以2再减去－1，应表示为“”，此时，－1应加括号；（3）题中“x与它的的差的一半”应表示为“”
解：（1）
（2）
（3）
说明：本题除注意正确运用括号保证运算顺序外，对象（2）题中的“y的2倍与－1的差”中与－1的差的理解不要误解为“2y－1”
对（3）中“x与它的的差”中的它的理解，此处的它代指x，不要误解为“”

例8. 解方程：
分析：本题是含有绝对值符号的方程，可根据绝对值的意义，去掉绝对值符号把方程化为普通方程来解，但较麻烦，由于题中含绝对值部分均为，所以先把这个整体看作未知数，解出再进一步求出x的值。
解：去括号：得

或
或
说明：
（1）解含绝对值的方程，关键是设法去掉绝对值符号，可以由绝对值的意义分类讨论；（2）当绝对值符号内未知数代数式相同时，可考虑先按关于含绝对值的式子进行整体化简，使之解法简单。

例9. 已知关于x的方程，求a为何整数值时，方程的解是正整数？
分析：本题要求方程解是正整数时，整数a的取值，可先求出方程的解，再根据其正整数解的特点确定整数a的值。
解：解关于x的方程

当时，方程无解
当时，方程解为
为正整数，要使x为正整数，则应为6的正因数
只能取1，2，3，6
从而a的值为2，3，4，7
当a为2，3，4，7时，原方程的解为正整数
说明：
对方程解的讨论，一般先求出方程的解，再根据有关运算法则及整数的有关性质对方程的解的符号，整除性进行研究。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1. 方程的解是________
2. 方程的解是________
3. 方程的解是________
4. 方程的解是________
5. 当________时，代数式的值等于
6. 如果是一元一次方程，则n的值为________
7. 若单项式与是同类项，则________
8. 当________时，代数式与的值相等。
9. 若，则________
10. 若与的值互为相反数，则a等于________
11. 若与4互为倒数，则________
12. 当________时，关于x的方程的解是零
13. 已知，则________
14. 已知的解与关于x的方程，的解相同，则________
15. 已知，则的值是________
16. 下列变形中，属移项变形的是（ ）
A. 由得
B. 由得
C. 由得
D. 由得
17. 下列判断正确的是（ ）
A. 是一元一次方程
B. 解方程得
C. 方程的解是
D. 由，得
18. 解方程去括号结果正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
19. 下列解方程去分母结果正确的个数是（ ）
①方程去分母，得
②方程去分母，得
③方程去分母，得
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
20. 解方程，下列几种变形中较简单的是（ ）
A. 方程两边同乘以8得
B. 方程两边同乘以得，
C. 去括号得
D. 括号内先通分，得
21. 若等式，则下列各式①；②；③；④；⑤；⑥中其正确的有（ ）个
A. 3 B. 5 C. 4 D. 6
22. 下列两个方程的解相同的是（ ）
A. 方程与方程
B. 方程与方程
C. 方程与方程
D. 方程与方程
23. 已知是方程的解，则的值为（ ）
A. B. 8 C. 289 D. 225
24. 关于的方程和有相同的解，则m值是（ ）
A. 10 B. C. D. 8
25. 解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）

【试题答案】
1. 2. 0 3. 0 4. 5. 6. 0
7. 8. 9. 4 10. 11. 1 12. 3
13. 14. 2 15. 16. A 17. C 18. D
19. A 20. C 21. B 22. B 23. D 24. B
25. （1）；（2）2.4；（3）；（4）；（5）55