模糊L−关系范畴的范畴性质.pdf

模糊L关系范畴的范畴性质周鑫1,2*，刘淼1,2，汤建钢1,2(1.伊犁师范大学数学与统计学院，新疆伊宁835000；2.伊犁师范大学应用数学研究所，新疆伊宁835000)LRelLLRelLRelLRelLRel摘要：运用范畴论的观点和语言，结合模糊关系范畴的范畴性质，讨论了模糊关系范畴的相关范畴性质.首先，给出了中 2 个对象的积和余积的结构.进而，定义出双函子和 函子，得到是对称幺半范畴.最后，指出了是一个 2范畴.关键词：模糊关系；范畴；积；对称幺半范畴；2范畴中图分类号：0159文献标志码：A文章编号：02587971(2023)040779081965 年，Zadeh1引入了模糊集的概念.模糊集作为经典集合理论的推广，可以用来刻画客观事物的不确定性数据和信息，从而在信息科学、语义学等多方面都有广泛的应用，这也使得模糊理论在理论研究和实践应用两方面都得到了长足的发展.为了满足现代科学技术进步需求及自身理论发展需要，Goguen2在 1967 年引入了 L模糊集范畴的概念.对于 L模糊集范畴的研究，对象类选取为经典集合或是模糊集合，态射类选取为不同的模糊函数，会得到完全不同的范畴结构.文献 3 中展示了对象类选取为经典集合，态射类为几类常见模糊函数的范畴.文献 4 中讨论了对象类选取为模糊集合，态射类选取为模糊关系等范畴的性质.由于模糊关系与 Zadeh 扩张原理，矩阵理论等方面有密切的关系，所以态射为模糊关系的范畴得到了许多数学工作者的关注5-12.LRelLRelLRel范畴理论可以将不同数学对象的共同特征抽取出来，给出统一的描述，因而在现代数学研究中具备独有的优势.为了更深入理解态射为模糊关系的范畴，讨论其范畴性质是重要的基础性工作.1967 年，Goguen2讨论了经典集合作为对象类，模糊关系作为态射类的模糊关系范畴的一些基本性质，如态射合成对并的分配律等，也进一步引入了模糊关系集上的模糊集，即模糊 L关系的概念.1992 年，Min6证明了经典集合构成对象类，集合间模糊关系构成态射类的范畴是卡式闭的.2021 年，Alcantara 等4指出了范畴是 对称幺半范畴，并给出了其内蕴幺半群和内蕴余半群结构.LRelLRelLRelLRelLRel一方面，模糊 L关系是模糊关系的 L集合，属于更高一阶的模糊理论，所以研究模糊 L关系范畴是研究 n阶模糊理论时的必要过程.另一方面，鉴于经典系统论中的模糊 L关系对应着模糊系统的模糊类13，序代数中的交和并运算都是模糊 L关系，所以研究模糊 L关系范畴对于充实模糊数学的理论研究及应用也十分有益.本文结合模糊关系范畴的结构性质，讨论了模糊 L关系范畴的相关范畴性质.首先，给出了中 2 个对象的积和余积的结构.进而，定义出双函子 和 函子，得到是 对称幺半范畴.最后，指出了是一个 2范畴.COb(C)CA,B Ob(C)HomC(A,B)Hom(A,B)Set设 是一个范畴，本文用表示 的对象类.任意，用或（不至混淆的情况下）表示 A 到 B 的态射的全体.用表示集合范畴.有关范畴理论的基本概念见文献 14-15.收稿日期：2022-01-26；接受日期：2022-05-22；网络出版日期：2022-08-08基金项目：新疆维吾尔自治区自然科学基金（2020D01C269）；新疆维吾尔自治区高校科研计划（XJEDU2021Y042）；新疆伊犁州科技计划（YZ2022Y010）；伊犁师范大学博士科研启动基金（2021YSBS011）；伊犁师范大学科研创新团队（CXZK2021014）；伊犁师范大学“学实高层次人才岗位”项目（YSXSGG22002）.*通信作者：周鑫（1981），男，山东人，博士，副教授，主要研究模糊数学和李代数及其应用.E-mail：.云南大学学报（自然科学版），2023,45（4）:779786JournalofYunnanUniversity:NaturalSciencesEditionDOI:10.7540/j.ynu.202200271基本概念(L,)a,b La,baba,baba,b Labab(L,)T(a,b)=c L|ca ba b(L,)AA(L,)L=L,1.1格设是一个偏序集，即集合 L 上有一个偏序关系.任意，称的最小上界是 a 与b 的并，的最大下界是 a 与 b 的交.若任意的最小上界和最大下界总是存在的，则称是一个格.集合的最大元，称为 a 在 b 中的相对伪补元，记为.若 a 在 b 中相对伪补元总是存在的，则称是一个Brouwerian格.若 L 的任意子集 A 有极大元和极小元，则称是一个完备格.本文表示具有最小元 和最大元 的完备 Brouwerian 格.L:LL Lu L若 上有一个二元运算和幺元，满足：a bac bc(1)保持序结构：若，则；a(bc)=(ab)c(2)结合律：；ab=ba(3)交换律：；au=a=uaa,b,c(4)单位：，其中是 L 中任意元.则称*是 L 上的一个三角模，或称为一个 t模.L若 上的一个 t模 满足：a b,c dac bd(1)双函子性：若，则；aa=a(2)幂等律：；a(ibi)=i(abi)(3)分配律：；ab c a b ca,b,c,d,bi(4)伴随性：，其中是 L 中任意元.(,u)则称是 L 上的一个幺半结构.LL(L,)A Ob(Set):A L1.2模糊集和模糊关系定定义义 12设是一个偏序集，A 上模糊集指映射：，其中 A 称为 的承载集，L 称为真值集.A,B Ob(Set)BALA:=FL(A)=F1L(A)LA Ob(Set)F2L(A):=LLA LA FL(A)(2)F2L(A)(2)ABR:AB LR LABA BR(2):LAB LR(2)F2L(AB)设，若将 A 到 B 的映射的全体记为.记，注意到，可以定义.可见定义 1 中模糊集，即.当模糊集时，称为模糊 L集.这样，A 到 B 的模糊关系指笛卡尔积的模糊集，即.A 到 B 的模糊 L关系指笛卡尔积的模糊 L集，即.CSet注注 1从文献 16 可以看出上述内容中所描述的定义都属于范畴 为集合范畴时的模糊理论.C1.3范畴定定义义 217若范畴 具有：I Ob(C)(1)幺元；:CC CA,B,C,D,E,F Ob(C)p Hom(A,C)q Hom(B,D)s Hom(C,E)t Hom(D,F)f Hom(A,A)g Hom(B,B)h Hom(C,C)w Hom(A,B)(2)双函子.任意，.在对象和态射上的作用为：:(A,B)AB(a)；pq:AB CD(b)，满足IdAIdB=IdAB和(st)(pq)=(s p)(tq);(1)(3)3 个自然同构：A,B,C:(AB)C?A(BC)(a)结合性：，满足：(2)A:A?IA(b)左单位：；780云南大学学报（自然科学版）http:/第45卷A:A?AI(c)右单位：，满足：(3)使得下述 Maclane 五边形(4)和三角形(5)可换.(C,I)则称是一个幺半范畴.CA,B:AB BA若 上函子使得下述图形(6)(7)(8)(C,I)交换，则称是一个对称幺半范畴.C:Cop CCC若 上有一个在对象类上恒等的对合反变函子，则称 是一个范畴.若 既是范畴又是对称幺半范畴，则称 C 是对称幺半范畴.A,B,C,A,A,A,B(f g)=fgA,B,C=1A,B,CA=1AA=1AA,B=1A,B注注 2 对称幺半范畴中函子 与双函子 和自然同构是相容的，即：，.C定定义义 318若范畴 满足以下条件：A,B,C,(1)0胞腔(或对象)：；第45卷周鑫等：模糊 L关系范畴的范畴性质781f:A B(2)1胞腔(或态射)：；(3)2胞腔(或自然变换)：(a)合成：2胞腔的合成有纵横 2 种，分别如下：Idf:f fIdA,2:IdA IdA(b)单位元：2胞腔的单位元有纵横 2 种，分别为和.且纵单位元的横合成仍为纵单位元.(c)结合律：2胞腔的纵合成和横合成都满足严格结合律.(d)互换律：对于图表()()=()()有：.C则称 是一个 2范畴.RelA Ob(Set)R HomRel(A,B)R R例例 1对象为集合，态射为集合间关系构成的范畴是一个 2范畴，其中 0胞腔，1胞腔，2胞腔，这里R R R(a,b)R(a,b)，A,B Ob(Set)，a A,b B,R,R HomRel(A,B).2主要结果LRelLRel文献 4 研究了对象为集合，态射为集合间模糊关系构成的范畴范畴性质，讨论了该范畴中的积、余积、张量积、内蕴半群和内蕴余半群等范畴性质，并证明了该范畴具有对称幺半范畴结构，而且是一个 范畴.本节中我们给出模糊 L关系范畴的相关范畴性质.L=L,(,u)LLRel定定义义 4设是一个完备 Brouwerian 格，是 上的一个幺半结构.定义模糊 L关系范畴如下：Ob(LRel)=Ob(Set)(1)对象：；A,B Ob(LRel)HomLRel(A,B)=HomSet(LAB,L)(2)态射：任意，；A,B,C Ob(LRel),R HomLRel(A,B),S HomLRel(B,C)R HomLRel(A,B),S HomLRel(B,C),T HomLRel(A,C)(3)复 合：任 意，则态射的复合为映射：HomLRel(A,B)HomLRel(B,C)HomLRel(A,C)，(SR)(T)=S,RS(S)R(R)|T=S R;EA HomLRel(A,A)(4)单位：单位为：782云南大学学报（自然科学版）http:/第45卷EA(R):=u,R=EA,R,EA.R HomLRel(A,A)EALRel其中，是范畴中的单位.LRelLRel注注 3可以看出，模糊关系范畴的态射为模糊关系，定义 4 中模糊 L关系范畴的态射为模糊模糊关系(模糊 L关系)，所以其属于更高一阶的模糊理论.LRel注注 4定义范畴中序关系如下：R R:=R(R)R(R)R(a,b)R(a,b),A,B Ob(Set),a A,b B.LRelRel LRelLRel2.1中的积和余积从文献 4 可以看出范畴，中 2 个对象的积和余积都是它们的不交并得到.下面证明在范畴中 2 个对象的积和余积也由它们的不交并得到.A,B Ob(LRel)A,BLRelAB定定理理 1设，则在范畴中的积是不交并A+B=(a,1)|a A(b,2)|b B及模糊 L关系：1(R):=u,R=1,R,1.2(S):=u,S=2,S,2.R,1 HomLRel(A+B,A)S,2 HomLRel(A+B,B)其中，且1(a,1),a)=u,a=a,a,a.2(b,2),b)=u,b=b,b,b.A,BLRelAB在范畴中的余积是不交并A+B=(a,1)|a A (b,2)|b BL及模糊关系：I1(R):=u,R=i1,R,i1.I2(S):=u,S=i2,S,i2.R,i1 HomLRel(A,A+B)S,i2 HomLRel(B,A+B)其中，且i1(a,(a,1)=u,a=a,a,a.i2(b,(b,2)=u,b=b,b,b.证明证明只证余积的情况，积的情况类似可得.R1 HomLRel(A,X)R2 HomLRel(B,X)U HomSet(A+B,X)设，定义为U(U(a,1),x)=R1(R1(a,x)，U(U(b,2),x)=R2(U2(b,x)，U HomLRel(A+B,X)R1 HomLRel(A,X)R2 HomLRel(B,X)a A b B x X其中，.U HomLRel(A+B,X)首先，容易看出，.U其次，的唯一性由其定义可得.最后，验证可得(UI1)(U I)(a,x)=R1(R1)(a,x)，(UI2)(U I)(b,x)=R2(R2)(b,x).证毕.LRelL=L,(,u)LLRel2.2的对称幺半结构定定理理 2设是一个完备 Brouwerian 格，是 上的一个幺半结构.在范畴中定义 如下：AB=AB A,B Ob LRel(1)，()；R1 HomLRel(A1,B1)R2 HomLRel(A2,B2)(2)若，则(R1R2)(T):=R1(R1)R2(R2),T=R1R1,T,R1R11.T HomLRel(A1A2,B1B2)(R1R2)(a1,a2,b1,b2)=R1(a1,b1)R2(a2,b2)其中，.LRel则 是范畴中的双函子.第45卷周鑫等：模糊 L关系范畴的范畴性质783Q HomLRel(A1A2,B1B2)R1R2 HomLRel(A1A2,B1B2)证明证明任意，由双函子 定义有，因为(EAEB)(Q)(a,b,a,b)=EA(EA)(a,a)EB(EB)(b,b),Q=EAEB,Q,EAEB,=uu,a=a,b=b,其它,又因为(EAB)(Q)(a,b,a,b)=EAB(EAB)(a,a,b,b),Q=EAB,Q,EAB,=u,a=a,b=b,其它,EAEB=EABEAEB=EAB由文献 4 命题 5.3 的证明知，所以.W HomLRel(A1A2,B1B2)任意，因为(S1S2)(R1R2)(W)=V,U(S1S2)(V)(R1R2)(U)|W=V U=S1,S2,R1,R2(S1(S1)S2(S2)(R1(R1)R2(R2),W=(S1R1)(S2R2),W,(S1R1)(S2R2),又因为(S1R1)(S2R2)(W)=(S1R1)(X)(S2R2)(Y),W=XY,W,XY.=S1,R1S1(S1)R1(R1)|X=S1R1)S2,R2S2(S2)R2(R2)|Y=S2R2),W=(S1S2)(R1R2),W,(S1S2)(R1R2).(S1S2)(R1R2)=(S1R1)(S2R2)由文献 4 命题 5.3 的证明知，所以(S1S2)(R1R2)=(S1R1)(S2R2).故(1)式成立，是一个双函子.证毕.L=L,(,u)LLRel定定理理 3设是一个完备 Brouwerian 格，是上的一个幺半结构.则范畴是对称幺半范畴.LRelI=LRel证明证明范畴中的幺元为单元集合，双函子由定理 2 可得范畴中的 3 个自然同构：AA,B,C(R):=u,R=A,B,C,R,A,B,C.（1）A(S):=u,S=A,S,A.（2）PA(T):=u,T=A,T,A,(3)满足交换图(2)(5)的融贯性条件.交换图(5)的交换性证明如下：W HomLRel(AB,(AI)B)对任意，有(AA,I,B(EAB)(W)=V,UAA,I,B(V)(EAB)(U)|W=V U=V,UAA,I,B(V)(EA(EA)B(B)|W=V U,U=EAB=AA,I,B(A,I,B)(EA(EA)B(B),W=A,I,B(EAB),W,A,I,B(EAB).又因为(PAEB)(W)=PA(A)EB(EB),W=AEB,W,AEB，A,I,B(EAB)=AEB由文献 4 定理 5.4 知，所以(AA,I,B(EAB)(a,b),(a,),b)=(PAEB)(a,b),(a,),b)，AA,I,B(EAB)=PAEB从而，得交换图(5)交换.LRel同理可证交换图(2)(4)交换，故是幺半范畴.A,B(Q):=u,Q=A,B,Q,A,B,定义自然同构可得：784云南大学学报（自然科学版）http:/第45卷(B,AA,B)(W)=V,UB,A(V)A,B(U)|W=V U=u,W=B,AA,B,W,B,AA,B.EAB(EAB)=uEAB(a,b),(a,b)=u,a=a,b=b,其它，另一方面，.因为又因为(B,AA,B)(b,a),(a,b)=(b,a)A,B(a,b),(b,a)B,A(b,a),(a,b)，A,BB,AA,B=EABB,AA,B=EAB根据文献 4 定理 5.4 中的定义，可得.从而.因此，交换图(7)的第一部分可交换，同理可证交换图(7)的第二部分和交换图(6)，(8)可交换.LRel综上，是对称幺半范畴.证毕.LRelLRelR HomLRel(A,B)R HomLRel(B,A)R(b,a)=R(a,b)LRelR HomLRel(A,B)R HomLRel(B,A)R(R):=R(R)2.3是范畴模糊关系范畴中模糊关系的反关系为，定义模糊 L关系范畴中模糊 L关系的反关系，.L=L,(,u)LLRel定定理理 4设是一个完备 Brouwerian 格，是上的一个幺半结构.则范畴是一个范畴.:LRelop LRel R RRRLRel证明证明定义反变函子:即-函子将模糊 L关系 对应为其反关系.显然是定义在的对象类上恒等的对合函子.证毕.L=L,(,u)LLRel定定理理 5设是一个完备 Brouwerian 格，是上的一个幺半结构.则范畴是一个对称幺半范畴.R HomLRel(A,B)S HomLRel(B,C)R HomLRel(A,B)S HomLRel(B,C)证明证明任意，则(SR)(T)=S,RS(S)R(R)|S R=T=S,RS(S)R(R)|RS=T=(RS)(T)，可得函子与合成是相容的.EA(EA)=EA(EA)由，可得函子与单位是相容的.R1 HomLRel(A1,B1)R2 HomLRel(A2,B2)T HomLRel(A1A2,B1B2)T=R1R2(R1R2)(T)=uT,R1R2(R1R2)(T)=T=?(R1R2)?(R1R2)(T)=uT,?(R1R2)?(R1R2)(T)=R1R2=?(R1R2)R1R2=?(R1R2)对任意，则当时，；当，.同时，当时，当时，又因为，所以，可得函子与双函子 是相容的.A,B,CAAA,B同理，可得函子与自然同构，是相容的.证毕.LRelL=L,(,u)LLRel2.4是一个 2范畴定定理理 6设是一个完备 Brouwerian 格，是 上的一个幺半结构.则范畴是一个 2范畴.A Ob(Set)R HomLRel(A,B)R R证明证明取 0胞腔，1胞腔，2胞腔.R，S，T HomLRel(A,B)R S S T(a)合成：任意，2胞腔的纵合成为：(R S)(S T)=R T;R,S HomLRel(A,B)R,S HomLRel(B,C)R S R S对任意，2胞腔的横合成为：(R S)(R S)=(RR SS).(9)R HomLRel(A,B)IdR:R REA HomLRel(A,A)EA,2:EA EA(b)单位元：任意，2胞腔的纵单位为，易得纵单位的横合成仍为纵单位；取单位，2胞腔的横单位为.(c)结合律：易得 2-胞腔的纵合成和横合成都满足严格结合律.R，S，T HomLRel(A,B)R，S，T HomLRel(B,C)R S S TR SST(d)互换律：任意，则(S T)(R S)(S R)(R T)=(R T)(R T)=(RR)(T T)，又因为(S T)(S T)(R S)(R S)=(SS T T)(RR SS)=(RR)(T T)，LRel得互换律成立，故是一个 2-范畴.证毕.第45卷周鑫等：模糊 L关系范畴的范畴性质785参考文献：ZadehLA.FuzzysetsJ.InformationandControl,1965,8(3):338-353.DOI:10.1016/S0019-9958(65)90241-X.1GoguenJA.L-fuzzysetsJ.JournalofMathematicalAnalysisandApplications,1967,18(1):145-174.2NegoitaCV,RalescuDA.ApplicationsoffuzzysetstosystemsanalysisM.Basel:Birkhauser-Verlag,1975.3AlcantaraMSS,DiasT,deOliveiraWR,etal.AsurveyofcategoricalpropertiesofL-fuzzyrelationsJ.FuzzySetsandSystems,2021,425(30):62-82.4LiuW.FuzzyinvariantsubgroupsandfuzzyidealsJ.FuzzysetsandSystems,1982,8(2):133-139.DOI:10.1016/0165-0114(82)90003-3.5MinKC.StructuresoffuzzyrelationsJ.JournalofKoreanInstituteofIntelligentSystems,1992,2(3):17-21.DOI:10.1109/ICSMC.1996.569779.6LimPK,KimSR,HurK.ThecategoryV-Set(H)J.InternationalJournalofFuzzyLogicandIntelligentSystems,2010,10(1):73-81.DOI:10.5391/IJFIS.2010.10.1.073.7HussianM.FuzzyrelationsD.Karlskrona:BlekingeInstituteofTechnologySchoolofEngineering,2010.8MockorJ.FuzzysetsandcutsystemsinacategoryofsetswithsimilarityrelationsJ.SoftComputing,2012,16(1):101-107.DOI:10.1007/s00500-011-0737-9.9HardingJ,WalkerC,WalkerE.CategorieswithfuzzysetsandrelationsJ.FuzzySetsandSystems,2014,256(1):149-165.DOI:10.1016/j.fss.2013.04.004.10MarsdenD,GenoveseF.CustomhypergraphcategoriesviageneralizedrelationsC/ConferenceonAlgebraandCoal-gebrainComputerScience.SchlossDagstuhl-Leibniz-ZentrumFuerInformatik,2017.arXiv:1703.01204,2017.11刘惟一.模糊关系数据模型中的连接依赖蕴含问题J.云南大学学报(自然科学版),1992,14(3):255-260.LiuWY.TheimplicationofjoindependenciesinthefuzzyrelationaldatamodelJ.JournalofYunnanUniversity(NaturalSciencesEdition),1992,14(3):255-260.12ZadehLA.Fuzzysetsandsystems:ProceedingsofthesymposiumonsystemtheoryM.NewYork:PolytechnicInstituteofBrooklyn,1965.13BorceuxF.Handbookofcategoricalalgebra13M.Cambridge:CambridgeUniversityPress,1994.14MacLaneS.CategoriesfortheworkingmathematicianM.NewYork:Springer,1972.15周鑫.模糊理论与 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category.Furthermore,weprovedthecategoryisa-symmetricmonoidalcategorywhichisconstructedbybifunctorand-functor.Finally,weshowedthecategoryisa2-category.Keywords:fuzzyrelation；category；product；-symmetricmonoidalcategory；2-category786云南大学学报（自然科学版）http:/第45卷