基于思维发展 挖掘习题价值.pdf

数学之友2023年第10 期基于思维发展挖掘习题价值程元元（吴江盛泽中学，江苏苏州，2 15 2 2 8）摘要：数学教学中，面对学生的错题，应充分挖掘其中的价值，教师的点评不仅以学生的思维发展作为出发点和归宿,还要充分研究、精心设计.本文从一道向量试题出发，展示了如何基于学生的思维发展设计教学过程和进行相应的思考.本文主要从以下几个方面进行了思考和设计：（1）进行同类变形，拓宽思维的广度；（2）适时维度上升，加深思维的深度；（3）利用图形语言，促进思维可视化；（4）捕捉生长点，激发思维发散性；（5）关注外延化，促进思维延展性，关键词：思维发展；习题教学；教学研究习题教学是数学学习的一个重要的形式.学生完成巩固练习之后，针对学生出现的问题，教师的有效点评尤为关键.高效的点评，可以完善学生的知识网络建构，弥补学生的知识空缺，提高学生对问题认知的高度和把控度,同时还能提升学生的运算求解能力.因此,习题点评需要精心的设计,其出发点和落脚点都应该是基于学生的思维发展.基于学生思维发展的设计,能够帮助学生启发思考,形成良好的数学思维，激发学生的问题意识，提高学生的问题解决能力.波利亚曾经说过，我们永远不能研究透彻一道题目.所以,教师需要充分研究数学问题，尤其是要将学生出现的问题进行有机的整合，探寻其内在逻辑，从试题的源与流出发，帮助学生厘清脉络，完善知识结构，让学生不断突破和创新，促进学生思维的发展和能力的提升.下面以苏教版高一数学必修一$6.2 平面向量的运算这一节的作业讲评为例，展示其习题讲评的设计和相关的思考.学生当前的学习状态是认识了向量这一数学元素并研究了向量的四种运算（加法、减法、数乘、数量积）,关于平面向量基本定理和向量的应用还没有涉及.1进行同类变形，拓宽思维的广度学生作业中有这样一个题目，班级正确率约为5 0%.引例1设D为ABC 所在平面内一点,BC=3 BD,则(）.A.AD-Ai+AC33C.AD-号A+AC3338_数学之友这个题目的意图是用向量AB,AC表示向量AD,考查了学生灵活运用向量的加法、减法和数乘运算的能力，兼顾了向量运算的符号语言和图形语言,并为以后学生学习向量共线定理提供经验积累.学生在处理该题时，基于以下两个方面：1.对向量减法运算的陌生和使用转化与化归思想运用得不够娴熟，因此错误率比较高.试题点评时，需要进一步渗透向量之间的转化思想（把BC=3BD中的向量都转化成以点A为起点的向量），帮助学生准确使用向量减法的形式运算.但是如果仅限于以上这些，该题目的价值就大打折扣了.事实上，本题既包含了对向量加法、减法运算及其运算法则的考查，又渗透了转化与化归思想，这是本题在巩固知识中的价值体现.除此之外，它还体现了向量之间可以进行线性表示（向量AD可用向量AB,AC线性表示），此处可以引导学生观察四个选项特征，把握向量转化的基本方向.同时还要注意培养学生问题意识,可以提出这样的问题：如果变换点D的位置,是否也可以有类似的线性表示形式？于是，可以围绕点D的位置做文章.思维拓展1（特殊化)若D为线段BC的中点，用向量AB,AC表示向量AD.分析：当D为线段BC的中点时,BC=2BD,问题解决的办法与原题类似,学生基本都能完成.这里就可以得到一个非常有用的结论：AD=(B+AC)，用图形语言审视这个结论,就发现这是B.Ab-,A-1A233D.AD=A+2Ac33A B C 的中线AD所对应的向量用两边AB,AC 所对应的向量的表示形式.那么，如果点D继续变化呢？数学之友思维拓展2 若D为线段BC的四等分点（靠近B点),用AB,AC表示向量AD.当学生解决了线段BC的三等分点、中点后，继续设问,把点D改为四等分点目的在于让学生经历量的积累，为后续质的改变提供支撑.课堂上具体处理几个特殊问题可以根据课堂上学生的反应和掌握情况，灵活把握。思维拓展3 设D为ABC所在平面内一点，BC=3 CD,用AB,AC表示向量AD.当点D的位置发生变化时，用向量AB,AC线性表示的基本路径一致，既达到在图形中巩固向量线性运算的目的，同时也渗透转化与化归思想.为了激发学生的兴趣和探究欲,对于点D的变化设计，思路可以更加开阔一些.点D不仅仅局限在线段BC上,可以调整到线段BC（或者线段CB）的延长线上.同时引发一个思考：向量AB,AC是“万能 的吗？当D是直线BC上任意一个点时，都可以用向量AB,AC线性表示吗？这里再次为后面的平面向量基本定理做好铺垫,遵循了知识的螺旋式上升规律.学生的认知规律结构由整体建构到部分填充,逐渐地扩充和丰盈，避免了知识的简单堆砌.只有有序、有组织的知识结构才能对学生的数学运用产生有效的帮助.通过对点D的多样化变换，引导学生的思维多样化发展，促进了学生思考的广度，同时也为后面的由特殊到一般提供事实积累，为思维向深度发展提供了储备。2适时维度上升，加深思维的深度思维拓展4 若D是线段BC的n等分点（最靠近点B的那个点）用AB,AC表示向量AD.基于上述中点、三等分点的研究路径,逐步上升为四等分点，五等分点，,n等分点，在维度上升过程中，让学生感受问题解决的相似之处.可以继续借助向量的加法运算、减法运算和数乘运算得到本题的答案.AD=AB+BD=AB+BC=AB+二(AC-AB)=AB+LAC=-Ai+/AC(On1).AB+-AC=nn让学生体会通性通法可以解决类似的问题，并2023年第10 期且能够适应处理一般情况.因此向量的基本运算是基础，掌握核心的知识（思维的生长点）是关键“思维拓展4”基本上明确了这样一个事实：线段BC上的任意一个点D,都可以用向量AB,AC线性表示,那么很自然的一个想法：是不是对于直线BC上的任意一点D,AD都可以用向量AB,AC线性表示呢？于是产生“思维拓展5”：思维拓展5 若D是直线BC上的任意一点，尝试用向量AB,AC表示向量AD.要想解决这个问题，需首先解决一个问题：如何刻画直线BC上的任意一点D？如果需要精确地刻画动态问题，根据经验，需要引人一个变量.联想向量共线定理,由于A,B,C三点共线,所以向量BD,BC也是共线，如图1,设BD=入BC，（入=R），通过变量入的变化刻画点D的位置变化.接下来只要把丽=BAD-AB,BC=AC-AB代人,可得AD=(1-)AB+入 AC.从线段BC上的某一个特殊点，到线段BC上的某一些特殊点,再到直线BC上的某一些特殊点,最后到直线BC上的任意一点,期间经历了点的位置变化，从特殊的点到任意的点.特殊情况上升到一般情况,实际上是由量变到质变的过程.只有总结出一般性的模型,认知才算是上了一个层次，思维的发展也实现了纵向深度的发展.通俗来说读书方式有两种，一种是把书读厚，另一种则是把书读薄.数学解题亦是如此.把一题做多，则是指一道题目可以衍生出很多同类型的问题.而把题目做少,指的是挖掘不同问题的共性,可以是题目背后相同的知识点，也可以是解决问题时相同的解题思想（化归思想、数形结合思想、函数与方程思想等等).对于问题的同类变式（线段BC的三等分点、四等分点），积累量变,然后上升到一般性（线段BC上任意一点、直线BC上任意一点），实现质变，使得学生的思维发展循序渐进，逐层递升，滋养了学生一般性思维的发展，同时也培养了学生提出问题的能力.nnnnD图13利用图形语言，促进思维可视化可视化现在越来越受到各个领域的青睐.思维可视化是指运用一系列图示技术把本来不可视C2023.10_39数学之友的思维（思考的方法和路径）呈现出来（如表1），使其清晰可见.在思维的促进方面，可视化可以助力学生的深度学习和思考,有利于学生的理解和2023年第10 期记忆.在完成上述问题的思考和探究之后，引导学生从图形的角度重新审视上述问题及其结论.表1代数条件图形语言BD结论（新发现引例BC=3 BDAD=A+AC33AB思维拓展1BC=2 BDDAD-(AB+AC)ABD思维拓展2BC=4BDAD-A+AC44ABCD思维拓展3BC=3CDAD=-A+4AC33ABD思维拓展4BC=n CD(0n1)AD=-IAB+AC(On 0,u0AD=-AB+4AC33入0线段CB的延长线上(CB=3 BD)对于点D的不同位置,在线性表示中对应的系数入和的取值则会有不同的体现.在教学中也可以引导学生从几何作图的角度理解这里系数正负的变化.以图形的转化促进学生思维的直观化，帮助学生更加清晰地认识这种对应关系.从不同的角度、方向和途径去审视，探求多种设想和答案，可以充分发挥学生的想象力，突破学生原有的知识圈.不依常规，寻求变异.这种思维活动应该在平常的教学活动中有意识的设计和引导5关注外延化，促进思维延伸性在变化中寻找不变的东西,在数学研究中是一种常见的形态.对于动态问题的研究，寻找规律性和不变量是一种良好的思考角度.例如，后续解析几何中的定点、定值问题，殴拉多面体公式V+F-E=2（拓扑不变量)等等.这类问题的设计可以引导学生善于观察已有的数学形态,培养学生观察和总结的数学习惯和数学思维方式.不难发现,AB和AC的系数之间满足“系数和为AD=A-A33A1”,无论是特殊情况还是一般情况.于是，学生心中豁然开朗：原来对于直线BC上的任意一点,都满足系数和为1.所以,虽然D是一个动点,对于不同的点D位置,线性表示的形式有所不同,但是“系数和为1”这一特征没有改变.反过来，系数和为1,对应的点D的位置原来是有迹可循的，即点D在直线BC上运动.此时学生的内心是惊喜和感慨的.惊喜于变化当中竟然藏着如此简洁美妙的结论，又感慨于几何与代数表征之间的神奇.此时学生的认知得到了满足，同时又有“发现新大陆”的喜悦.良好的教学应该是让学生体会到成就感和喜悦感的，这种满足感是自发形成的，并不是靠老师的夸赞所能带来的.教师应调动学生的好奇心，激发求知欲，促进思维的发散性.此时,正是引导学生设疑置问的最佳时机.如果系数和不是“1”而是其他的常数，比如“2”呢？思维拓展7 应运而生【思维拓展7】如果表达式AD=入AB+uAC中,系数入，满足入+u=2,那么点D的位置有什么规律吗？(下转第4 4 页）入 0,u02023.10_41数学之友过程中的数学问题基本研究思想经常被教师所忽视,这在一定程度上也弱化了课堂教学的效率,制约了学生的发展.动态几何问题非常强调学生采用数形结合、分类讨论等数学思想来分析和解决问题，只有相关思想运用恰当，问题研究才能切中要害，3 比如分类讨论的思想，动态几何问题经常涉及点运动到不同位置时所出现的不同问题场景，如果将这些问题混为一谈,学生的思维将彻底被搞混，问题解决的进程将彻底陷人僵局.在日常教学中，教师要善于引导学生进行合作学习，鼓励学生在交流中获得不同角度的分析，引导学生有意识地进行分类研究.因此，笔者认为数学思想应该与学生主动探究的意识融合在一起，这有助于学生形成科学的研究习惯。3.3着力培养学生的作图能力作图是几何问题研究中的基本处理技能，尤其是在动态几何的问题探索过程中，,很多突破口的发2023年第10 期现都是建立在有效作图上.恰当地作图可以帮助学生实现问题的转化，化动为静，让抽象几何问题变得更直观.在学习过程中，教师要提醒学生不能让学习止步于作图,还要能写出画法，且能用规范而科学的语言来表述作图的基本思路，这些操作可以促使学生深层次思考，且能帮助他们完成对相关技能的总结.综上所述，在初中数学课堂上，教师要立足学生的学习现状,有效转变观念，尤其是在动态几何问题的教学过程中,要着力发展学生的核心素养.参考文献：1王滨.从实践中感悟从定性到定量“中考动态几何专题复习”教学设计 J.中学数学教学参考，2 0 15(10)：8 2-8 3.2 吴华，周玉霄.变易理论驱动下的动态几何“变中不变”J.数学教育学报,2 0 10（6）：2 6-2 9.3 高思远.关注动态过程，数形分类转化一一对一道动态几何题的探究与思考 J.中学数学,2 0 2 0（4）：5 2-5 3.（上接第4 1页）1入+u=一呢?2学生就有一种想要一探究竟的渴望,在学生的疑惑点上巧设问题，想学生所想，答学生所惑，是教师设问的最佳境界。由于课堂时间的约束，也囿于班级学生的课堂反映程度，这个问题的解决可以依教学实际而定.时间和学生接受能力允许的话，可以在课堂内完成，否则可以作为课后思考探究问题.这其实就是“等和线”的问题.这个问题在引导学生处理的时候，可以把系数和不是“1”的情况转换为系数和为“1”的情况进行解决，化难为易，在这里可以给学生渗透把不熟悉的问题转化为熟悉的问题是解决问题的常规思路.具体解决过程此处不再赘述.同样也可以用图形语言帮助学生实现思维的直观化.事实上，当入+u=2时,对应的点D所在的位置在一条直线上，并且该直线与直线BC平行且在直线BC的外侧（远离点入+u=24）；当入+从=寸时，对B应的点D所在的位置也在一条直线上，并且该直线与直线BC平行且在直线BC的内侧44_数之友（靠近点A).与如图2 所示.在此基础上，甚至可以继续引导学生去猜想和研究,当入+u=(为非零常数)时,随着常数的变化，点D的轨迹直线又会产生怎样的变化.于是，思维拓展可以继续再继续正如前文所述，学生的思维发展就像一棵茂密的大树,生长可以横向,也可以纵向，可以交叉,也可以平行,可以在思维发展的过程中继续探寻思维的生长点,再产生新的枝丫，也可以流向更加广阔的未知空间，促进思维的延展性.所以教师的教学设计的起点和归宿都应该是学生思维的发展，并且具有可延伸性.一个问题的讲解设计应充分挖掘该问题的源与流，探寻源头，落实当下，期待流向.参考文献：1许怡波.核心素养下的高中数学思维能力培养【C /中国教育发展战略学会教育教学创新专业委员会.2020全国教育教学创新与发展高端论坛会议论文集（卷一）.中国教育发展战略学会教育教学创新专业委员会，2 0 2 0.2+u=12弗赖登塔尔.作为教育任务的数学 M.上海：上海1教育出版社,19 9 5.3 徐章韬，梅全雄.论基于课堂教学的数学探究性学A习 J.数学教育学报,2 0 13,2 2(6)：1-4.图24 祁平.基于探究的数学教学的哲学思索 J.数学通报,2 0 14,5 3(8):2 2-2 8.