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高考椭圆几种题型
― 引言
在高考之中占有比较重要的地位，并且占的分数也多。分析历年的高考试题，在选择题，填空题，大题都有椭圆的题。所以我们对知识必须系统的掌握。对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解。
二 椭圆的知识
（一）、定义
1 平面内与与定点F1、F2的距离之和等于定长2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，其中F1、F2称为椭圆的焦点，|F1F2|称为焦距。其复数形式的方程为|Z-Z1|+| Z-Z2|=2a(2a>|Z1-Z2|)
2一动点到一个定点F的距离和它到一条直线的距离之比是一个大于0小于1的常数，则这个动点的轨迹叫椭圆，其中F称为椭圆的焦点，l称为椭圆的准线。
（二）、方程
1中心在原点，焦点在x轴上：
2中心在原点，焦点在y轴上：
3 参数方程：
4 一般方程：
（三）、性质
1 顶点：或
2 对称性：关于，轴均对称，关于原点中心对称。
3 离心率：
4 准线
5 焦半径：设为上一点，F1、F2为左、右焦点，则，；设为上一点，F1、F2为下、上焦点，则，。
三 椭圆题型
（一）、利用定义解题
关于线段长最值的问题一般两个方法：一种是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值，或用均值不等式来求最值。
例(1)：点P为为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，试求：取得最值时的点坐标。
解：(1)设，则。由椭圆第二定义知：。
∴。当时， 取最大值，此时点P(0,±b)；当时，取最小值b2，此时点P(±a，0)。
（二）、直线与椭圆相交问题
(1) 常用分析一元二次议程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想。
(2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但△>0这一制约条件不同意。

例(1) 已知直线过椭圆的一个焦点，斜率为2，与椭圆相交于M、N两点，求弦的长。
解：由得。
方法一：由弦长公式
方法二：

（三）、“点差法”解题。“设而不求”的思想。
当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。
步骤：1.设A(x1,y1) B(x2,y2)分别代入椭圆方程；
2.设为AB的中点。两式相减，
3.得出
注：一般的，对椭圆上弦及中点，，有
例：已知椭圆：
(1) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程
解：设弦的两端点分别为，的中点为，则，两式相减并整理可得
①
将代入式①，得所求的轨迹方程为(在椭圆内部分)
（四）、轨迹问题
这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。
1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。
2.代入法：一个是动点Q(x0,y0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q点满足某种关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q两点的关系式
3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。
4.参数法：在x，y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用(t为参数)来反映x，y之间的关系。
常用的参数有斜率k与角等。
例：的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程：
解：设，由题设得。化简得
（五） 典型例题
1．已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的
中点在直线上，求直线AB的方程。(06年福建)
解(1) ∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2.
∵圆过点O、F.∴圆心M在直线x=-
设M(-),则圆半径r=|(-)-(-2)|=.
由|OM|=r,得解得t=±,
∴所求圆的方程为(x+)2+(y±) 2=.
(2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),
代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
∵直线AB过椭圆的左焦点F, ∴方程有两个不等实根.
记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),
则x1+x1=-x0=
AB垂直平分线NG的方程为
令y=0，得
∵∴点G横坐标的取值范围为（）。
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