椭圆(教师版).doc

专题复习十八

第十八 椭圆
一、知识梳理：
1. 椭圆定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.
当时, 的轨迹为椭圆 ;当时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为 以为端点的线段
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程

性

质
参数关系

焦点

焦距

范围

顶点

对称性
关于x轴、y轴和原点对称
离心率

准线

3.点与椭圆的位置关系:
当时,点在椭圆外; 当时,点在椭圆内; 当时,点在椭圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离
二、基础检测：
1. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ D ）

A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
2.椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=（ C ） A． B． C． D．4
3. 过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解析:因为，再由有从而可得，故选B
4. 椭圆有两点P、Q ,O为原点,若OP、OQ斜率之积为,则 为（ C ）A .4 B.64 C.20 D.不确定
解析: 设直线方程为 ,解出,写出
另法：设，则
、在椭圆上
得

5.若椭圆和圆为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率的取值范围是（ A ）
A . B. C. D.
解析: 解齐次不等式:,变形两边平方.
6. 已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是 ( D )
A (1, +∞) B C D
解析: 焦三角形AFO,如图: 为锐角.转化为三角函数问题.
7. 短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ）
A.3 B.6 C.12 D.24
[解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12
8. 已知为椭圆上的一点，M、N分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15
[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7
9. 椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．
[解析]在椭圆上任取一点P,设P(). 那么点P到直线l的距离为：

10. 椭圆的焦点为,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是____________________.
解析:以椭圆的中心为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交；
11. 圆心在轴的正半轴上,过椭圆的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为
_______________________.
12. 已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此椭
圆离心率为______________________.
解析: 求
13. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且
。若的面积为9，则 .
解析：依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。
三、典例导悟：
14.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O ，且，|BC|＝2|AC|．求椭圆方程.
解： 以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A（2，0），则椭圆方程为 ∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB|
又∵， ∴AC⊥BC 又∵|BC|＝2|AC| ∴|OC|＝|AC|
∴△AOC为等腰直角三角形 ∴点C的坐标为（1，1） ∴点B的坐标为（－1，－1）
将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得， 则求得椭圆方程为
15.设椭圆的中心在原点,焦点在轴上, 离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.
解:设椭圆方程为, 为椭圆上的点,由得

若, 则当时最大,即, ,故矛盾.
若时,时, ，所求方程为
16.已知椭圆和直线：上取一点，经过点且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程.
解：由已知椭圆得其焦点为和，它们也是所求椭圆焦点，
所求椭圆方程可设为依条件知l与椭圆相切，
由消去y得： ①
方程①的 化简得 ②
又和得 ②
由②②联立解得 故所求的方程为
17.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程; (2)求的面积; (3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.
解：（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;
则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. (2 )点的坐标为
（3）若，由可知点（6，0）在圆外，
若，由可知点（-6，0）在圆外；
不论K为何值圆都不能包围椭圆G.
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