高三数学高考复习：高考三角命题的“包装”与创新.doc

高考三角命题的“包装”与创新
三角函数是高考的重点内容之一，以其基础性、工具性、综合性等特征，在数学中有广泛的应用．本文将以近几年高考三角解答题为例，简述高考中三角命题的“包装”与创新．
一、用函数性质进行“包装”
三角函数是一种特殊的函数，具有一些特殊的性质，比如有界性、周期性、对称性等．因而在高考命题中，三角函数往往借这些函数性质进行“包装”． 高*考*资+源-网
例1　已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数．求和的值．
解：由是偶函数，得，即．
所以对任意都成立，且，
　　所以得　．
由，得．
由的图象关于点对称，得．
取，得，所以．
∵，∴，
又，得，
∴
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是减函数；
当时，，在上不是单调函数．
综上可知，或．
二、用向量进行“包装”
三角函数与向量的交汇，通过考查向量的概念与运算，来考查三角恒等变形和求值等问题．这已成为高考命题的一个重要考查方式．
例2　在直角坐标系中，已知点和点，其中．若向量与垂直，求的值．
解：∵，，
由，得，
化简，得，解得或．
∵，∴或．
例3　设函数，其中向量，，．
（1）若且，求；
（2）若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数的值．
解：（1）依题意，得
由，得．
∵，∴．
∴，即；
（2）函数的图象按向量平移后得到的图象，即函数的图象．
由（1），得．
∵，∴，．
三、用数列进行“包装”
三角函数的周期性与数列有密不可分的关系．下面这道广东卷高考试题就是三角函数用数列进行“包装”的很好的佐证．
例4　已知角成公比为2的等比数列，，，也成等比数列，求的值．
解：∵成公比为2的等比数列，∴，
∵成等比数列，
∴，
∴，
解得或．
当时，，而等比数列的首项不能为零，故应舍去，
当，时，或；
∴，，或，，．
四、用解三角形进行“包装”
在考查解三角形的同时又考查运用三角公式进行恒等变形的能力，故这类题型倍受命题者青睐，如此“包装”，顺理成章．
例5　已知锐角三角形中，，．
（1）求证：；
（2）设，求边上的高．
（1）证明：∵，，
∴
即两式相除，得，
∴；
（2）解：∵，，
∴，即，
将代入上式并整理，得，
解得，
舍去负值，得．
∴．
设边上的高为，
则．
由，得．
所以边上的高等于．
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