资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2 (m是常数，且m≠0)的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（ ）
A．40m B．80m C．120m D．160m
3．如图，在中，，，，点在边上，且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是（ ）
A．3.2 B．2 C．1.2 D．1
4．的值等于（ ）．
A． B． C． D．1
5．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5 m，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
6．如图，矩形的边在轴的正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，则的值是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
7．已知点A（，），B（1，），C（2，）是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．无法确定
8．点、都在反比例函数的图象上，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的周长比为 （ ）
A．1:3 B．1:4 C．1:8 D．1:9
10．如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则( )
A．2 B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么是实数的取值为________．
12．如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、分别为、的中点，若点刚好落在边上，则______.
13．的半径是，弦，点为上的一点（不与点、重合），则的度数为______________.
14．若，则=____________．
15．若方程有两个不相等的实数根，则的值等于__________________．
16．已知是方程 的两个实数根，则的值是____．
17．函数是关于的二次函数，且抛物线的开口向上，则的值为____________．
18．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，，，则菱形ABCD的面积是________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，BC＝3CD，分别过点B，D作AD，AB的平行线，并交于点E，且ED交AC于点F，AD＝3DF．
（1）求证：△CFD∽△CAB；
（2）求证：四边形ABED为菱形；
（3）若DF＝，BC＝9，求四边形ABED的面积．
20．（6分）永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省会太原现存古建筑中最高的建筑. 位于太原市城区东南向山脚畔.数学活动小组的同学对其中一塔进行了测量.测量方 法如下：如图所示，间接测得该塔底部点到地面上一点的距离为，塔的顶端 为点，且，在点处竖直放一根标杆，其顶端为，在的延长 线上找一点，使三点在同一直线上，测得．
（1）方法 1，已知标杆，求该塔的高度；
（2）方法 2，测得，已知，求该塔的高度.
21．（6分）如图，是⊙的直径，，是的中点，连接并延长到点，使.连接交⊙于点，连接.
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若，求⊙的半径.
22．（8分）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：
（1）请补全条形统计图（图2）；
（2）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是____________度？
（3）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
23．（8分）已知二次函数（、为常数）的图像经过点和点.
（1）求、的值；
（2）如图1，点在抛物线上，点是轴上的一个动点，过点平行于轴的直线平分，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点是抛物线上的一动点，以为圆心、为半径的圆与轴相交于、两点，若的面积为，请直接写出点的坐标.
24．（8分）已知抛物线经过点(1，0)，(0，3)．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
25．（10分）平面直角坐标系中有两点、，我们定义、两点间的“值”直角距离为，且满足，其中．小静和佳佳在解决问题：（求点与点的“1值”直角距离）时，采用了两种不同的方法：
（方法一）：；
（方法二）：如图1，过点作轴于点，过点作直线与轴交于点，则
请你参照以上两种方法，解决下列问题：
（1）已知点，点，则、两点间的“2值”直角距离．
（2）函数的图像如图2所示，点为其图像上一动点，满足两点间的“值”直角距离，且符合条件的点有且仅有一个，求出符合条件的“值”和点坐标．
（3）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走，因此，两地之间修建垂直和平行的街道常常转化为两点间的“值”直角距离，地位于地的正东方向上，地在点东北方向上且相距，以为圆心修建了一个半径为的圆形湿地公园，现在要在公园和地之间修建观光步道．步道只能东西或者南北走向，并且东西方向每千米成本是20万元，南北方向每千米的成本是10万元，问：修建这一规光步道至少要多少万元？
26．（10分）为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数统计如下：
使用次数
0
5
10
15
20
人数
1
1
4
3
1
（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是 次，众数是 次．
（2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是 ．（填“中位数”，“众数”或“平均数”）
（3）若该小区有2000名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=−，与y轴的交点坐标为（0，c）．
【详解】A．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x=−＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象不符，故A选项错误；
B．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，开口方向朝下，与图象不符，故B选项错误；
C．由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=−＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故C选项错误；
D．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x=− ＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．
故选D．
【点睛】
此题考查一次函数和二次函数的图象性质，解题关键在于要掌握它们的性质才能灵活解题．
2、D
【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC=BD+CD即可求解．
【详解】解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，
∴BD=AD•tan30°=120×m，
在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，
∴CD=AD•tan60°=120×=120m，
∴BC=BD+CD=m．
故选D．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
3、C
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC，故此点P在以F为圆心，以1为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示：当PE∥AB．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
由翻折的性质可知：PF=FC=1，∠FPE=∠C=90°．
∵PE∥AB，
∴∠PDB=90°．
由垂线段最短可知此时FD有最小值．
又∵FP为定值，
∴PD有最小值．
又∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADF，
∴△AFD∽△ABC．
∴，即，解得：DF=2.1．
∴PD=DF-FP=2．1-1=1.1．
故选：C．
【点睛】
本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题
4、C
【分析】根据特殊三角函数值来计算即可.
【详解】
故选：C.
【点睛】
本题考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键.
5、A
【解析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y=，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值．
【详解】由题意，设y＝，
由于点(0.5,200)适合这个函数解析式，则k＝0.5×200＝100，
∴y＝.
故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为y＝.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
6、C
【分析】根据矩形的性质求出点P的坐标，将点P的坐标代入中，求出的值即可．
【详解】∵点P是矩形的对角线的交点，点的坐标为
∴点P
将点P代入中
解得
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及反比例函数的性质，掌握代入求值法求出的值是解题的关键．
7、B
【分析】直接根据反比例函数的性质排除选项即可．
【详解】因为点A（，），B（1，），C（2，）是函数图象上的三点，
，反比例函数的图像在二、四象限，所以在每一象限内y随x的的增大而增大，
即；
故选B．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8、A
【分析】根据反比例函数的性质，图象在二、四象限，在双曲线的同一支上，y随x的增大而增大，则-3＜-1＜0，可得．
【详解】解：∵k=-1＜0，
∴图象在二、四象限，且在双曲线的同一支上，y随x增大而增大
∵-3＜-1＜0
∴y1＜y2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9、A
【分析】以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，OB=1OB′，可得△A′B′C′与△ABC的位似比，然后由相似三角形的性质可得△A′B′C′与△ABC的周长比．
【详解】∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，OB=1OB′，，
∴△A′B′C′与△ABC的位似比为：1：1，
∴△A′B′C′与△ABC的周长比为：1：1．
故选：A．
【点睛】
此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意三角形的周长比等于相似比．
10、B
【分析】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，则CD=1,AC= ,在直角三角形ACD中即可求得的值.
【详解】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，
则CD=1，AC=
在直角三角形ACD中
故选：B
【点睛】
本题考查的是网格中的锐角三角函数，关键是创造直角三角形，尽可能的把直角三角形的顶点放在格点.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得知其判别式的值为0，即＝32-4×2×m=0，解得m即可．
【详解】解：根据题意得，=32-4×2×m=0，
解得m=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与=b2-4ac有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根．
12、
【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.
【详解】如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，
在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，
∵D为AB的中点，
∴CD= ,
由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，
∵E为MN的中点，
∴CE=,
∵DM⊥BC,DC=DB,
∴CM=BM=,
∴EM=CE-CM=5-3=2，
∵DM=,
∴由勾股定理得，DE=，
∵CD=CE=5，CN⊥DE,
∴DN=EN= ,
∴由勾股定理得，CN=,
∴sin∠DEC= .
故答案为：.
【点睛】
本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.
13、或；
【分析】证出△ABO是等边三角形得出∠AOB＝60°． 再分两种情况：点C在优弧上，则∠BCA＝30°；点C在劣弧上，则∠BCA＝（360°−∠AOB）＝150°；即可得出结果．
【详解】如图，连接OA，OB．
∵AO＝BO＝2，AB＝2，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
若点C在优弧上，则∠BCA＝30°；
若点C在劣弧上，则∠BCA＝（360°−∠AOB）＝150°；
综上所述：∠BCA的度数为30°或150°．
故答案为30°或150°．
【点睛】
此题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角函数、弧长公式．熟练掌握垂径定理，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．
14、
【分析】根据合比定理即可得答案.
【详解】∵，
∴，
∴=，
故答案为：
【点睛】
本题考查合比定理，如果，那么；熟练掌握合比定理是解题关键.
15、1
【分析】根据方程有两个不相等的实数根解得a的取值范围，进而去掉中的绝对值和根号，化简即可.
【详解】根据方程有两个不相等的实数根，可得
解得a＜
∴
∴
=
=
=3-2
=1
故答案为：1.
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式和整式的化简求值，当△＞0，方程有2个不相等的实数根.
16、1
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，再代入中计算即可．
【详解】解：∵是方程 的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．
17、
【分析】由题意根据题意列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，
∴，解得m=-1．
故答案为-1．
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地形如y=ax1+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数是解答此题的关键．
18、
【分析】在Rt△OBC中求出OB的长，再根据菱形的性质求出AC、BD的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC=90°，
∵，，
∴BC=4cm，
∴OB=cm，
∴AC=4cm，BD=cm，
∴菱形ABCD的面积是： cm2.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的性质有：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半，菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.也考查了直角三角形的性质和勾股定理的应用.
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形ABED的面积为1．
【分析】（1）由平行线的性质和公共角即可得出结论；
（2）先证明四边形ABED是平行四边形，再证出AD＝AB，即可得出四边形ABED为菱形；
（3）连接AE交BD于O，由菱形的性质得出BD⊥AE，OB＝OD，由相似三角形的性质得出AB＝3DF＝5，求出OB＝3，由勾股定理求出OA＝4，AE＝8，由菱形面积公式即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵EF∥AB，
∴∠CFD＝∠CAB，
又∵∠C＝∠C，
∴△CFD∽△CAB；
（2）证明：∵EF∥AB，BE∥AD，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵BC＝3CD，
∴BC：CD＝3：1，
∵△CFD∽△CAB，
∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，
∴AB＝3DF，
∵AD＝3DF，
∴AD＝AB，
∴四边形ABED为菱形；
（3）解：连接AE交BD于O，如图所示：
∵四边形ABED为菱形，
∴BD⊥AE，OB＝OD，
∴∠AOB＝90°，
∵△CFD∽△CAB，
∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，
∴AB＝3DF＝5，
∵BC＝3CD＝9，
∴CD＝3，BD＝6，
∴OB＝3，
由勾股定理得：OA＝＝4，
∴AE＝8，
∴四边形ABED的面积＝AE×BD＝×8×6＝1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键．
20、（1）55m；（2）54.5m
【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出答案；（2）根据锐角三角函数的定义列出，然后代入求值即可.
【详解】解：
则
即
解得：
答：该塔的高度为 55 m.
在中
答：该塔的高度为
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质及解直角三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边的比相等和角的正切值的求法是本题的解题关键.
21、（1）见解析;（2）.
【分析】（1）连OC，根据“，AB是⊙O的直径”可得CO⊥AB，进而证明△OEC≌△BEF（SAS）即可得到∠FBE=∠COE=90°，从而证明直线是⊙的切线；
（2）由（1）可设⊙O的半径为r，则AB=2r，BF=r，在Rt∆ABF运用沟谷定理即可得.
【详解】（1）连OC.
∵，AB是⊙O的直径
∴CO⊥AB
∵E是OB的中点
∴OE=BE
又∵CE=EF，∠OEC=∠BEF
∴△OEC≌△BEF（SAS）
∴∠FBE=∠COE=90°
即AB⊥BF
∴BF是⊙O的切线.
（2）由（1）知=90°
设⊙O的半径为r，则AB=2r，BF=r
在Rt∆ABF中，由勾股定理得；，即 ，解得：r=
∴⊙O的半径为.
【点睛】
本题考查了切线的证明及圆中的计算问题，熟知切线的证明方法及题中的线段角度之间的关系是解题的关键.
22、（1）见解析；（2）144；（3）
【分析】（1）先利用喜欢足球的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图；
（2）用360°乘以喜欢篮球人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），
喜欢乒乓球的人数为50-8-20-6-2=14（人），
补全条形统计图如下：
（2）“篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，
所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率：．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用以及列表法与树状图法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23、（1），；（2）；（3）或或
【分析】(1)直接把两点的坐标代入二次函数解析式，得出关于b，c的二元一次方程组求解即可
(2) 过点作，过点作.证明△CMD相似于△AME，再根据对应线段成比例求解即可
(3)根据题意设点P的纵坐标为y，首先根据三角形面积得出EF与y的关系，再利用勾股定理得出EF与y的关系，从而得出y的值，再代入抛物线解析式求出x的值，得出点坐标.
【详解】解：(1)把和代入得：
解方程组得出：
所以，
，
(2)由已知条件得出C点坐标为，设.过点作，过点作.
两个直角三角形的三个角对应相等，
∴
∴
∴
∵解得：
∴
(3)设点P的纵坐标为y,由题意得出，，
∵MP与PE都为圆的半径，
∴MP=PE
∴
整理得出，
∴
∵
∴y=1,
∴当y=1时有，，解得，；
∴当y=-1时有，，此时，x=0
∴综上所述得出P的坐标为：或或
【点睛】
本题是一道关于二次函数的综合题目，考查的知识点有二元一次方程组的求解、相似三角形的性质等，巧妙利用数形结合是解题的关键.
24、（1）；（2）将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，解析式变为．
【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；
（2）把函数化为顶点式，即可得到平移方式与平移后的函数表达式．
【详解】（1）把(1，0)，(0，3)代入抛物线解析式得：，
解得：，
则抛物线解析式为
（2）抛物线
将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，
解析式变为．
【点睛】
此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
25、（1）10 （2）， （3）
【分析】（1）根据直角距离的公式，直接代入求解即可；
（2）设点C的坐标为，代入直角距离公式可得根据根的判别式求出k的值，即可求出点C的坐标；
（3）如图，⊙C与线段AC交于点D，过点D作与AB交于点E，先证明△ADE是等腰直角三角形，从而得出，再根据直角距离的定义，即可求出出最低的成本．
【详解】（1）∵，点，点
∴；
（2）设点C的坐标为
∵
∴
∵
∴
∴
∵符合条件的点有且仅有一个，且
∴
解得
∴
解得
∴
故，；
（3）如图，⊙C与线段AC交于点D，过点D作与AB交于点E
由题意得
∴
∵
∴△ADE是等腰直角三角形
∴
∵步道只能东西或者南北走向，并且东西方向每千米成本是20万元，南北方向每千米的成本是10万元
∴步道的最短距离为A和D的直角距离，即
最低总成本（万元）
故修建这一规光步道至少要万元．
【点睛】
本题考查了直角距离的问题，掌握直角距离的定义以及公式、根的判别式、解一元二次方程的方法是解题的关键．
26、（1）10,10；（2）中位数和众数；（3）22000
【分析】（1）根据众数、中位数和平均数的定义分别求解可得；
（2）由中位数和众数不受极端值影响可得答案；
（3）用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得．
【详解】解：（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是：（次），
根据使用次数可得：众数为10次；
（2）把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是中位数和众数，
故答案为：中位数和众数；
（3）平均数为（次），
（次）
估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为22000次．
【点睛】
本题考查的是平均数、众数、中位数的定义及其求法，牢记定义是关键．
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